2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册3.4简单的图案设计 同步练习
一、单选题
1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018八下·句容月考）下列图案中，可以由一个”基本图案”连续旋转45°得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案，以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（ ）
A． 饕餮纹
B． 三兔纹
C． 凤鸟纹
D． 花卉纹
4．下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到右图的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是（ ）
A． B． C． D．
8．下列所示的图案中，可以由一个“基本图形”连续旋转45°得到的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图是一个镶边的模板，该图案是由基本图形（ ）通过一次平移得到的.
A． B．
C． D．
10．（2017七下·新野期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
二、综合题
11．如图，图（1）和图（2）是中心对称图形，仿照（1）和（2），完成（3）（4）（5）（6）的中心对称图形．
12．（2018八上·宜兴月考）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形.
（1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）．
（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 个．
13．如图，按要求涂阴影：
（1）将图形①平移到图形②；
（2）将图形②沿图中虚线翻折到图形③；
（3）将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④．
14．如图，在网格中有一个四边形图案．
（1）请你分别画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形，关于点O对称的图形以及逆时针旋转90°的图形，并将它们涂黑；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1，A2，A3，求四边形AA1A2A3的面积；
（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
15．（2017·定远模拟）如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…
（1）观察图形并完成表格：
图形名称 基本图形的个数 菱形的个数
图① 1 1
图② 2 3
图③ 3 7
图④ 4
… … …
猜想：在图n中，菱形的个数为 [用含有n（n≥3）的代数式表示]；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（x1，1），则x1= ；第2017个基本图形的中心O2017的坐标为
16．如图，下列图形均可以由“基本图案”通过变换得到．
（1）通过平移变换，但不能通过旋转变换得到的图案是 ；
（2）可能通过旋转变换，但不能通过平移变换得到的图案是 ；
（3）既可以由平移变换，也可以由旋转变换得到的图案是 ．（填序号）
17．如图所示，由11个面积为6的等边三角形按下列方式排列，它们都有一边在同一直线上，每个三角形在直线上的边的中点恰为下一个三角形的一个顶点．
（1）请说明这一图案的形成过程．
（2）由11个三角形所盖住的平面区域的面积是多少？
18．小宁和婷婷在一起做拼图游戏，他们用“ 、△△、=”构思出了独特而有意义的图形并根据图形还用简洁的语言进行了表述：
观察以上图案
（1）这个图案有什么特点？
（2）它可以通过一个“基本图案”经过怎样的平移而形成？
（3）在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理吗？
19．如图所示的图案是由7个正六边形组成的,下面是三名同学对该图案的形成过程的不同见解.
甲:该图案可看成是由其中一个正六边形经过6次平移而形成的.
乙:该图案可看成是由图案的一半经过轴对称变换而形成的.
丙:该图案可看成是由图案的一半经过中心对称变换而形成的.
你认为上述观点都正确吗
20．如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个图案．
21．（2018八上·徐州期末）如图是由三个全等的小正方形组成的图形，请在图中分别补画1个同样大小的正方形，使补画后的图形为轴对称图形．（要求：用3种不同的方法）
22．以一直角三角形为“基本图形”，利用旋转而得到一个风车风轮图案．你能设计出几种风车风轮图案呢？请将你的图案画出来，完成后与同学进行交流．
23．五一节前，市园林部门准备在文化广场特设直径均为4米的八个圆形花坛，在内放置面积相同的两种颜色的盆栽草花，要求各个花坛内两种草花的摆设不能相同，如图中的①、②．请你再至少设计出四种方案．
24．请你用基本图形 经过旋转、平移和轴对称设计一个美丽的图案．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平移的性质；利用平移设计图案
【解析】【解答】解:根据平移的概念,观察图形可知图案D通过平移后可以得到.故答案为：D
【分析】根据平移的定义及平移的性质，可出答案。
2．【答案】B
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、由基本图形连续旋转90°得到，因此此选项不符合题意；
B、由基本图形连续旋转45°得到，因此此选项符合题意；
C、由基本图形连续旋转60°得到，因此此选项不符合题意；
D、由基本图形连续旋转90°得到，因此此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】要由一个”基本图案”连续旋转45°得到的，可知整个图案应有8个基本图案组成的，观察四个选项中的图案，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、图中利用的是对称，错误；
B、图中利用的是旋转，正确；
C、图中利用的位似，错误；
D、图中利用的是平移，错误；
故选B
【分析】根据旋转的性质与特点判断即可．
