华师大版数学九年级上册同步课件：24.4 解直角三角形的应用 (第3课时) (共22张PPT)
文档属性
| 名称 | 华师大版数学九年级上册同步课件：24.4 解直角三角形的应用 (第3课时) (共22张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 368.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-26 06:38:58 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
24.4 第3课时 解直角三角形的应用—俯角和仰角
第24章 解直角三角形
知识回顾
A
C
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
获取新知
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
例题讲解
例 如图24.4.4，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1. 50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α= 52°.求旗杆BC的高.（精确到0. 1米）
解： 在 Rt△CDE中，
∵ CE = DE × tan α = AB × tan α
= 10× tan 52°
≈12.80,
∴BC = BE + CE=DA + CE
≈1. 50 + 12. 80
= 14.3(米).
答：旗杆BC的高度约为14. 3米.
随堂演练
1.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )
A. B.30sin α 米
C.30tan α 米 D.30cos α 米
C
2.湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添上一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5° (如图)．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为( )
(参考数据：sin 41.5°≈0.663，cos 41.5°≈0.749，
tan 41.5°≈0.885)
A．34米 B．38米
C．45米 D．50米
C
41.5°
A
B
C
D
50m
┐
3.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_____米.
4.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
100
图1
图2
5.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC有40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：旗杆的高度为15.2m.
在Rt△ACD中
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
课堂小结
解答含有仰角、俯角问题的方法
1．仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
2. 视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
3．弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
24.4 第4课时 解直角三角形的应用—坡度、坡角
第24章 解直角三角形
知识回顾
A
C
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
获取新知
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
3.坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡，
即tan α的值就越大．
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
例题讲解
例 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4. 2米，上底宽为12. 51米，路基的坡面与地面的倾角分別是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0. 1米）
12.51米
4.2米
A
B
C
D
E
F
┐
┐
32°
28°
解： 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F 由题意
可知 DE = CF = 4.2, EF = CD = 12.51.
在 Rt△ADE 中，
在Rt△ BCF中，同理可得
∴AB = AE + EF + BF
≈6. 72 + 12.51 +7.90≈27. 1(米).
答：路基下底的宽约为27. 1米.
12.51米
4.2米
A
B
C
D
E
F
┐
┐
32°
28°
随堂演练
1.堤的横断面如图.堤高BC是5米,迎水斜坡AB的长是13米,那么斜坡AB的坡度是( )
A.1∶3 B.1∶2.6 C.1∶2.4 D.1∶2
C
2.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( )
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m
D
3. 如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000米，则他实际上升了______米．
1000
4(1).斜坡的坡度是 ，则坡角α=___度.
(2).斜坡的坡角是45°，则坡比是 _____.
(3).斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.
30
1:1
5. 如图所示，小山岗的斜坡AC的坡度tan α＝ ，在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.(结果取整数，参考数据：sin 26.6°≈ 0.45，cos 26.6°≈ 0.89，tan 26.6°≈ 0.50)
解： 设小山岗的高AB为x m，在Rt△ABC中，
∴BC＝ x m．
∴BD＝DC＋BC＝
∵在Rt△ABD中，tan∠ADB＝
tan 26.6°≈0.50，
∴ ≈0.50，解得x≈300.
答：小山岗的高AB约为300 m.
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直
角三角形的有关性质，解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案.
24.4 第3课时 解直角三角形的应用—俯角和仰角
第24章 解直角三角形
知识回顾
A
C
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
获取新知
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
例题讲解
例 如图24.4.4，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1. 50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α= 52°.求旗杆BC的高.（精确到0. 1米）
解： 在 Rt△CDE中，
∵ CE = DE × tan α = AB × tan α
= 10× tan 52°
≈12.80,
∴BC = BE + CE=DA + CE
≈1. 50 + 12. 80
= 14.3(米).
答：旗杆BC的高度约为14. 3米.
随堂演练
1.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )
A. B.30sin α 米
C.30tan α 米 D.30cos α 米
C
2.湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添上一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5° (如图)．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为( )
(参考数据：sin 41.5°≈0.663，cos 41.5°≈0.749，
tan 41.5°≈0.885)
A．34米 B．38米
C．45米 D．50米
C
41.5°
A
B
C
D
50m
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3.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_____米.
4.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
100
图1
图2
5.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC有40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：旗杆的高度为15.2m.
在Rt△ACD中
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
课堂小结
解答含有仰角、俯角问题的方法
1．仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
2. 视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
3．弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
24.4 第4课时 解直角三角形的应用—坡度、坡角
第24章 解直角三角形
知识回顾
A
C
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
获取新知
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
3.坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡，
即tan α的值就越大．
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
例题讲解
例 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4. 2米，上底宽为12. 51米，路基的坡面与地面的倾角分別是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0. 1米）
12.51米
4.2米
A
B
C
D
E
F
┐
┐
32°
28°
解： 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F 由题意
可知 DE = CF = 4.2, EF = CD = 12.51.
在 Rt△ADE 中，
在Rt△ BCF中，同理可得
∴AB = AE + EF + BF
≈6. 72 + 12.51 +7.90≈27. 1(米).
答：路基下底的宽约为27. 1米.
12.51米
4.2米
A
B
C
D
E
F
┐
┐
32°
28°
随堂演练
1.堤的横断面如图.堤高BC是5米,迎水斜坡AB的长是13米,那么斜坡AB的坡度是( )
A.1∶3 B.1∶2.6 C.1∶2.4 D.1∶2
C
2.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( )
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m
D
3. 如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000米，则他实际上升了______米．
1000
4(1).斜坡的坡度是 ，则坡角α=___度.
(2).斜坡的坡角是45°，则坡比是 _____.
(3).斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.
30
1:1
5. 如图所示，小山岗的斜坡AC的坡度tan α＝ ，在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.(结果取整数，参考数据：sin 26.6°≈ 0.45，cos 26.6°≈ 0.89，tan 26.6°≈ 0.50)
解： 设小山岗的高AB为x m，在Rt△ABC中，
∴BC＝ x m．
∴BD＝DC＋BC＝
∵在Rt△ABD中，tan∠ADB＝
tan 26.6°≈0.50，
∴ ≈0.50，解得x≈300.
答：小山岗的高AB约为300 m.
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直
角三角形的有关性质，解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案.