数学人教A版2019必修第二册8.6.1直线与直线垂直（共27张ppt）

(共27张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
复习导入
与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用.类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质.
回顾1：空间两直线的位置关系有哪几种？
相交、平行、异面.
回顾2：在平面内，两直线所成的角是什么？
在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90°的角称为它们的夹角，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.
新知探索
观察：如图，在正方形中，直线与直线，直线与直线都是异面直线，直线与相对于直线的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
直线与相对于直线的位置不同.
新知探索
思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找出这个夹角？
类似于两条直线相交所成的角，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.
如图，已知两条异面直线经过空间任一点分别作直线，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角).
新知探索
思考：直线所成角的大小与点的位置有关吗？
直线所成角的大小与点的位置无关(等角定理).
在求作异面直线所成的角时,点常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等).
思想方法：研究异面直线所成的角，即通过平移转化为相交直线,即把空间图形问题转化为平面图形问题.
新知探索
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线与直线垂直.记作
当两条直线相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成的角的取值范围是
思考：如果空间两条直线垂直，那么它们一定相交吗？
不一定，可能是相交垂直，还可能是异面垂直.
例析
例1.如图，已知正方体.
(1)哪些棱所在直线与直线垂直？
解：(1)棱所在直线与直线垂直.
例析
例1.如图，已知正方体.
(2)求直线与所成角的大小.
解：(2)因为是正方体，所以，因此为直线
所成的角.又因为所以直线所成的角等于45°.
例析
例1.如图，已知正方体.
(3)求直线与所成角的大小.
解：(3)如图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线
所成的角.
连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于.
||
||
例析
变1.如图,已知长方体中,
(1)求和所成的角是多少度
(2)求和所成的角是多少度
解：(1)因为是正方体，所以.
于是为异面直线所成的角.
在中，求得
例析
变1.如图,已知长方体中,
(1)求和所成的角是多少度
(2)求和所成的角是多少度
解：(2)因为是正方体，所以.
于是为异面直线所成的角.
在中，求得
方法技巧
求异面直线所成角的一般步骤
(1)找角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.
(2)证明：证明找出的角就是异面直线所成的角；
(3)求角：求角度，一般常利用解三角形等知识，得到角的大小；
(4)定角：假如所构造的角的大小为，若，则即为所求异面直线所成角的大小；若，则即为所求.
例析
例2.如图(1)，在正方体中，为底面的中心.求证.
图(1)
图(2)
证明：如图(2)，连接.
∵是正方体，∴.∴四边形是平行四边形.
∴∴直线与所成的角即为直线与所成的角.
||
||
连接，易证.
又为底面的中心，∴为的中点，∴.∴.
例析
变2.如图，在正方体中，求证：.
证明：如图(2)，连接交于，取的中点为，连接.
∵为中点，∴.∴直线与所成的角即为直线与所成的角.
连接，易证又为的中点，
∴.∴.
图(1)
图(2)
方法技巧
证明空间的两条直线垂直的方法
(1)定义法：利用两条直线所成的角为证明两直线垂直.
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.
例析
例3.如图(1)，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小.
证法一：如图(2)，连接，并设它们相交于点，取的中点，连接，，.则.∴为异面直线所成的角或其补角.
∵，为的中点，∴.∴异面直线与所成角为
图(1)
图(2)
例析
例3.如图(1)，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小.
证法二：如图(3)，连接取的中点，连接，则且.于是为异面直线所成的角或其补角.
连接，设则，取的中点，连接，则.
∴,
∴异面直线与所成角为
图(1)
图(3)
例析
例3.如图(1)，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小.
证法三：如图(4)，分别取的中点，连接，则且.∴四边形为平行四边形.∴必相交.
设的交点为，则，
∴,∴
∴异面直线与所成角为
图(1)
图(4)
例析
例3.如图(1)，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小.
证法四：如图(5)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接，则于是异面直线与所成的角就是异面直线
所成角的角或其补角.
通过计算，不难得到：，从而异面直线与所成的角为
图(1)
图(5)
方法技巧
构造异面直线所成角的方法有
(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(空间问题转化为平面问题)；
(2)当异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；
(3)通过构造辅助平面、辅助几何来平移直线.
常见的平行关系：中位线原理、平行四边形、对应边成比例.
巩固练习
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( ).
A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能
答案：.
【解析】当两个面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面.
练习
2.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于( ).
A. B. C. D.
答案：.
【解析】如图，取中点，连接、，则.易知，相等，则为等边三角形，则与所成的角为，则与所成的角为.
练习
3.如图，在正方体中，与所成的角的大小是________.
答案：.
【解析】如图，连接，则，
∴(或其补角)就是与所成的角，连接，在正方体中，，∴，即所成的角的为.
练习
4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，则与所成的角的是________.
答案：.
【解析】∵四边形是平行四边形，∴
∴是与所成的角.
又∵，∴.
练习
5.如图所示，是圆的直径，点是弧的中点，分别是、的中点，求异面直线与所成的角.
解：∵分别是的中点，∴
因此是异面直线与所成的角，又因为是圆的直径，点是弧的的中点，所以是以为直角的等腰直角三角形，于是，故异面直线与所成的角为.
作业
(1)梳理本节课所学内容；
(2)课本P148的练习1——4题.