2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册6.2平行四边形的判定 同步练习
一、单选题
1．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
2．已知：如图，四边形ABCD的两对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AD=BC
C．AB∥CD，AD∥BC D．OA=OC，OB=OD
3．顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
4．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
5．如图是某城市部分街道，已知AF∥BC，EC⊥BC，EF＝CF，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，那么（ ）
A．甲将先到F站 B．乙将先到F站
C．甲、乙将同时到达 D．不能确定
6．（2018·玉林）在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
7．（2018八上·杜尔伯特期末）下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．（2017八下·三门期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．（2017八下·山西期末）四边形ABCD的四个角∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足下列哪一条件时，四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．1∶2∶2∶1 B．2∶1∶1∶1 C．1∶2∶3∶4 D．2∶1∶2∶1
10．（2017·路南模拟）根据图中所给的边长长度及角度，判断下列选项中的四边形是平行四边形的为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 种不同的四边形，其中有 个平行四边形．
12．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AB＝4cm，AD＝8cm，当BC＝ cm，CD＝ cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若BD＝8cm，AC＝10cm，当AO＝ cm，DO＝ cm时，四边形ABCD为平行四边形．
13．分别延长△ABC的边BA到点D，边CA到点E，使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是 ，其判断依据是 ．
14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
15．（2018八下·江都月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
16．（2018八上·长春期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF、GH相交于点O，则图中共有 个平行四边形.
三、解答题
17．（2018·恩施）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
18．（2018八下·乐清期末）已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于0，点E，F分别在AO，CO上，且AE=CF，求证：四边形BEDF是平行四边形．
19．（2018八下·合肥期中）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法.
你所添加的条件： ；
证明： .
20．在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添辅助线的方法，叫做“加倍中线法”．
请用这种方法解决下面的问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.
21．（2018·秀洲模拟）嘉琪同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的 ABCD，并写出了如下尚不完整的已知和求证．
（1）补全已知和求证（在方框中填空）；
已知：如图，在四边形ABCD中，BC=AD，AB= ．
求证：四边形ABCD是 四边形．
（2）嘉琪同学想利用三角形全等，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明．请你按她的想法完成证明过程．
22．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
23．（2017九上·海宁开学考）已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为BO、DO的中点，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如果E，F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足BE=DF，上述结论仍然成立吗？请说明理由．
24．（2017八下·楚雄期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP= ；DP= ；BQ= ；CQ= ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，可知
根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，可知B不符合题意；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知C不符合题意；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知D不符合题意.
故答案为：A
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边，故此选项不符合题意；
B、一组对边相等，另一组对边平行，不能判断其为平行四边形，故此选项符合题意；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平行四边的判定方法，两组对边分别相等的四边形是平行四边；一组对边相等，另一组对边平行，不能判断其为平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形。
故答案为：C。
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断即可。
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：②③两块玻璃的角两边互相平行且中间部分相连，将两个角分别作延长线即可得到平行四边形的交点。
故答案为：D。
【分析】确定一个平行四边形，确定平行四边形的四个顶点即可。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵BA∥DE，BD∥AE
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AB=DE，
∵AF∥BC，EC⊥BC，EF=CF，
∴AF是EC的垂直平分线，
∴DE=CD，
∴BA+AE+EF=BD+CD+EF，
∵两车速度相同，途中耽误的时间相同，
∴甲乙两个人同时到达.
故答案为：C.
【分析】由两组对边分别平行可知四边形ABDE为平行四边形，从而可得AB=DE，AE=BD，再结合EF=CF，可知两条路线的差别在于AB与CD的大小关系，进而为CD与DE的大小关系，再由线段中垂线的性质可知CD=DE，即可知这两条路线一样长.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、③④．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定方法，可得出符合条件的选法。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理，可得知一组对边平行另一组对边相等的四边形，不能判定为平行四边形。
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图可得，AD=BC，AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形。
故选A。
【分析】根据两组对边分别相等可判定为平行四边形。
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知选项D正确； 故选D.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；
B、上、下这一组对边平行，左右一组对边相等，可能为等腰梯形，也可能为平行四边形，但等腰梯形的底角不可能是90°，所以为平行四边形，
C、上、下这一组对边平行，可能为梯形；
D、上、下这一组对边平行，可能为梯形．
故答案为：B．
【分析】利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判断出B符合题意.
