江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（十）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数两相邻对称轴间的距离为，则的值为（ ）．
A．　　　 　B．　　　 　C．　　　 　D．
3.已知a>l，则使成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D．
4. .设复数（i是虚数单位），则=
A.i B. -i C. -1 -i D.1+i
5．在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，C=．若，且D、E、F三点共线（该直该不过点O），则△ABC周长的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，若则（ ）
A. —1 B. 1 C. 2 D. 4
7.已知数列是单调递增的等差数列， 从 中取走任意三项， 则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率是（ ）。
A. B. C. D.
8.能够把的面积一分为二的曲线被称为的“八卦曲线”，下列对的“八卦曲线” 的判断正确的是（ ）
A. “八卦曲线”一定是函数
B. “八卦曲线” 的图象一定关于直线成轴对称；
C. “八卦曲线” 的方程为
D. “八卦曲线” 的图象一定关于点（2，2）成中心对称；
9. 在平面直角坐标系中，随机地从不等式组表示的平面区域中取一个点点，如果点恰好在不等式组表示的平面区域的概率为，则实数的值为（ ）
A、1 B、2 C、 D、3
10. 若，当，时，，若在区间，内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A . . . .
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写答题卡中的横线上
11.正偶数列有一个有趣的现象：①；②；③
按照这样的规律，则2012在第 个等式中。
14. 给出下列四个命题：
①中，是成立的充要条件；
②当时，有；
③在等差数列中，若，则；
④若函数为R上的奇函数，则函数的图象一定关于点成中心对称.
⑤函数有最大值为，有最小值为0。
其中所有正确命题的序号为 ．
三、选做题：（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分 ）
（1）.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线与曲线C1: 异于点O的交点为A与曲线C2: 异于点O的交点B,则｜AB｜= _______.
（2）.若存在实数满足，则实数的取值范围为 。
16．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）设△的内角，，的对边分别，，，且，，若，求的面积.
17.（本小题满分12分）某学校为丰富教师的业余文化生活，准备召开一次趣味运动会。在“定点投篮”这项比赛活动中,制定的比赛规则如下：每人只参加一场比赛，每场比赛每人都在罚球线外同一位置依次投篮5次；若这5次投篮中，最后两次都投中，且前三次投篮至少有1次投中，则此人获奖，否则不获奖。已知甲每次投篮命中的概率都为，且各次投篮结果互不影响。
(I)求甲在投篮比赛中获奖的概率；
(II)设甲在获奖的前提下在前3次投篮中命中的总次数为随机变量，求的分布列及数学期望。
18. （本小题满分12分） 如图,在ΔAOB中，已知 AB＝4，D为线段贴的中点. ΔAOC是由ΔAOB绕直线AO旋转而成，记二面角B-AO-C的大小为θ.
（1）当平面COD丄平面AOB时，求θ的值；
（2）当θ＝ 求二面角B－OD－C的余弦值
19. （本小题满分12分）（理）在数列中，已知
令求证为等差数列；
令，若恒成立，求的最小值.
20．（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。过点作圆的切线l交椭圆C于A、B两点。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）将△的面积表示为m的函数，并求出面积的最大值。
21．（本小题满分14分） 设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．
2013届高三模拟试卷数学（理）
参考答案
四、解答题（本大题共6小题，共75分）
解：（1） …………2分
所以，的最大值为0，最小正周期为T=； …………4分
（2）则
，
………………………………5分
由正弦定理① …………………………7分
由余弦定理，得即② ……9分
由①②得 …………………………………………………11分
…………………12分
17.解：（1）记甲在5次投篮中，投中k次获奖的事件为。
……1分
=C. …..2分
……3分
……4分
……6分
（2）由题意，的取值可以为1,2,3；记A为“甲在一场比赛中获奖”，
由（1）知
......8分
......9分
......10分
的分布列为
1
2
3
P
......12分

18．(Ⅰ) 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，
则A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)，C (2sin，2cos，0)．……2分
设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量，
由　得
取z＝sin，则＝(cos，－sin，sin)．…………………4分
因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，由平面COD⊥平面AOB得＝0，
所以cos＝0，即＝．　　　　　　　　　………………………7分
(Ⅱ) 设二面角C－OD－B的大小为,由(Ⅰ)得
当==时，tan=－，…………………8分
cos= ＝＝－，…………………10分
故cos=－．
综上,二面角C－OD－B的余弦值为－ …………12分
解法二：
(Ⅰ) 解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，
因为平面AOB⊥平面COD，
平面AOB∩平面COD＝OD，
所以BE⊥平面COD，
故BE⊥CO．
又因为OC⊥AO，
所以OC⊥平面AOB，
故OC⊥OB．
又因为OB⊥OA，OC⊥OA，
所以二面角B－AO－C的平面角为∠COB，
即＝． ………………………………………7分
(Ⅱ) 解： 当=时，
过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，
则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角．
在Rt△OCF中，CF＝2 sin，OF＝－2cos，
在Rt△CGF中，GF＝OF sin＝－cos，CG＝，
所以cos∠CGF ＝＝－．
因为，tan=－，
故cos∠CGF＝=—．
所以二面角C－OD－B的余弦值为－． ……………12分
19．解：（1）
即 ………………2分
所以，是以为首项，2为公差的等差数列. ………4分
由（1）得
因为 ………………………6分
因为
所以 ………………8分
所以=
所以 ………………………10分
因为恒成立，故
所以的最小值为1. ………………………12分
20解：（Ⅰ）由题意，， ......1分
又， ......3分
所以椭圆C的方程为； ......4分
（Ⅱ）由题意知，设直线l 的方程为，
......6分
设A、B两点的坐标分别为，则
......7分
又由l与圆 ......8分
所以
......10分
又原点O到直线l的距离，
所以. ......11分
又当且仅当，
所以时，的面积的最大值为。 ......13分
21．解答 （Ⅰ），函数，，当时，；当时，，故该函数在上单调递增，在上单调递减．∴函数在处取得极大值． 4分
（Ⅱ）由题在上恒成立，∵，，∴，
若，则，若，则恒成立，则．
不等式恒成立等价于在上恒成立， 6分
令，则，
又令，则，∵，．
①当时，，则在上单调递减，∴，
∴在上单减，∴，即在上恒成立； 7分
②当时，．
ⅰ）若，即时，，则在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，此时在上恒成立； 8分
ⅱ）若，即时，若时，，则在上单调递增，∴，∴在上也单调递增，
∴，即，不满足条件． 9分
综上，不等式在上恒成立时，实数a的取值范围是． 10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，则，
当时，，令，则，
∴，∴，∴， 12分
又由（Ⅰ）得，即，当x＞0时，，∴，
，
综上得，即． 14分