沪科版数学八年级下册 17.1 一元二次方程-教案

一元二次方程教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
一元二次方程的概念；根据实际问题中的数量关系建立方程模型.
2.内容解析
一元二次方程是在一元一次方程基础上 “次”的推广，它是解决诸多实际问题的桥梁。
本节课以实际问题为背景，建立数学模型，列出一元二次方程，引导学生观察这些方程的共同特点，并类比一元一次方程，归纳得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一元二次方程一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果．这样编排有利于学生理解并接收新知识，有充分地反映出一元二次方程以及有关概念来源于现实世界，是刻画现实世界的一个有效数学模型.
一元二次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用。
基于以上分析，本节课的重点是：由实际问题列出一元二次方程和形成一元二次方程的概念.
二、教学目标与解析
1.教学目标
（1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念.
（2）使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般形式以及确定项和系数.
（3）了解一元二次方程根的概念.
2．目标解析
（1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程．学生能了解一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，培养学生分析问题和解决问题的能力及用数学思维的意识.
（2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，让学生从数学符号的角度，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数．
（3）会判断一个数是否是一元二次方程的根.
三、教学问题诊断分析
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
对于一元二次方程第一次实现 “次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢？教学中教师直面学生的疑问，显化学生的疑问，采用启发式、类比法、探究式的教学方法，借助多媒体辅助教学。培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，指导学生通过观察、分析、归纳、概括，启发学生释疑，不断增强学生的自信及发展学生的能力．
鉴于学生比较缺乏社会生活经历，处理信息的能力也较弱，因此把由实际问题转化成数学方程确定为本节课的难点.
四、教学支持条件分析
利用视频引入、幻灯片，提供丰富的学习内容，如利用微视频导入面积问题.
五、教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
1、[生活中的数学问题1]：微视频问题：
师生活动：微视频导入，方程是如何得来的？学生思考，通过设未知数找等量关系列出方程.
教师追问：30（20-x）=450,这是学过的方程吗？这样的方程有什么特征？
师生活动：学生回顾得出：这是一元一次方程，只含有一个未知数、未知数最高次数是1的整式方程.
设计意图：复习巩固一元一次方程，为新知识做铺垫.
2、[问题1变式]：微视频问题：得出新方程.
师生活动：由学生独立思考完成解题.学生根据剩余面积为等量关系直接、间接的列出不同方程.学生通过化简得到相同的方程.
教师追问：-50 x+150=0这是我们学过的方程吗？这种方程与一元一次方程有什么区别？学生思考二次项产生的原因？
师生活动：学生观察发现，这种方程有a项，生成原因是出现两个一次项相乘.
设计意图：使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．
（二）拓宽情境，形成概念
1、[生活中数学问题2 ]：在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高2米, 那它的下部应设计为多高
师生活动：学生独立思考，找出题目中的等量关系，建立方程.
设计意图：学生将实际问题中的语言叙述、图示关系转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模.在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰．
2、[生活中数学问题3]：学校要组织一次篮球比赛,采用单循环比赛(每两队都要比赛一场)，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
师生活动：学生独立思考，遇到困难与同桌讨论，最后学生代表分析并展示结果.最后老师解析.
设计意图：学生将实际问题中的语言叙述转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模.以上设计使学生体验到一元二次方程应用的广泛性.
3、思考交流
师生活动：引导学生观察从以上问题中列出的方程，思考它们的共性，并类比一元一次方程给出一元二次方程的定义.
定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.
设计意图：让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和提升.
（三）合作探索，加深理解
1、理解一元二次方程概念本质
问题1.下列方程中，哪些是关于 的一元二次方程？
（1） （2） （3）
（4） （5）
师生活动：让学生明确一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可.
设计意图：从正反两个方向强化对概念的理解.
2、理解一元二次方程的符号表达
符号定义：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.（并对a、b、c进行讨论）
师生活动:根据一元二次方程的文字定义，学生类比一元一次方程的一般形式写出一元二次方程的一般形式．
设计意图让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．
例：将下列方程写成一般式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
师生活动：学生自主完成将方程化成一般形式的过程.
问题2. 课本练习：将下列方程写成一般式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项
(1) (2) (3)
师生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数，并分析可能出现的问题（比如去括号、移项的符号问题）．
设计意图：加强对一般式的理解认识.
3、认识方程的解
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作一元二次方程的根）.
师生活动：建构活动，提出问题让学生思考：对于一元二次方程你还想学习哪些知识？学生根据对之前学习的方程体系，可以回答出学习一元二次方程的解、解法.
设计意图：建立一元二次方程的学习框架.
问题3.判断下列哪些数是方程的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
设计意图：教师引导学生自主探索寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结.
（四）归纳总结，反思提升
小结:引导学生从知识上、方法上、心得体会等方面总结.
1、一元二次方程的定义、一般形式、项和系数；
2、类比思想、数学建模思想；
3、一元二次方程应用的广泛性；
4、 一元二次方程方程体系的建立：通过实际问题建立一元二次方程模型，研究解、解法，最后再去解决实际问题.
设计意图：有效地帮助学生建构知识体系，提高总结和反思能力，有助于学生后续学习的开展，促进学生不断主动发展.
（五）布置作业，分层落实
1、[必做题]：习题1、2
2、[选做题]：求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
3、[思考题]：如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为________．
(
第
3
题图
)设计意图：分层作业的设置，体现了作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要.
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