华师大版数学九年级上册23.3.2 第2课时 相似三角形的判定定理2和3 同步课件(共19张PPT)
文档属性
| 名称 | 华师大版数学九年级上册23.3.2 第2课时 相似三角形的判定定理2和3 同步课件(共19张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 344.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-26 06:22:09 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
23.3.2 第2课时 相似三角形的判定定理2和3
第23章 图形的相似
情景导入
问题1：有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
问题2：类比三角形全等的判定方法（SAS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
角相等？
获取新知
观察图, 如果有一点E在边A C上移动， 那么点E在什么位置时能使△ADE与△ ABC相似呢？
图中△ADE与△ ABC的一组对应边AD与AB的长度的比值为 将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE = AC时，△ADE与△ ABC似乎相似.此时 .
E
知识点一：三角形相似的判定定理2
猜想
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
下面我们来证明上述猜想.
已知：如图，在△ABC和△ A1B1C1中，∠A=∠A1，
求证：△ABC∽△ A1B1C1.
证明： 在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1， 过点D作
BC的平行线交AC于点E, 则△ADE∽△ABC
∴ AE= A1C1.
在△ADE与△A1B1C1 中，
∵ AD=A1B1 ,∠A=∠A1， AE= A1C1 ，
∴ △ADE≌△A1B1C1.
∴△ABC∽△A1B1C1 .
相似三角形判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
∵
∽
∴
符号语言：
B
A
C
B'
A'
C'
例题讲解
例1 证明图中的△AEB和△FEC相似.
又∵∠AEB=∠FEC
∴△AEB∽△FEC，(两边成比例且
夹角相等的两个 三角形相似).
A
B
C
F
E
45
54
30
36
【归纳总结】利用两边及夹角判定三角形相似的策略：
(1)角与边的联系：角是对应边的夹角，边是此对应角的两边．
一定要注意：与对应角的对边无关．
(2)找条件：已知条件中有明确的比例关系式时，只要证明与比例关系式相关的两边的夹角相等即可．
注意利用图形中的隐含条件，如：公共角、对顶角等．
获取新知
知识点二：三角形相似的判定定理3
如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？
探索
在如图所示的方格图中任画一个三 角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数.画完之后，用量角器 度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了 什么结论？你同伴的结论和你的一样吗？
符号语言：
在△ABC与△A′B′C′中，
∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似。
A
B
C
C′
B′
A′
已知：在△ABC与△A′B′C′中，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
∴
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
又 ，AD=A′B′，
∴ ，
C′
B′
A′
B
C
A
例题讲解
例2 在△ABC和△A′B′C′中，AB=6 cm , BC=8 cm ,
AC=10 cm, A′B′=18 cm, B′C′ =24cm , A′C′ =30cm. 试证明△ABC和△A′B′C′相似.
∴△ABC∽△ A′B′C′ (三边成比例的两个三角形相似).
随堂演练
1.如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
C
2.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
B
3.如图所示,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过点P的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和△ABC相似,则AQ的长为 .
4. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，
求证： △ABC ∽△AED.
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
5. 图1，图2中小正方形的边长均为1，则图1中的三角形(阴影部分)与图2中的△ABC相似的是哪一个图形？
图1
图2
解：由勾股定理知AC＝ BC＝2，AB＝
图2(1)中，三角形的三边长分别为
图2(2)中，三角形的三边长分别为
图2(3)中，三角形的三边长分别为
图2(4)中，三角形的三边长分别为
∴图2(2)中的三角形与△ABC相似．
课堂小结
“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：
虽然它们都表示两个图形相似，但前者对应关系固定，后者对应关系不固定(分类讨论)．
三角形相似的判定2和3
判定定理3：
三边对应成比例
判定定理2：
两边成比例+夹角相等
23.3.2 第2课时 相似三角形的判定定理2和3
第23章 图形的相似
情景导入
问题1：有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
问题2：类比三角形全等的判定方法（SAS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
角相等？
获取新知
观察图, 如果有一点E在边A C上移动， 那么点E在什么位置时能使△ADE与△ ABC相似呢？
图中△ADE与△ ABC的一组对应边AD与AB的长度的比值为 将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE = AC时，△ADE与△ ABC似乎相似.此时 .
E
知识点一：三角形相似的判定定理2
猜想
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
下面我们来证明上述猜想.
已知：如图，在△ABC和△ A1B1C1中，∠A=∠A1，
求证：△ABC∽△ A1B1C1.
证明： 在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1， 过点D作
BC的平行线交AC于点E, 则△ADE∽△ABC
∴ AE= A1C1.
在△ADE与△A1B1C1 中，
∵ AD=A1B1 ,∠A=∠A1， AE= A1C1 ，
∴ △ADE≌△A1B1C1.
∴△ABC∽△A1B1C1 .
相似三角形判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
∵
∽
∴
符号语言：
B
A
C
B'
A'
C'
例题讲解
例1 证明图中的△AEB和△FEC相似.
又∵∠AEB=∠FEC
∴△AEB∽△FEC，(两边成比例且
夹角相等的两个 三角形相似).
A
B
C
F
E
45
54
30
36
【归纳总结】利用两边及夹角判定三角形相似的策略：
(1)角与边的联系：角是对应边的夹角，边是此对应角的两边．
一定要注意：与对应角的对边无关．
(2)找条件：已知条件中有明确的比例关系式时，只要证明与比例关系式相关的两边的夹角相等即可．
注意利用图形中的隐含条件，如：公共角、对顶角等．
获取新知
知识点二：三角形相似的判定定理3
如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？
探索
在如图所示的方格图中任画一个三 角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数.画完之后，用量角器 度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了 什么结论？你同伴的结论和你的一样吗？
符号语言：
在△ABC与△A′B′C′中，
∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似。
A
B
C
C′
B′
A′
已知：在△ABC与△A′B′C′中，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
∴
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
又 ，AD=A′B′，
∴ ，
C′
B′
A′
B
C
A
例题讲解
例2 在△ABC和△A′B′C′中，AB=6 cm , BC=8 cm ,
AC=10 cm, A′B′=18 cm, B′C′ =24cm , A′C′ =30cm. 试证明△ABC和△A′B′C′相似.
∴△ABC∽△ A′B′C′ (三边成比例的两个三角形相似).
随堂演练
1.如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
C
2.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
B
3.如图所示,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过点P的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和△ABC相似,则AQ的长为 .
4. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，
求证： △ABC ∽△AED.
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
5. 图1，图2中小正方形的边长均为1，则图1中的三角形(阴影部分)与图2中的△ABC相似的是哪一个图形？
图1
图2
解：由勾股定理知AC＝ BC＝2，AB＝
图2(1)中，三角形的三边长分别为
图2(2)中，三角形的三边长分别为
图2(3)中，三角形的三边长分别为
图2(4)中，三角形的三边长分别为
∴图2(2)中的三角形与△ABC相似．
课堂小结
“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：
虽然它们都表示两个图形相似，但前者对应关系固定，后者对应关系不固定(分类讨论)．
三角形相似的判定2和3
判定定理3：
三边对应成比例
判定定理2：
两边成比例+夹角相等