华师大版数学九年级上册 22.2.4 一元二次方程根的判别式 同步课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
22.2.4 一元二次方程根的判别式
第22章 一元二次方程
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
获取新知
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得
(1) 当b2－4ac>0时，方程的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根:
(2) 当b2－4ac=0时，方程的右边是0，它有两个相等的平方根0，因此方程有两个相等的实数根:
(3) 当b2－4ac<0时，方程的右边是一个负数，而对于任何实数x，方程左边 ， 因此方程没有实数根:
概括
我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“ ”来表示.
反之，同样成立！
即一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),
当 >0时，方程有两个不相等的实数根；
当 ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当 <0时，方程无实数根．
例题讲解
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况　
　　（1）3x 2 =5x - 2 （2）
解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0
因为 =(-5)2-4×3×2=1>0,
所以方程有两个不相等的实数根。
(2)因为 = ,
所以方程 。
有两个相等的实数根
(3)原方程可变形为__________
因为 = ,
所以方程 。
4y2-y+4=0
(-1)2-4×4=-15<0
没有实数根
（3）4(y2+1)-y=0
试
一
试
已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根；
(3)当k取何值时，方程没有实数根；
解：a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k
=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴16k+9>0，解得k>-
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴16k+9=0，解得k=-
（3）∵方程没有实数根，
∴16k+9<0，解得k<-
一元二次方程的根的情况的判断的步骤:
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.定系:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: 确定b2-4ac的符号;
4.判断：b2-4ac >0 两个不相等的实数根;
b2-4ac =0 两个相等的实数根;
b2-4ac<0 没有实数根.
随堂演练
1.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是(　　)
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个实数根
A
2.下列方程中，没有实数根的是(　　)
A．x2－4x＋4＝0
B．x2－2x＋5＝0
C．x2－2x＝0
D．x2－2x－3＝0
B
3.若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实数根，则a的取值范围是______
a≥1
4.不解方程,判断下列一元二次方程根的情况:
(1)9x2+6x+1=0;(2)x(2x+3)=4x+6.
解:(1)∵a=9,b=6,c=1,
∴b2-4ac=36-36=0,
∴此方程有两个相等的实数根.
(2)将一元二次方程化为一般形式,得2x2-x-6=0.
∵a=2,b=-1,c=-6,
∴b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
4.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x＝k＋1是方程x2－2x＋k－1＝4的一个解，求k的值．
解：(1)∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0，解得k＜2.
(2)把x＝k＋1代入方程，得(k＋1)2－2(k＋1)＋k－1＝4，
整理，得k2＋k－6＝0，解得k1＝2，k2＝－3.
∵k＜2，∴k的值为－3.
课堂小结
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)
判别式的情况 根 的 情 况 定 理 与 逆 定 理
△＞0 两个不相等的实根 △＞0 两个不相等的实根
△＝0 两个相等的实根 △＝0 两个相等的实根
△＜0 无实根 △＜0 无实根