4．【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、把 平移得到 ，然后把 旋转可得到右图；
B、把 旋转可得到右图；
C、把 经过平移、旋转或翻折后，都不能得到右图；
D、把 翻折后可得到右图．
故选C．
【分析】利用平移和旋转对A进行判断；利用旋转对B进行判断；利用翻折对D进行判断．
5．【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：图形①可以分别旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形②可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形③可以旋转180°得到，不可以经过轴对称得到，故此选项错误；
图形④可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．
故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有3个．
故选：C．
【分析】根据旋转、轴对称的定义来分析．图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．
6．【答案】B
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，
故选B．
【分析】根据轴对称和旋转的性质即可得到结论．
7．【答案】C
【知识点】利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：
A、B、C、D四个选项中的图形都可以看成是图形的一半旋转180°得到，
若一个图形可以通过某一个基本图形平移得到，则这个图形可以分成几个相同的基本图形，且基本图形之间对应点的连线应该是平行的，
故A、B、D不能由平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形 通过平移得到，
故选C．
【分析】分别根据旋转的定义及平移的定义逐项分析即可．
8．【答案】B
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】A、至少旋转=90°，A不符合题意；
B、至少旋转=45°，B符合题意；
C、至少旋转=60°，C符合题意；
D、至少旋转=90°，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】每个图形都是旋转对称图形，计算出每个图形中的最小旋转角，即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】平移的性质；利用平移设计图案
【解析】【解答】根据平移的性质可知模板是由平移得到的。
故答案为：B
【分析】根据平移的性质看得出答案。
10．【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】如图所示：
组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有4种．
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．
11．【答案】
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：答案不唯一
【分析】根据中心对称图形的性质分别画出图形即可．
12．【答案】（1）解：如图所示：
（2）6
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个．
故答案为：6．
【分析】（1）利用网格结合轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可。
（2）利用（1）中所画图形，进而得出答案。
13．【答案】（1）解：如图②所示：
（2）解：如图③所示：
（3）解：如图④所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】（1）利用平移的性质直接得出平移后的图形；（2）利用轴对称图形的性质直接得出翻折后的图形；（3）利用中心对称图形的性质直接得出旋转后的图形．
14．【答案】（1）解：如图，正确画出图案；
（2）解：如图，S四边形AA1A2A3=S四边形BB1B2B3﹣4S△BAA3
=（3+5）2﹣4× ×3×5，
=34（1分）
故四边形AA1A2A3的面积为34
（3）解：由图可知：（a+c）2=4× ac+b2，
整理得：c2+a2=b2，
即：AB2+BC2=AC2．
这就是著名的勾股定理
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【分析】第一问根据图形旋转的性质画出旋转后的三角形即可；第二问由旋转的性质结合所画的图形，可发现S四边形AA1A2A3与S四边形AB1B2B3与4S△BAA3之间的关系依次代入求值；第三问由AB，BC和AC之间的关系可知这个图案就是我们几何中的著名的勾股定理．
15．【答案】（1）11；4n﹣5
（2）；（2017 ，1）
【知识点】菱形的判定与性质；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案
【解析】【分析】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2），
图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11，
∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，
∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5，
故答案为：11，4n﹣5；
⑵过点O1作O1A⊥y轴，O1B⊥x轴，则OA=1，
由菱形的性质知∠BAO1=30°，
∴AO1= = = ，
即x1= ，
中心O2的坐标为（2 ，1）、O3的坐标为（3 ，1）…，O2017的坐标为（2017 ，1），
故答案为： ，（2017 ，1）．
【分析】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2），图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11，当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，得到规律，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5；（2）根据菱形的性质得出O1的坐标，依次得到O2、O3……的坐标，得出结论.