11．【答案】6；3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2=6个不同的四边形，其中有3个是平行四边形．因为按三角形的三边分别重合一次，查得三个四边形，通过旋转后可得三个，所以共同6个，其中有3个是平行四边形．
【分析】把相等的边重合后，得到一个四边形，三边不等，则有3个四边形；再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，且有3个四边形，这其中必有一次是平行四边形，所以共有6个四边形，其中有3个是平行四边形．
12．【答案】（1）8；4
（2）5；4
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的判定定理：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形．为此，不难解出：1）AD＝8cm，AB＝4cm，所以当BC＝8cm，CD＝4cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC＝10cm，BD＝8cm，当AO＝5cm，DO＝4cm时，四边形ABCD为平行四边形．
【分析】(1)根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求；(2)根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形可求。
13．【答案】平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：分别延长△ABC的边BA到点D，边CA到点E，使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是平行四边形，其判断依据是
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【分析】根据对角线的关系即可证明四边形为平行四边形。
14．【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC= AB AC= ×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12．
故答案为：12
【分析】 由两直线平行内错角相等可得∠AFC=∠FCD，再由点E为FC中点与隐含的对顶角相等可利用AAS证得△AEF≌△DEC，故可得AF=DC，再结合点D为BC中点可得AF=BD，从而利用一组对边平行且相等可证得四边形AFBD是平行四边形，即可知S四边形AFBD=2S△ABD，又由中线将三角形分为面积相等的两个三角形，故有S△ABC=2S△ABD，从而S四边形AFBD=S△ABC= =12
15．【答案】AE=CF
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OE=OF
∴OA-OE=OC-OF
即AE=CF.
【分析】根据已知平行四边形ABCD，得出OA=OC，OB=OD，两四边形有公共的对角线BD，因此只需添加AE=CF，就可证明OE=OF，即可得出四边形DEBF是平行四边形。
16．【答案】9
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
， .
所以是平行四边形的有： AEOG、 EOHB、 OFCH、 GDFO；
ADFE、 EFCB、 AGHB、 GDCH； ABCD；共9个.
故答案为：9.
【分析】根据平行四边形的判定，即可得出答案。
17．【答案】证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，AE，根据等式的性质由FB=CE，得出BC=EF，根据二直线平行，内错角相等得出∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，然后利用ASA判断出△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应边相等得出AB=DE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分即可得出结论。
18．【答案】证明：在 ABCD中∴AO=CO，BO=OD∵AE=FC∴AO-AE=OC-CF即：OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可得出AO=CO，BO=OD，再根据AE=FC，可证得OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证。
19．【答案】解：条件：AE=CF；
证明：∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，
又BE＝DF，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】本题是利用△EB和△CFD全等，而后得到AB=CD，且AB//CD，从而得到四边形ABCD为平行四边形的. 已知中可得BE=DF，由AE//CF可得∠E=∠F，若找一组边的话，只有AE=CF；若找一对角相等，可找∠EAB=CDF. 都可得到两个三角形全等.
20．【答案】解：延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.
∵EF＝CE，E是AB的中点，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∴AF∥BC，AF＝BC，∴∠FAB＝∠ABC.[
∴∠FAB＝∠ACB，
∴∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，
∴∠FAC＝∠DBC.
又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，
∴△AFC≌△BCD(SAS)．
∴CD＝CF，即CD＝2CE.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据题目中的添辅助线的方法--------“加倍中线法”可作辅助线，延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ACBF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF∥BC，AF＝BC，所以∠FAB＝∠ABC=∠ACB，由等式的性质可得.∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，即∠FAC＝∠DBC，用边角边可证得△AFC≌△BCD，所以CD＝CF，即CD＝2CE.
