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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题01 几何思想之长方体中棱与棱位置关系专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，与标号为1的顶点重合的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．标号为2的顶点 B．标号为3的顶点
C．标号为4的顶点 D．标号为5的顶点
【标准答案】D
【详解详析】
根据正方体展开图的特点得出与标号为1的顶点重合的是标号为5的顶点．
故选D.
2．用一个平面去截圆柱体，则截面形状不可能是（ ）
A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．圆
【标准答案】B
【思路指引】
根据从不同角度截得几何体的形状判断出正确选项．
【详解详析】
解：用平面截圆柱，
横切就是圆，
竖切就是长方形，
如果底面圆的直径等于高时，是正方形，
不论怎么切不可能是三角形．
故选B．
【名师指路】
此题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截 ( http: / / www.21cnjy.com )的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．21·世纪*教育网
3．下列对长方体棱的描述，其中正确的个数有（ ）
①12条棱中必有3种不同的长度；
②12条棱中可能只有一种长度；
③12条棱中至少有4条是相同的；
④12条棱中不可能出现只有6条棱相等的情况．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
根据长方体棱的性质判断下面几句话的正确性．
【详解详析】
①错误，正方体的棱就只有一种长度；
②③④都是正确的．
故选：C．
【名师指路】
本题考查长方体棱的性质，解题的关键是熟悉长方体棱的性质，需要注意正方体这个特殊的长方体．
4．与长方体中任意一条棱既不平行也不相交的棱有（ ）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意，画出图形即可得出结论．
【详解详析】
解：看图以AB为例，与它既不平行也不相交的棱有HD、GC、HE和GF，共有4条，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题考查的是长方体的特征，根据题意画出图形是解决此题的关键．
5．下列表述中正确的是（ ）
A．在非正方体的长方体中，至多有两个面是正方形 B．水平面不一定是平面
C．互相平行的两个面不可能是斜面 D．长方体的各个面都互相垂直
【标准答案】A
【思路指引】
根据长方体的性质进行判断即可；
【详解详析】
解：A.如果有两个面以上是正方形，它就是正方体，故此项正确，符合题意；
B.水平面都是平面，此项错误；
C.互相平行的两个面可能是斜面，此项错误；
D.长方体的相对面是互相平行的，此项错误；
故答案选A．
【名师指路】
本题主要考查了长方体棱与棱、面与面的关系，准确判断是解题的关键．
6．一辆汽车的车厢长2米，宽2.5米，高2米，则这个车厢的占地面积是（ ）
A．4平方米 B．5平方米
C．10平方米 D．20平方米
【标准答案】B
【思路指引】
根据车厢的长宽和面积公式即可得出结论
【详解详析】
解：根据题意得：这个车厢的占地面积是=22.5=5平方米
故选：B
【名师指路】
本题考查了长方体的底面积，读懂题意是解题的关键
7．长方体的长、宽、高分别是4、2、3，则长方体的表面积为（ ）
A．9 B．24 C．36 D．52
【标准答案】D
【思路指引】
直接根据长方体的表面积计算公式求解即可．
【详解详析】
解：因为长方体的长、宽、高分别是4、2、3，
所以长方体的表面积为：；
故选D．
【名师指路】
本题主要考查长方体的表面积计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
8．长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，长方体的体积扩大到原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
【标准答案】D
【思路指引】
根据长方体的体积公式：V=abh，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积．据此解答即可．21教育网
【详解详析】
∵长方体的体积为＝长×宽×高，
∴长、宽、高都扩大为原来的2倍，体积扩大为原来的8倍．
故选：D.
【名师指路】
此题考查的目的是理解掌握长方体的体积公式、因数与积的变化规律及应用．
9．长方体中互相垂直的棱共有（ ）
A．4对 B．8对 C．12对 D．24对
【标准答案】D
【思路指引】
和一个棱垂直的棱有4个，因为共有12个棱，即可计算得到答案.
【详解详析】
，
故选：D.
【名师指路】
此题考查长方体的性质及特点，长方体的棱与棱的垂直关系，正确掌握长方体的性质是解题的关键.