16．【答案】（1）①⑤
（2）②⑥
（3）③④
【知识点】利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：（1.）通过平移变换，但不能通过旋转变换得到的图案是：①⑤；
（2.）可能通过旋转变换，但不能通过平移变换得到的图案是：②⑥；
（3.）既可以由平移变换，也可以由旋转变换得到的图案是：③④．
故答案为：①⑤、②⑥、③④．
【分析】根据平移及旋转的特点，结合各图形进行判断即可．
17．【答案】（1）解：将第一个等边三角形向右连续平移，每次平移的距离是边长的一半
（2）解：相邻两个三角形相互重叠的面积是一个三角形面积的 ，所以这11个三角形所盖住的平面区域的面积是11×6﹣ ×6×10=66﹣15=51
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【分析】（1）找到两个等边三角形的对应顶点，对应顶点之间的距离即为平移的距离，从前一三角形的顶点到后一三角形的顶点为平移的方向；（2）经过观察可得11个三角形所盖住的平面区域的面积为11个三角形的面积﹣10个重叠部分的三角形的面积，根据相似可得重叠部分的面积等于原三角形面积的四分之一．
18．【答案】（1）解：其特点可以看由一个“基本图形”经过平移而得到另一个图形
（2）解：（1）～（5）均可以看成前一个图形是后一个图形向前平移一定距离后得到的；（6）中的下面图形可以看成是上面图形向下平移一段距离再向右平移一段距离后得到的
（3）解：不发生改变，由平移的定义可知．平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【分析】（1）根据所给图形写出其特点即可；（2）根据平移的定义结合图案作出回答即可；（3）根据平移的性质解答．
19．【答案】解:甲从平移的角度,以一个正六边形为基本图形进行分析;乙从轴对称的角度,以图案的一半为基本图形进行分析;丙从中心对称的角度,以图案的一半为基本图形进行分析.虽然各自分析的角度不同,但是他们的观点都是正确的
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】利用平移、轴对称、中心对称的相关知识解答此题即可。
20．【答案】解：先以等边三角形的一边为基础画一个基本图形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转60°后删除原等边三角形.
如图所示：
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【分析】利用旋转设计图案，此题答案不唯一，先以等边三角形的一边为基础画一个基本图形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转60°后删除原等边三角形.
21．【答案】解：
如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。这条直线就是对称轴。
根据轴对称画对称的图像，先确定对称轴，对称轴可以是竖着、横着、斜着，对称轴左边的是轴对称图像的一半，再填补另一半图像即可。
22．【答案】解：所画的是旋转90°的情况．
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【分析】根据旋转的角度不同可得到不同的风车形状，只要满足题意即可．
23．【答案】解：如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】分别利用图形的旋转、平移及对称设计出图案即可．
24．【答案】解：设计图案如下：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】此题比较开放，但要根据题意要求，三种几何变换都要用上，注意美观性．
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册3.4简单的图案设计 同步练习
一、单选题
1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平移的性质；利用平移设计图案
【解析】【解答】解:根据平移的概念,观察图形可知图案D通过平移后可以得到.故答案为：D
【分析】根据平移的定义及平移的性质，可出答案。
2．（2018八下·句容月考）下列图案中，可以由一个”基本图案”连续旋转45°得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、由基本图形连续旋转90°得到，因此此选项不符合题意；
B、由基本图形连续旋转45°得到，因此此选项符合题意；
C、由基本图形连续旋转60°得到，因此此选项不符合题意；
D、由基本图形连续旋转90°得到，因此此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】要由一个”基本图案”连续旋转45°得到的，可知整个图案应有8个基本图案组成的，观察四个选项中的图案，即可得出答案。
3．彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案，以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（ ）
A． 饕餮纹
B． 三兔纹
C． 凤鸟纹
D． 花卉纹
【答案】B
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、图中利用的是对称，错误；
B、图中利用的是旋转，正确；
C、图中利用的位似，错误；
D、图中利用的是平移，错误；
故选B
【分析】根据旋转的性质与特点判断即可．
4．下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到右图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、把 平移得到 ，然后把 旋转可得到右图；
B、把 旋转可得到右图；
C、把 经过平移、旋转或翻折后，都不能得到右图；
D、把 翻折后可得到右图．
故选C．
【分析】利用平移和旋转对A进行判断；利用旋转对B进行判断；利用翻折对D进行判断．
5．如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：图形①可以分别旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形②可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形③可以旋转180°得到，不可以经过轴对称得到，故此选项错误；
图形④可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．
故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有3个．
故选：C．
【分析】根据旋转、轴对称的定义来分析．图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．
6．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，
故选B．
【分析】根据轴对称和旋转的性质即可得到结论．
7．下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：
A、B、C、D四个选项中的图形都可以看成是图形的一半旋转180°得到，
若一个图形可以通过某一个基本图形平移得到，则这个图形可以分成几个相同的基本图形，且基本图形之间对应点的连线应该是平行的，
故A、B、D不能由平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形 通过平移得到，
故选C．
【分析】分别根据旋转的定义及平移的定义逐项分析即可．
8．下列所示的图案中，可以由一个“基本图形”连续旋转45°得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】A、至少旋转=90°，A不符合题意；
B、至少旋转=45°，B符合题意；
C、至少旋转=60°，C符合题意；
D、至少旋转=90°，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】每个图形都是旋转对称图形，计算出每个图形中的最小旋转角，即可得出答案。
9．如图是一个镶边的模板，该图案是由基本图形（ ）通过一次平移得到的.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；利用平移设计图案
【解析】【解答】根据平移的性质可知模板是由平移得到的。
故答案为：B
【分析】根据平移的性质看得出答案。
10．（2017七下·新野期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】如图所示：
组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有4种．
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．
二、综合题
11．如图，图（1）和图（2）是中心对称图形，仿照（1）和（2），完成（3）（4）（5）（6）的中心对称图形．
【答案】
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：答案不唯一
【分析】根据中心对称图形的性质分别画出图形即可．
12．（2018八上·宜兴月考）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形.