21．【答案】（1）解：CD；平行
（2）解：如图，连结AC，在△ABC和△CDA中，AB=CD，BC=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
∴AB∥DC，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（1）补全已知和求证：
已知：在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：CD；平行；
【分析】（1）此题是一道文字证明题，把题干改写成如果那么的形式：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，根据命题的题设是已知条件，命题的结论是求证部分，即可补全已知和求证；
（2）连结AC，利用SSS判断出△ABC≌△CDA，根据全等三角形对应角相等得出∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，根据内错角相等，两直线平行得出AB∥DC，BC∥AD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出结论。
22．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA＝∠CAB.∵∠EDC＝∠CAB，∴∠DCA＝∠EDC，∴AC∥DE
（2）解：四边形BCEF是平行四边形．
理由：由∠DEC＝90°，BF⊥AC，可得∠AFB＝∠DEC＝90°，
又∠EDC＝∠CAB，AB＝CD，
∴△DEC≌△AFB，∴DE＝AF，由(1)得AC∥DE，
∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD＝EF，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴EF∥BC且EF＝BC，∴四边形BCEF是平行四边形：
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】要证AC∥DE，只要证明，∠EDC=∠DCA即可；要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证，利用三角形的全等，证明四边形的两组对边分别相等.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，
∵点E、F分别为BO、DO的中点，
∴EO=OF，
∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：结论仍然成立，
理由：∵BE=DF，BO=DO，
∴EO=FO，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形ABCD，得出对角线互相平分即AO=CO，BO=DO，再根据点E、F分别为BO、DO的中点，可证得EO=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证。
（2）E，F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足BE=DF，结论仍然成立，证法同（1）。
24．【答案】（1）t；12﹣t；15﹣2t；2t
（2）解：根据题意有AP=t，CQ=2t，PD=12﹣t，BQ=15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15﹣2t，解得t=5．
∴运动5s时四边形APQB是平行四边形
（3）解：由AP=tcm，CQ=2tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD﹣AP=12﹣t，
如图1当PQ∥CD，且PQ=CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴12﹣t=2t，
解得t=4s，
即当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长（2）当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；（3）当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册6.2平行四边形的判定 同步练习
一、单选题
1．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，可知
根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，可知B不符合题意；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知C不符合题意；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知D不符合题意.
故答案为：A
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形.
2．已知：如图，四边形ABCD的两对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AD=BC
C．AB∥CD，AD∥BC D．OA=OC，OB=OD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边，故此选项不符合题意；
B、一组对边相等，另一组对边平行，不能判断其为平行四边形，故此选项符合题意；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平行四边的判定方法，两组对边分别相等的四边形是平行四边；一组对边相等，另一组对边平行，不能判断其为平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
3．顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形。
故答案为：C。
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断即可。
4．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：②③两块玻璃的角两边互相平行且中间部分相连，将两个角分别作延长线即可得到平行四边形的交点。
故答案为：D。
【分析】确定一个平行四边形，确定平行四边形的四个顶点即可。
5．如图是某城市部分街道，已知AF∥BC，EC⊥BC，EF＝CF，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，那么（ ）
A．甲将先到F站 B．乙将先到F站
C．甲、乙将同时到达 D．不能确定
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵BA∥DE，BD∥AE
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AB=DE，
∵AF∥BC，EC⊥BC，EF=CF，
∴AF是EC的垂直平分线，
∴DE=CD，
∴BA+AE+EF=BD+CD+EF，
∵两车速度相同，途中耽误的时间相同，
∴甲乙两个人同时到达.
故答案为：C.
【分析】由两组对边分别平行可知四边形ABDE为平行四边形，从而可得AB=DE，AE=BD，再结合EF=CF，可知两条路线的差别在于AB与CD的大小关系，进而为CD与DE的大小关系，再由线段中垂线的性质可知CD=DE，即可知这两条路线一样长.
