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北师版八年级下册数学5.4.3 分式方程的应用教学设计
课题 5.4.3 分式方程的应用 单元 第五单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.通过创设日常生活中的情境,经历探索分式方程应用的过程,会检验根的合理性.2.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力,增强学生学数学、用数学的意识.3.通过创设贴近学生生活实际的现实情境,增强学生的应用意识.
重点 分式方程的应用.
难点 在实际问题中建立分式方程的模型.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：想一想：解分式方程的一般步骤是什么？解分式方程的一般步骤:(1)在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去.想一想：一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？审——设——列——解——验——答.如何通过列分式方程解决生活中的实际问题呢 学生思考回答问题。 回顾上节课知识,检查学生的掌握情况,引导学生回忆一元一次方程解应用题的一般步骤,以及每一步应注意的问题.自然过渡到列分式方程解应用题.
讲授新课 【做一做】某单位将沿街的一部分房屋出租. 每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元. （1）你能找出这一情境中的等量关系吗？第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元；第一年出租的房屋间数=第二年出租的房屋间数.（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？问题：这两年每间房屋的租金各是多少？根据第一题的等量关系你能列出方程吗？解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（ x +500）元，第一年租出的房间为间，第二年租出的房间为 间，根据题意，得解这个方程，得x=8 000.经检验x=8 000是原方程的解，也符合题意.所以第一年每间房屋的租金为8000元，第二年每间房屋的租金为8500元.【想一想】列分式方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样吗？列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系．(2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量．(3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程．(4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值．(5)验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义．(6)答：即写出答案，注意单位和答案完整．【例3】某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元。已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3，求该市今年居民用水的价格.分析：此题的主要等量关系是：小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量＝5 m3.所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出.解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3，则今年的水价为(1＋) x元/m3，根据题意，得解这个方程，得经检验，是所列方程的根.所以， 该市今年居民用水的价格为2元/m3.【总结归纳】由实际问题抽象出分式方程，重点在于准确地找出相等关系，找相等关系的方法：应用题中一般有三个量，明显地有一个量是已知量，设一个量，一定是根据另一个量来找相等关系列方程． 学生根据教师引导找出问题中的等量关系。学生列方程，解方程。学生总结列分式方程解应用题的一般步骤。学生解决问题。 引导学生通过独立思考和小组讨论的形式,用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题,形成解决问题的一些基本策略,并从中体验解题策略的多样性,培养学生的实践能力与创新精神.引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.引导学生从不同角度寻求等量关系,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识,引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.强调验根的必要性.
课堂练习 1.一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，按原计划的速度匀速行驶60 km后，再按原计划速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40 min到达目的地．求原计划的行驶速度．(1)审：审清题意，找出已知量和未知量．(2)设：设未知数，设原计划的行驶速度为x km/h，则行驶60 km后的速度为1.5x km/h．(3)列：根据等量关系，列分式方程为．(4)解：解分式方程，得x＝60．(5)验：检验所求得的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解是否符合问题的实际意义．经检验：x＝60是原方程的解，且符合题意．(6)答：写出答案(不要忘记单位)．答：原计划的行驶速度为60 km/h．2.为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1 800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少．解：设八年级捐书人数是x人，则七年级捐书人数是(x-150)人．依题意，得解得x＝450.经检验，x＝450是分式方程的解，且符合题意．答：八年级捐书人数是450人．3.为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20 kg，且A型机器人搬运1 200 kg所用时间与B型机器人搬运1000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运(x+20)kg．依题意，得，解得x＝100.经检验，x＝100是分式方程的解，且符合题意，∴x＋20＝120.答：A型机器人每小时搬运120kg原料，B型机器人每小时搬运100kg原料．4.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1 600元，N95口罩花费9 600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元；解：设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x＋10)元依题意有 ，解得x＝2.经检验，x＝2是分式方程的解，且符合题意，则x＋10＝12.答：一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元．(2)该药店计划再次购进两种口罩共2 000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？解：设购进一次性医用外科口罩y只．依题意有2y＋12(2 000－y)≤10 000，解得y≥1 400.答：至少购进一次性医用外科口罩1 400只．5.【中考·常德】第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍．小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆．由题意得 ，解得x＝4.经检验，x＝4是分式方程的解，且符合题意．则15x＝15×4＝60.答：该地4G的下载速度是每秒4兆，5G的下载速度是每秒60兆． 学生做练习，教师订正答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？列分式方程解应用题的一般步骤：审题设未知数列方程写出答案检验解分式方程 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：5.4.3 分式方程的应用一、列分式方程解应用题的步骤二、例题讲解
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5.4.3 分式方程的应用
北师版 八年级下册
新知导入
想一想：解分式方程的一般步骤是什么？
解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去.
