华师大版数学九年级上册23.3.3 相似三角形的性质 同步课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
23.3.3 相似三角形的性质
第23章 图形的相似
情景导入
A
C
B
A1
C1
B1
性质：相似三角形对应角相等、对应边成比例.
若△ABC∽ △A1B1C1
三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
A'
B'
D'
C'
A
B
C
D
A'
B'
C'
E'
A
B
C
E
相似三角形的对应线段之间有什么数量上的关系呢？
获取新知
△ABD和△A'B ' D'都是直角三角形，且∠B=∠B'，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似. 因此
结论1.相似三角形对应边上的高的比等于相似比
一、相似三角形对应边上的高的比等于相似比
二、相似三角形对应的中线的比等于相似比
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的中线，求证：
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
∴ ∠B=∠B′ ．
又AD,A'D′分别为对应边的中线.
∴ △ABD∽△A′B′D′.
A'
B'
D'
C'
A
B
C
D
三、相似三角形对应角的平分线的比等于相似比
A'
B'
C'
E'
A
B
C
E
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
且BE,B′E′是角的平方线，求证：
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ∠B′A′C′= ∠BAC．
又BE,B′E′分别为对应角的平方线
∴ ∠ABE= ∠A′B′E′.
∴ △ABE∽△A′B′E′.
四、相似三角形周长的比等于相似比
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
A
B
C
A1
B1
C1
五、相似三角形面积的比等于相似比的平方
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
1. 相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
2. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比．
3. 相似三角形对应角的平分线的比等于相似比．
4. 相似三角形的周长之比等于相似比；
5．相似三角形面积的比等于相似比的平方；
易错警示：利用相似三角形的性质时，
要注意“对应”两字，要找准对应线段．
例题讲解
例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR= BC时，求DE的长.如果SR= BC呢？
解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD,∴ SR∥BC.
∴ ∠ASR=∠B， ∠ARS=∠C.
∴ △ASR∽△ ABC(两角分别相等的两个三角形相似）.
(相似三角形对应高的比等于相似比），
当SR= BC时，得 解得DE= h.
当SR= BC时，得 解得DE= h.
例2 已知：如图，□ ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝ EC，BD，AE相交于F点．
(1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比；
(2)若△BEF的面积为6 cm2，求△AFD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD.
∴△BEF∽△DAF.
∵BE＝ EC，
∴BE∶DA＝BE∶BC＝1∶3.
∴△BEF的周长与△AFD的周长之比为1∶3.
(2)由(1)可知△BEF与△AFD的相似比为
∴S△BEF∶S△AFD＝1∶9.
又∵S△BEF＝6 cm2，∴S△AFD＝54 cm2.
随堂演练
1.如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是(　　)
A．2∶3　　 B. 　　
C．4∶9　　 D．8∶27
C
2.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为(　　)
D
3.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40 mm，焦距是60 mm，求所拍摄的2 m外景物的宽CD.
解：由题意，可知△ABE∽△DCE，
答：所拍摄的2 m外景物的宽CD为
4.已知△ABC∽△A'B'C', ,AB边上的中线CD=4cm,
△ABC的周长为20cm,△A'B'C'的面积为64 cm2,求:
(1)A'B'边上的中线C'D'的长;
(2)△A'B'C'的周长;
(3)△ABC的面积.
课堂小结
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比（高、中线、角平分线）
相似三角形周长比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方（反之，为算术平方根）