华师大版数学九年级上册 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
第22章 一元二次方程
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
情景导入
求出一元二次方程x2＋3x－4＝0的两根x1和x2，计算x1＋x2和x1·x2的值．它们与方程的系数有什么关系？
方程x2＋3x－4＝0的两根为x1＝1，x2＝－4，
于是x1＋x2＝－3，x1·x2＝－4.
我们发现：这个方程的二次项系数为1，它的两根之和－3等于一次项系数3的相反数，两根之积等于常数项－4.
对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？
换几个一元二次方程再试试，结果怎样？
获取新知
探索
我们来考察方程 x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)．由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
所以
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,
那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
例题讲解
例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋3x－5＝0；(2)2x2－3x－5＝0.
解： (1) 设两根为x1、x2，
由上述二次项系数为1的一元二次方程
根与系数的关系，可得
x1＋x2＝－3，x1·x2＝－5.
(2) 方程两边同除以2，得
设两根为x1、x2，可得
例2 试探索一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2-4ac≥0)
的根与系数的关系．
解：方程两边同除以a，得
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，
可得这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的
关系，前面概括的结论是它的特征(二次项系数为1)．
利用这个结论，我们可以直接写出例1中题(2)的答案：
例3 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，
求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以 x1 + x2 = 1+x2 = 6 ，
解得x2 = 5.
由于x1·x2 = 1×5 =
得m = 15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
随堂演练
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则
另 一个根是___，m =____.
-3
随堂演练
2x1x2
2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
(1) x1+x2 = _____ , x1x2 = _______，
(2) x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = ______,
(3) (x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _______.
4
1
14
12
x1+x2
3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：(1)这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
（2）这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，
且（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以
则：
总结常见的求值:
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
总结常见的求值:
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
课堂小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用