新知导入
想一想：一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
审——设——列——解——验——答.
如何通过列分式方程解决生活中的实际问题呢
新知讲解
【做一做】某单位将沿街的一部分房屋出租. 每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
（1）你能找出这一情境中的等量关系吗？
第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元；
第一年出租的房屋间数=第二年出租的房屋间数.
新知讲解
【做一做】某单位将沿街的一部分房屋出租. 每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？
问题：这两年每间房屋的租金各是多少？
根据第一题的等量关系你能列出方程吗？
新知讲解
【做一做】某单位将沿街的一部分房屋出租. 每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
这两年每间房屋的租金各是多少？
解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（ x +500）元，第一年租出的房间为 间，第二年租出的房间为
间，根据题意，得
新知讲解
【做一做】某单位将沿街的一部分房屋出租. 每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
这两年每间房屋的租金各是多少？
解这个方程，得x=8 000.
经检验x=8 000是原方程的解，也符合题意.
所以第一年每间房屋的租金为8000元，第二年每间房屋的租金为
8500元.
新知讲解
【想一想】列分式方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样吗？
列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系．
(2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量．
(3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程．
新知讲解
(4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值．
(5)验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义．
(6)答：即写出答案，注意单位和答案完整．
【想一想】列分式方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样吗？
新知讲解
【例3】某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元。已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3，求该市今年居民用水的价格.
分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量＝5 m3.
所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出.
新知讲解
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3，
则今年的水价为(1＋ ) x元/m3，
根据题意，得
解这个方程，得
经检验， 是所列方程的根.
所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.
新知讲解
【总结归纳】
由实际问题抽象出分式方程，重点在于准确地找出相等关系，找相等关系的方法：
应用题中一般有三个量，明显地有一个量是已知量，设一个量，一定是根据另一个量来找相等关系列方程．
课堂练习
1.一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，按原计划的速度匀速行驶60 km后，再按原计划速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40 min到达目的地．求原计划的行驶速度．
(1)审：审清题意，找出已知量和未知量．
(2)设：设未知数，设原计划的行驶速度为x km/h，则行驶60 km后的速度为_____________．
(3)列：根据等量关系，列分式方程为_______________________．
1.5x km/h
课堂练习
(4)解：解分式方程，得x＝________．
(5)验：检验所求得的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解是否符合问题的实际意义．
经检验：________是原方程的解，且符合题意．
(6)答：写出答案(不要忘记单位)．
答：原计划的行驶速度为____________．
1.一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，按原计划的速度匀速行驶60 km后，再按原计划速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40 min到达目的地．求原计划的行驶速度．
60
x＝60
60 km/h
课堂练习
2.为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1 800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．
求八年级捐书人数是多少．
解：设八年级捐书人数是x人，则七年级捐书人数是(x-150)人．
依题意，得
解得x＝450.
经检验，x＝450是分式方程的解，且符合题意．
答：八年级捐书人数是450人．
3.为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20 kg，且A型机器人搬运1 200 kg所用时间与B型机器人搬运1000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．
解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运(x+20)kg．
依题意，得 ，解得x＝100.
经检验，x＝100是分式方程的解，且符合题意，∴x＋20＝120.
答：A型机器人每小时搬运120kg原料，B型机器人每小时搬运100kg原料．
课堂练习
拓展提高
4.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1 600元，N95口罩花费9 600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元；
解：设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x＋10)元依题意有 ，解得x＝2.
经检验，x＝2是分式方程的解，且符合题意，
则x＋10＝12.
答：一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元．
拓展提高
解：设购进一次性医用外科口罩y只．
依题意有2y＋12(2 000－y)≤10 000，
解得y≥1 400.
答：至少购进一次性医用外科口罩1 400只．
4.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1 600元，N95口罩花费9 600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
(2)该药店计划再次购进两种口罩共2 000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
中考链接
5.【中考·常德】第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍．小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆．
解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆．由题意得 ，解得x＝4.
经检验，x＝4是分式方程的解，且符合题意．
则15x＝15×4＝60.
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，5G的下载速度是每秒60兆．
课堂总结
本节课你学到了什么？
审题
设未知数
列方程
解分式方程
检验
写出答案
列分式方程解应用题的一般步骤：
板书设计
课题：5.4.3 分式方程的应用
教师板演区
学生展示区
一、列分式方程解应用题的步骤
二、例题讲解
作业布置
课本 P130 练习题
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