（1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）．
（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 个．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）6
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个．
故答案为：6．
【分析】（1）利用网格结合轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可。
（2）利用（1）中所画图形，进而得出答案。
13．如图，按要求涂阴影：
（1）将图形①平移到图形②；
（2）将图形②沿图中虚线翻折到图形③；
（3）将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④．
【答案】（1）解：如图②所示：
（2）解：如图③所示：
（3）解：如图④所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】（1）利用平移的性质直接得出平移后的图形；（2）利用轴对称图形的性质直接得出翻折后的图形；（3）利用中心对称图形的性质直接得出旋转后的图形．
14．如图，在网格中有一个四边形图案．
（1）请你分别画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形，关于点O对称的图形以及逆时针旋转90°的图形，并将它们涂黑；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1，A2，A3，求四边形AA1A2A3的面积；
（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
【答案】（1）解：如图，正确画出图案；
（2）解：如图，S四边形AA1A2A3=S四边形BB1B2B3﹣4S△BAA3
=（3+5）2﹣4× ×3×5，
=34（1分）
故四边形AA1A2A3的面积为34
（3）解：由图可知：（a+c）2=4× ac+b2，
整理得：c2+a2=b2，
即：AB2+BC2=AC2．
这就是著名的勾股定理
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【分析】第一问根据图形旋转的性质画出旋转后的三角形即可；第二问由旋转的性质结合所画的图形，可发现S四边形AA1A2A3与S四边形AB1B2B3与4S△BAA3之间的关系依次代入求值；第三问由AB，BC和AC之间的关系可知这个图案就是我们几何中的著名的勾股定理．
15．（2017·定远模拟）如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…
（1）观察图形并完成表格：
图形名称 基本图形的个数 菱形的个数
图① 1 1
图② 2 3
图③ 3 7
图④ 4
… … …
猜想：在图n中，菱形的个数为 [用含有n（n≥3）的代数式表示]；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（x1，1），则x1= ；第2017个基本图形的中心O2017的坐标为
【答案】（1）11；4n﹣5
（2）；（2017 ，1）
【知识点】菱形的判定与性质；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案
【解析】【分析】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2），
图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11，
∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，
∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5，
故答案为：11，4n﹣5；
⑵过点O1作O1A⊥y轴，O1B⊥x轴，则OA=1，
由菱形的性质知∠BAO1=30°，
∴AO1= = = ，
即x1= ，
中心O2的坐标为（2 ，1）、O3的坐标为（3 ，1）…，O2017的坐标为（2017 ，1），
故答案为： ，（2017 ，1）．
【分析】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2），图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11，当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，得到规律，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5；（2）根据菱形的性质得出O1的坐标，依次得到O2、O3……的坐标，得出结论.