10．在长方体的各个面中，如果有正方形，那么正方形可能会有（ ）
A．2个 B．4个或6个
C．6个 D．2个或6个
【标准答案】D
【思路指引】
根据长方体的特征即可求解．
【详解详析】
解：在长方体的各个面中，如果有正方形，那么正方形可能会有2个或6个，当6个面是正方形时，该长方体即为正方体，21·cn·jy·com
故选：D．
【名师指路】
本题考查长方体的特征，掌握正方体是特殊的长方体是解题的关键．
二、填空题
11．如图，用斜二测画法在平面上画一个长方体的直观图时，画成________度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】45
【思路指引】
直接根据斜二测的画法进行求解即可．
【详解详析】
因为，所以根据斜二测画法在画直角时需画成，
故答案为45．
【名师指路】
本题主要考查斜二测的画法，熟练掌握斜二测画法是解题的关键．
12．如果一个长方体的长、宽、高分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是4厘米、2厘米和1厘米，那么相交于一点的三条棱的长度之和为________厘米，这个长方体的棱长之和为_______厘米．21世纪教育网版权所有
【标准答案】 7 28
【思路指引】
根据相交于一个顶点的三条棱的长度之和即为长宽高的和，再乘4，就是这个长方体的棱长总和．
【详解详析】
解：相交于一点的三条棱的长度之和=4+2+1=7（厘米），
这个长方体的棱长之和=7×4=28（厘米）；
故答案为：7，28
【名师指路】
此题主要考查长方体的棱长之和的计算方法，长方体的棱长之和为相交于一点的三条棱的长度之和的4倍是解题的关键．21cnjy.com
13．如果一个长方体的棱长总和是，长、宽、高的比是，那么该长方体的体积是_______．
【标准答案】648
【思路指引】
根据题意易得长方体的长、宽、高的长度，然后根据长方体的体积计算公式求解即可．
【详解详析】
解：由题意得：
，长为：，宽为：，高为：，
长方体的体积为：．
故答案为648．
【名师指路】
本题主要考查长方体的体积及棱长和，关键是根据题意得到长方体的长宽高．
14．如图所示，在长方体中，与对角线异面的棱有_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】棱，，，，，
【思路指引】
分别在两个底面和4个侧面内找出与对角线异面的棱，即可得出结论．
【详解详析】
解：在长方体中，与对角线异面的棱有：
棱，，，，，
故答案为：棱，，，，，．
【名师指路】
本题考查异面直线的定义和判定方法，体现了数形结合的数学思想．
15．把一根长为32米的木条截开后刚好 ( http: / / www.21cnjy.com )能搭一个长方体架子，这个长方体的长、宽、高的长度均为整米数，且互不相等，那么这个长方体体积是_______立方米．2·1·c·n·j·y
【标准答案】10或12
【思路指引】
根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，求出长、宽、高的和是8米，在根据题意可求出长、宽、高的长，即可求解；www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：（米），或，
所以长、宽、高分别为5米、2米、1米或4米、3米、1米，
体积：（立方米）或（立方米）．
故答案为：10或12．
【名师指路】
本题主要考查了立体图形的认识和截一个几何体，准确分析是解题的关键．
16．一个正方体纸盒，把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到如图的纸片，重新恢复到原正方体，那么与点重合的点是_______．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】、
【思路指引】
由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解详析】
根据正方体的展开图可知：
图②的纸片重新恢复成图①的纸盒时：N、L、H这三点重合，A、C、G三点重合，D与F重合，K和I重合.【来源：21cnj*y.co*m】
故答案为：A与C．
【名师指路】
本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
17．如图所示，在长方体中，既与棱平行，又与棱异面的棱是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】棱
【思路指引】
根据长方体的棱与棱的位置关系可直接解答．
【详解详析】
由图可知：既与棱平行，又与棱异面的棱是棱；
故答案为棱．
【名师指路】
本题主要考查长方体中棱与棱的位置关系，正确理解概念是解题的关键．
18．一个直n棱柱有18条棱，一条侧棱长10，底面每条边长都是5，则它是______棱柱，侧面积为______，所有棱长的和为______.【版权所有：21教育】
【标准答案】 六 300cm2 120cm
【思路指引】
（1）根据棱柱的特点，可用18除以3即可；
（2）根据侧面积=底面周长×高可得答案；
（3）底面周长×2+高×6，列式计算即可求解．
【详解详析】
解：（1）18÷3=6，
这是一个六棱柱；
（2）此棱柱的侧面积是：5×6×10=300（cm2）；
（3）5×6×2+10×6
=60+60
=120（cm）．
答：它是六棱柱，侧面积为300cm2，所有棱长的和为120cm．
故答案为六，300cm2，120cm．
【名师指路】
此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握六棱柱的特点．
19．长方体的长、宽、高分别是、、，它的底面面积是_________；它的体积是_______．
【标准答案】 84 420
【思路指引】
根据长方体的底面积和体积公式计算即可；
【详解详析】
长方体的底面积长×宽，
长方体的体积底面积×高．
故答案为84，420．
【名师指路】
本题主要考查了长方体的底面积和体积，准确计算是解题的关键．
20．如图，在长方体中，与棱异面的棱共有_______条．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】4
【思路指引】
异面指不在同一个平面内，HG可看作在上面和前后两个平面内，只要不在上面、前后面的棱即可；由此解答．
【详解详析】
解：根据分析，棱和棱、、、异面．
故答案为：4．
【名师指路】
本题考查了认识立体图形的知识，解决本题的关键是理解异面的含意，难点在于先找到这两条棱分别所在的是哪两个平面，除去这几个面所包含的棱即可．21*cnjy*com
三、解答题
21．有一长为60厘米，宽为20厘米，高5厘米的木块．请问：按长分成几段，才能使这些木块的表面积和为4000平方厘米．21教育名师原创作品
【标准答案】5段
【思路指引】
由题意易得原来的表面积为3200平方厘米，按长分段，即分一次增加的表面积为200平方厘米，进而可得答案．
【详解详析】
解：由题意得：
原来的表面积为，
多出来的面积为4000-3200=800（平方厘米），
每切一次多出来的面积为，所以需要切的次数为，故而要切成5段．
答：按长分为5段，才能使这些木块的表面积和为4000平方厘米．
【名师指路】
本题主要考查长方体的表面积，关键是根据题意得到每切一次表面积增加多少，然后列式求解即可．
22．用长为的铜丝做一个棱长之比为的长方体，它的体积是多少？
【标准答案】
【思路指引】
设长方体的棱长分别为，，，根据总长为108cm求出各棱长的值，再根据体积公式计算即可.
