解三角形
一、选择题
1、（2022年通州区一模）在△ABC中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2．(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)在中，已知，，，则( )
A．1 B． C． D．3
3、（2022丰台一模第6题）在△中，，则
（A） （B） （C） （D）或
4、（2022东城一模第5题）已知，则
（A） （B） （C） （D）
5、（2022石景山一模第8题）在△中，，若，则的大小是
A． B． C． D．
二、填空
1、(2021·全国高考真题(理))记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
2、(2021·浙江高考真题)在中，，M是的中点，，则___________，___________.
3、（2022门头沟一模第13题）在中，，，，则 ；为的中点，则的长为
三、解答题
1、(2021·全国高考真题)记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
(1)证明：；
(2)若，求.
2、(2021年天津卷数学试题)在，角所对的边分别为，已知，．
(I)求a的值；
(II)求的值；
(III)求的值．
3、(2021年北京卷数学试题)已知在中，，．
(1)求的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长为；③面积为；
4、（2022西城一模第16题）在△ABC中，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求边上高线的长.
条件①：，；
条件②：，；
条件③：，.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.解三角形
一、选择题
1、（2022年通州区一模）在△ABC中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2．(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)在中，已知，，，则( )
A．1 B． C． D．3
3、（2022丰台一模第6题）在△中，，则
（A） （B） （C） （D）或
4、（2022东城一模第5题）已知，则
（A） （B） （C） （D）
5、（2022石景山一模第8题）在△中，，若，则的大小是
A． B． C． D．
二、填空
1、(2021·全国高考真题(理))记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
2、(2021·浙江高考真题)在中，，M是的中点，，则___________，___________.
3、（2022门头沟一模第13题）在中，，，，则 ；为的中点，则的长为
三、解答题
1、(2021·全国高考真题)记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
(1)证明：；
(2)若，求.
2、(2021年天津卷数学试题)在，角所对的边分别为，已知，．
(I)求a的值；
(II)求的值；
(III)求的值．
3、(2021年北京卷数学试题)已知在中，，．
(1)求的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长为；③面积为；
4、（2022西城一模第16题）在△ABC中，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求边上高线的长.
条件①：，；
条件②：，；
条件③：，.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
答案
一、选择
1、D
【分析】
直接利用余弦定理求解即可
【详解】
因为在△ABC中，，，，
所以由余弦定理得，
，得，
解得，或（舍去），
故选：D
2、【答案】D
【分析】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：(舍去)，
故.
故选：D.
3、答案：A
∵由正弦定理得
∴△中即
4、答案：C
5、答案：C
利用三角形的内角和定理及诱导公式得到,再利用两角和与差的余弦函数公式化简,把A的度数代入已知等式求出sinBsinC的值,代入计算求出cosBcosC的值,再利用两角和与差的余弦函数公式求出的值,进而得到,即可求出的度数.或答案反推易得 C
此题考查了正弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
二、填空
1、【答案】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得(负值舍去).
故答案为：.
2、【答案】
【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得(负值舍去)，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
3、答案：解：由正弦定理得：；
由余弦定理得：．
三、解答题
1、【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】(1)根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
(2)由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求.
【详解】
(1)由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
(2)由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及得到的数量关系，结合已知条件及余弦定理求.
2、【答案】(I)；(II)；(III)
【解析】
【分析】(I)由正弦定理可得，即可求出；
(II)由余弦定理即可计算；
(III)利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】(I)因为，由正弦定理可得，
，；
(II)由余弦定理可得；
(III)，，
，，
所以.
3、【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】(1)由正弦定理化边为角即可求解；
(2)若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】(1)，则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由(1)可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由(1)可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
4、解：（Ⅰ）在中，因为,
所以由正弦定理可得
因为，所以.
所以.
在中，， 所以，所以 .
（Ⅱ）选条件①：
因为在中，，所以.
因为，
所以.
设边上高线的长为，则
选条件②：不唯一.
选条件③：
由余弦定理得 ，所以.
所以为等腰三角形，.
设边上高线的长为，则.