6．（2018·玉林）在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、③④．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定方法，可得出符合条件的选法。
7．（2018八上·杜尔伯特期末）下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理，可得知一组对边平行另一组对边相等的四边形，不能判定为平行四边形。
8．（2017八下·三门期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图可得，AD=BC，AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形。
故选A。
【分析】根据两组对边分别相等可判定为平行四边形。
9．（2017八下·山西期末）四边形ABCD的四个角∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足下列哪一条件时，四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．1∶2∶2∶1 B．2∶1∶1∶1 C．1∶2∶3∶4 D．2∶1∶2∶1
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知选项D正确； 故选D.
10．（2017·路南模拟）根据图中所给的边长长度及角度，判断下列选项中的四边形是平行四边形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；
B、上、下这一组对边平行，左右一组对边相等，可能为等腰梯形，也可能为平行四边形，但等腰梯形的底角不可能是90°，所以为平行四边形，
C、上、下这一组对边平行，可能为梯形；
D、上、下这一组对边平行，可能为梯形．
故答案为：B．
【分析】利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判断出B符合题意.
二、填空题
11．把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 种不同的四边形，其中有 个平行四边形．
【答案】6；3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2=6个不同的四边形，其中有3个是平行四边形．因为按三角形的三边分别重合一次，查得三个四边形，通过旋转后可得三个，所以共同6个，其中有3个是平行四边形．
【分析】把相等的边重合后，得到一个四边形，三边不等，则有3个四边形；再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，且有3个四边形，这其中必有一次是平行四边形，所以共有6个四边形，其中有3个是平行四边形．
12．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AB＝4cm，AD＝8cm，当BC＝ cm，CD＝ cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若BD＝8cm，AC＝10cm，当AO＝ cm，DO＝ cm时，四边形ABCD为平行四边形．
【答案】（1）8；4
（2）5；4
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的判定定理：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形．为此，不难解出：1）AD＝8cm，AB＝4cm，所以当BC＝8cm，CD＝4cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC＝10cm，BD＝8cm，当AO＝5cm，DO＝4cm时，四边形ABCD为平行四边形．
【分析】(1)根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求；(2)根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形可求。
13．分别延长△ABC的边BA到点D，边CA到点E，使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是 ，其判断依据是 ．
【答案】平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：分别延长△ABC的边BA到点D，边CA到点E，使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是平行四边形，其判断依据是
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【分析】根据对角线的关系即可证明四边形为平行四边形。
14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC= AB AC= ×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12．
故答案为：12
【分析】 由两直线平行内错角相等可得∠AFC=∠FCD，再由点E为FC中点与隐含的对顶角相等可利用AAS证得△AEF≌△DEC，故可得AF=DC，再结合点D为BC中点可得AF=BD，从而利用一组对边平行且相等可证得四边形AFBD是平行四边形，即可知S四边形AFBD=2S△ABD，又由中线将三角形分为面积相等的两个三角形，故有S△ABC=2S△ABD，从而S四边形AFBD=S△ABC= =12
15．（2018八下·江都月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
【答案】AE=CF
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OE=OF
∴OA-OE=OC-OF
即AE=CF.
【分析】根据已知平行四边形ABCD，得出OA=OC，OB=OD，两四边形有公共的对角线BD，因此只需添加AE=CF，就可证明OE=OF，即可得出四边形DEBF是平行四边形。
16．（2018八上·长春期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF、GH相交于点O，则图中共有 个平行四边形.
【答案】9
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
， .
所以是平行四边形的有： AEOG、 EOHB、 OFCH、 GDFO；
ADFE、 EFCB、 AGHB、 GDCH； ABCD；共9个.
故答案为：9.
【分析】根据平行四边形的判定，即可得出答案。
三、解答题
17．（2018·恩施）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
【答案】证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，AE，根据等式的性质由FB=CE，得出BC=EF，根据二直线平行，内错角相等得出∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，然后利用ASA判断出△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应边相等得出AB=DE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分即可得出结论。
18．（2018八下·乐清期末）已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于0，点E，F分别在AO，CO上，且AE=CF，求证：四边形BEDF是平行四边形．
【答案】证明：在 ABCD中∴AO=CO，BO=OD∵AE=FC∴AO-AE=OC-CF即：OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可得出AO=CO，BO=OD，再根据AE=FC，可证得OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证。
19．（2018八下·合肥期中）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法.