【详解详析】
设长方体的棱长分别为，，．
根据题意得，，
解得，
∴棱长分别为6、9、12，
∴ .
答：它的体积为．
【名师指路】
本题考查长方体棱长和体积的计算，解题的关键是根据题意列方程求出各棱长的值.
23．如图，长方体ABCD-EFGH，根据图形回答下列问题．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）与棱CB相等的棱有哪几条？
（2）与面ADHE相对的面有哪几个？
（3）经过点A的面有哪几个？
（4）从点D出发的棱有哪几条？
【标准答案】（1）棱AD、棱EH、棱FG
（2）面BCGF
（3）面ABCD、面ADHE、面ABFE
（4）棱DA、棱DC、棱DH．
【思路指引】
（1）找与棱CB相等的棱，可找到与棱CB平行的棱即是所求.
（2）与面ADHE相对的面是BCGF
（3）找经过点A的面，可找出所以经过A点的棱组成的面即是所求.
（4）找从点D出发的棱，所有经过D点的线段就是所求.
【详解详析】
（1）与棱CB相等的棱：棱AD、棱EH、棱FG
（2）与面ADHE相对的面：面BCGF
（3）经过点A的面：面ABCD、面ADHE、面ABFE
（4）从点D出发的棱：棱DA、棱DC、棱DH
故答案：（1）棱AD、棱EH、棱FG；（2）面BCGF；（3）面ABCD、面ADHE、面ABFE；（4）棱DA、棱DC、棱DH．【出处：21教育名师】
【名师指路】
本题考查了长方体的棱、面等基本特征.
24．（1）图（a）是长 ( http: / / www.21cnjy.com )方体木块，把它切掉一块，可以得到如图（b）、（c）、（d）、（e）的木块，请将（a）、（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
图 顶点数 棱数 面数
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（2）观察上表，请归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系：_______．
（3）请想象一种与图（b）~（e ( http: / / www.21cnjy.com )）不同的切法，把切面用阴影表示出来，该木块的顶点数_______，棱数_______，面数_______．这是否满足你在第（2）题中所归纳的关系？
【标准答案】（1）见解析；（2）顶点数＋面数＝棱数＋2；（3）见解析
【思路指引】
（1）只要将图（a）、（b）、（c）、 ( http: / / www.21cnjy.com )（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内；
（2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可．
（3）按要求作出图形，注意是与图（b）~（e）不同的切法，然后数出该木块的顶点数，棱数和面数即可．
【详解详析】
解：见表
图 顶点数 棱数 面数
（a） 8 12 6
（b） 6 9 5
（c） 8 12 6
（d） 8 13 7
（e） 10 15 7
（2）观察上表，即可归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数的关系是：
顶点数+面数=棱数+2．
（3）将长方体横着切成两个小长方体，所画图形如下所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则该木块的顶点数为8，棱数为12，面数为6．
因为8+6=12+2，
所以第（2）题中的结论“顶点数+面数=棱数+2”仍然相符．
故答案为：（2）顶点数+面数=棱数+2；（3）8，12，6．
【名师指路】
本题考查了欧拉公式的知识，在找顶点数，棱数，面数的时候，如何做到不重不漏是难点．
25．一个长是、宽是的长方形纸板，在它的四个角上各剪去一个边长为的正方形，做成一个无盖的纸盒，这个纸盒的容积是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
【标准答案】
【思路指引】
根据题意可知，从它的四个角各剪去一个边长为3cm的正方形后的图形的长为，宽为，高为，然后根据长方形的体积公式进行计算即可，
【详解详析】
∵长方形的长是30dm、宽是20dm，在它的四个角上各剪去一个边长为5dm的正方形，
∴纸盒的长：，纸盒的宽：，纸盒的高为，
∴纸盒的容积为 .
