2021-2022学年苏科版八年级数学上册 第一章全等三角形讲义

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全等三角形
全等三角形知识点提优
知识点一、全等三角形的概念与性质
1．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图ABC≌，边过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B=26°，=94°，则的度数为（ ）
A．34° B．40° C．45° D．60°
3．如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为____________时，和全等．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，己知DE＝4，AD＝6，则BE的长为 ____________
知识点二、全等三角形的判定
5．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　）
A． B． C．a+b D．a
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 ___．
8．如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______．
知识点三、补充条件型全等
9．如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，，要使，需要添加下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
11．如图，D在上，E在上，且，要说明．
（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是________________；
（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为____________.
12．如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：_________．
全等三角形的常见模型
倍长中线模型
1、已知△ABC，AB=4，AC=2，BC边上的中线AD长度可能是（　　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是；
（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．
旋转模型
3、如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
一线三角模型
4、如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
全等三角形单元提优
一、单选题
1．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．如图，已知，点D、E分别在、上且，连接交于点M，连接，过点A分别作，垂足分别为F、G，下列结论：①；②；③平分；④如果，则E是的中点；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，AF是△ADC的中线，C，D，E三点在一条直线上，连接BD，BE，以下五个结论：①BD＝CE：②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④2AF＝BE⑤BE⊥AF中正确的个数是（　 　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别做AF⊥CE，AG⊥BD垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为_____．
8．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是_____．
9．如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是______．
10．如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝______．
11．如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，AC＝ 6，BC＝ 8，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥于E，当点P运动 _________ 秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．
12．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是__________．（填序号）．
三、解答题
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，且AE＝BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD＝AC，AB，DE交于点F.
（1）试说明AB＝DE，DE⊥AB.
（2）连接BD，BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，请利用四边形ADBE的面积说明a2+b2＝c2.
14．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
（阅读理解）
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE．根据______可以判定 ______，得出______．这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．
（方法感悟）
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．
（问题解决）
（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．
（问题拓展）
（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．
15．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H．
（1）求证：BG＝CH；
（2）若AB＝12，AC＝8，求BG的长．
16．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．