16．如图，下列图形均可以由“基本图案”通过变换得到．
（1）通过平移变换，但不能通过旋转变换得到的图案是 ；
（2）可能通过旋转变换，但不能通过平移变换得到的图案是 ；
（3）既可以由平移变换，也可以由旋转变换得到的图案是 ．（填序号）
【答案】（1）①⑤
（2）②⑥
（3）③④
【知识点】利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：（1.）通过平移变换，但不能通过旋转变换得到的图案是：①⑤；
（2.）可能通过旋转变换，但不能通过平移变换得到的图案是：②⑥；
（3.）既可以由平移变换，也可以由旋转变换得到的图案是：③④．
故答案为：①⑤、②⑥、③④．
【分析】根据平移及旋转的特点，结合各图形进行判断即可．
17．如图所示，由11个面积为6的等边三角形按下列方式排列，它们都有一边在同一直线上，每个三角形在直线上的边的中点恰为下一个三角形的一个顶点．
（1）请说明这一图案的形成过程．
（2）由11个三角形所盖住的平面区域的面积是多少？
【答案】（1）解：将第一个等边三角形向右连续平移，每次平移的距离是边长的一半
（2）解：相邻两个三角形相互重叠的面积是一个三角形面积的 ，所以这11个三角形所盖住的平面区域的面积是11×6﹣ ×6×10=66﹣15=51
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【分析】（1）找到两个等边三角形的对应顶点，对应顶点之间的距离即为平移的距离，从前一三角形的顶点到后一三角形的顶点为平移的方向；（2）经过观察可得11个三角形所盖住的平面区域的面积为11个三角形的面积﹣10个重叠部分的三角形的面积，根据相似可得重叠部分的面积等于原三角形面积的四分之一．
18．小宁和婷婷在一起做拼图游戏，他们用“ 、△△、=”构思出了独特而有意义的图形并根据图形还用简洁的语言进行了表述：
观察以上图案
（1）这个图案有什么特点？
（2）它可以通过一个“基本图案”经过怎样的平移而形成？
（3）在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理吗？
【答案】（1）解：其特点可以看由一个“基本图形”经过平移而得到另一个图形
（2）解：（1）～（5）均可以看成前一个图形是后一个图形向前平移一定距离后得到的；（6）中的下面图形可以看成是上面图形向下平移一段距离再向右平移一段距离后得到的
（3）解：不发生改变，由平移的定义可知．平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【分析】（1）根据所给图形写出其特点即可；（2）根据平移的定义结合图案作出回答即可；（3）根据平移的性质解答．
19．如图所示的图案是由7个正六边形组成的,下面是三名同学对该图案的形成过程的不同见解.
甲:该图案可看成是由其中一个正六边形经过6次平移而形成的.
乙:该图案可看成是由图案的一半经过轴对称变换而形成的.
丙:该图案可看成是由图案的一半经过中心对称变换而形成的.
你认为上述观点都正确吗
【答案】解:甲从平移的角度,以一个正六边形为基本图形进行分析;乙从轴对称的角度,以图案的一半为基本图形进行分析;丙从中心对称的角度,以图案的一半为基本图形进行分析.虽然各自分析的角度不同,但是他们的观点都是正确的
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】利用平移、轴对称、中心对称的相关知识解答此题即可。
20．如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个图案．
【答案】解：先以等边三角形的一边为基础画一个基本图形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转60°后删除原等边三角形.
如图所示：
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【分析】利用旋转设计图案，此题答案不唯一，先以等边三角形的一边为基础画一个基本图形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转60°后删除原等边三角形.
21．（2018八上·徐州期末）如图是由三个全等的小正方形组成的图形，请在图中分别补画1个同样大小的正方形，使补画后的图形为轴对称图形．（要求：用3种不同的方法）
【答案】解：
如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。这条直线就是对称轴。
根据轴对称画对称的图像，先确定对称轴，对称轴可以是竖着、横着、斜着，对称轴左边的是轴对称图像的一半，再填补另一半图像即可。
22．以一直角三角形为“基本图形”，利用旋转而得到一个风车风轮图案．你能设计出几种风车风轮图案呢？请将你的图案画出来，完成后与同学进行交流．
【答案】解：所画的是旋转90°的情况．
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【分析】根据旋转的角度不同可得到不同的风车形状，只要满足题意即可．
23．五一节前，市园林部门准备在文化广场特设直径均为4米的八个圆形花坛，在内放置面积相同的两种颜色的盆栽草花，要求各个花坛内两种草花的摆设不能相同，如图中的①、②．请你再至少设计出四种方案．
【答案】解：如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】分别利用图形的旋转、平移及对称设计出图案即可．
24．请你用基本图形 经过旋转、平移和轴对称设计一个美丽的图案．
【答案】解：设计图案如下：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】此题比较开放，但要根据题意要求，三种几何变换都要用上，注意美观性．
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