答：这个纸盒的容积是．
【名师指路】
本题考查长方形的体积，解题的关键是熟知图形变化前后的关系，分别求出长方体的长、宽和高.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题01 几何思想之长方体中棱与棱位置关系专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，与标号为1的顶点重合的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．标号为2的顶点 B．标号为3的顶点
C．标号为4的顶点 D．标号为5的顶点
2．用一个平面去截圆柱体，则截面形状不可能是（ ）
A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．圆
3．下列对长方体棱的描述，其中正确的个数有（ ）
①12条棱中必有3种不同的长度；
②12条棱中可能只有一种长度；
③12条棱中至少有4条是相同的；
④12条棱中不可能出现只有6条棱相等的情况．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．与长方体中任意一条棱既不平行也不相交的棱有（ ）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
5．下列表述中正确的是（ ）
A．在非正方体的长方体中，至多有两个面是正方形 B．水平面不一定是平面
C．互相平行的两个面不可能是斜面 D．长方体的各个面都互相垂直
6．一辆汽车的车厢长2米，宽2.5米，高2米，则这个车厢的占地面积是（ ）
A．4平方米 B．5平方米
C．10平方米 D．20平方米
7．长方体的长、宽、高分别是4、2、3，则长方体的表面积为（ ）
A．9 B．24 C．36 D．52
8．长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，长方体的体积扩大到原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
9．长方体中互相垂直的棱共有（ ）
A．4对 B．8对 C．12对 D．24对
10．在长方体的各个面中，如果有正方形，那么正方形可能会有（ ）
A．2个 B．4个或6个
C．6个 D．2个或6个
二、填空题
11．如图，用斜二测画法在平面上画一个长方体的直观图时，画成________度．
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12．如果一个长方体的长、宽、 ( http: / / www.21cnjy.com )高分别是4厘米、2厘米和1厘米，那么相交于一点的三条棱的长度之和为________厘米，这个长方体的棱长之和为_______厘米．21教育网
13．如果一个长方体的棱长总和是，长、宽、高的比是，那么该长方体的体积是_______．
14．如图所示，在长方体中，与对角线异面的棱有_______．
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15．把一根长为32米的木条 ( http: / / www.21cnjy.com )截开后刚好能搭一个长方体架子，这个长方体的长、宽、高的长度均为整米数，且互不相等，那么这个长方体体积是_______立方米．www.21-cn-jy.com
16．一个正方体纸盒，把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到如图的纸片，重新恢复到原正方体，那么与点重合的点是_______．21·世纪*教育网
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17．如图所示，在长方体中，既与棱平行，又与棱异面的棱是_______．
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18．一个直n棱柱有18条棱，一条侧棱长10，底面每条边长都是5，则它是______棱柱，侧面积为______，所有棱长的和为______.www-2-1-cnjy-com
19．长方体的长、宽、高分别是、、，它的底面面积是_________；它的体积是_______．
20．如图，在长方体中，与棱异面的棱共有_______条．
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三、解答题
21．有一长为60厘米，宽为20厘米，高5厘米的木块．请问：按长分成几段，才能使这些木块的表面积和为4000平方厘米．21cnjy.com
22．用长为的铜丝做一个棱长之比为的长方体，它的体积是多少？
23．如图，长方体ABCD-EFGH，根据图形回答下列问题．
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（1）与棱CB相等的棱有哪几条？
（2）与面ADHE相对的面有哪几个？
（3）经过点A的面有哪几个？
（4）从点D出发的棱有哪几条？
24．（1）图（a）是长方体木块 ( http: / / www.21cnjy.com )，把它切掉一块，可以得到如图（b）、（c）、（d）、（e）的木块，请将（a）、（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：21世纪教育网版权所有
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图 顶点数 棱数 面数
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（2）观察上表，请归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系：_______．
（3）请想象一种与图（b ( http: / / www.21cnjy.com )）~（e）不同的切法，把切面用阴影表示出来，该木块的顶点数_______，棱数_______，面数_______．这是否满足你在第（2）题中所归纳的关系？2·1·c·n·j·y
25．一个长是、宽是的长方形纸板，在它的四个角上各剪去一个边长为的正方形，做成一个无盖的纸盒，这个纸盒的容积是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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