你所添加的条件： ；
证明： .
【答案】解：条件：AE=CF；
证明：∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，
又BE＝DF，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】本题是利用△EB和△CFD全等，而后得到AB=CD，且AB//CD，从而得到四边形ABCD为平行四边形的. 已知中可得BE=DF，由AE//CF可得∠E=∠F，若找一组边的话，只有AE=CF；若找一对角相等，可找∠EAB=CDF. 都可得到两个三角形全等.
20．在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添辅助线的方法，叫做“加倍中线法”．
请用这种方法解决下面的问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.
【答案】解：延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.
∵EF＝CE，E是AB的中点，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∴AF∥BC，AF＝BC，∴∠FAB＝∠ABC.[
∴∠FAB＝∠ACB，
∴∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，
∴∠FAC＝∠DBC.
又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，
∴△AFC≌△BCD(SAS)．
∴CD＝CF，即CD＝2CE.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据题目中的添辅助线的方法--------“加倍中线法”可作辅助线，延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ACBF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF∥BC，AF＝BC，所以∠FAB＝∠ABC=∠ACB，由等式的性质可得.∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，即∠FAC＝∠DBC，用边角边可证得△AFC≌△BCD，所以CD＝CF，即CD＝2CE.
21．（2018·秀洲模拟）嘉琪同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的 ABCD，并写出了如下尚不完整的已知和求证．
（1）补全已知和求证（在方框中填空）；
已知：如图，在四边形ABCD中，BC=AD，AB= ．
求证：四边形ABCD是 四边形．
（2）嘉琪同学想利用三角形全等，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明．请你按她的想法完成证明过程．
【答案】（1）解：CD；平行
（2）解：如图，连结AC，在△ABC和△CDA中，AB=CD，BC=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
∴AB∥DC，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（1）补全已知和求证：
已知：在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：CD；平行；
【分析】（1）此题是一道文字证明题，把题干改写成如果那么的形式：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，根据命题的题设是已知条件，命题的结论是求证部分，即可补全已知和求证；
（2）连结AC，利用SSS判断出△ABC≌△CDA，根据全等三角形对应角相等得出∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，根据内错角相等，两直线平行得出AB∥DC，BC∥AD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出结论。
22．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA＝∠CAB.∵∠EDC＝∠CAB，∴∠DCA＝∠EDC，∴AC∥DE
（2）解：四边形BCEF是平行四边形．
理由：由∠DEC＝90°，BF⊥AC，可得∠AFB＝∠DEC＝90°，
又∠EDC＝∠CAB，AB＝CD，
∴△DEC≌△AFB，∴DE＝AF，由(1)得AC∥DE，
∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD＝EF，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴EF∥BC且EF＝BC，∴四边形BCEF是平行四边形：
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】要证AC∥DE，只要证明，∠EDC=∠DCA即可；要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证，利用三角形的全等，证明四边形的两组对边分别相等.
23．（2017九上·海宁开学考）已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为BO、DO的中点，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如果E，F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足BE=DF，上述结论仍然成立吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，
∵点E、F分别为BO、DO的中点，
∴EO=OF，
∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：结论仍然成立，
理由：∵BE=DF，BO=DO，
∴EO=FO，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形ABCD，得出对角线互相平分即AO=CO，BO=DO，再根据点E、F分别为BO、DO的中点，可证得EO=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证。
（2）E，F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足BE=DF，结论仍然成立，证法同（1）。
24．（2017八下·楚雄期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP= ；DP= ；BQ= ；CQ= ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【答案】（1）t；12﹣t；15﹣2t；2t
（2）解：根据题意有AP=t，CQ=2t，PD=12﹣t，BQ=15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15﹣2t，解得t=5．
∴运动5s时四边形APQB是平行四边形
（3）解：由AP=tcm，CQ=2tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD﹣AP=12﹣t，
如图1当PQ∥CD，且PQ=CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴12﹣t=2t，
解得t=4s，
即当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长（2）当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；（3）当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
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