永川区北山高级中学校2021-2022学年高二下学期期中考试
答案和解析
单选题
2. 3. 4. 5. B 6. 7. B 8.
二、多选题
9. 10. 11. 12. （8、12题答案在22题后）
三、填空题
13. 240 14. 3 15. 16.
四、解答题
17. 解：(1)由题意知，2n＝16，
解得n＝4．
在中令x＝1得：展开式中各项的系数之和为3n＝34=81
(2)Tr＋1＝
令-4+2r＝0得r＝2，
于是T2＋1＝=24
即展开式中的常数项为24．
18. 解：（1）分三步完成：甲选1本、乙选2本、丙选剩下的3本，共有种；
（2）分两步完成：先均匀分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有种，
故共有种；
（3）部分均匀分组问题，先部分均匀分组，再分给甲乙丙三名同学，有种，故共有种．
19. 解：函数在处取得极值2，
，解得．
由得：，
，
令，解得：，
令，解得：或，
故在递减，在递增，
故的最大值是或，
而，
故函数的最大值是2．
20. 解：（1）设至少摸到1个红球为事件A，
（2）服从超几何分布，
P(=0)==;P(=1)==;
P(=2)==;P(=3)==.
所以摸到红球的个数的概率分布列为
0 1 2 3
P
=
21. 解: (1) 设这个小球掉入2号球槽为事件A.
掉入2号球槽, 需要向右1次向左5次, 所以P(A)==.
所以这个小球掉入2号球槽的概率为.
（2）小球掉入偶数号球槽的概率为P=++=,
由题可得,~B(5,),且的可能取值为0,1,2,3,4,5,
P(=0)==,
P(=1)=()=,
P(=2)==,
P(=3)==,
P(=4)==,
P(=5)==,
0 1 2 3 4 5
P
E()=0+1+2+3+4+5==或E()=5=.
22.（1）证明：令u（x）=ex-（x+1），则u'（x）=ex-1，
所以x＜0时u'（x）＜0，x＞0时u'（x）＞0，
故函数u(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.
所以u（x）≥u（0）=0，即g(x)=ex≥x+1.
（2）解：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）-ax+ex，．
①当时，由（1）知，
所以，
当且仅当x=0且a=2时取等号.
所以在［上递增，
则恒成立，符合题意．
②当时，令，则
，
所以在上递增，且，
则存在，使得.
所以当时，,函数h(x)单调递减.
故当时，h(x)综上所述，实数a的取值范围是(-∞，2].
8. 解：由得，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在单调递减，
当时，取得最大值．
作出的函数图象如图所示：
方程有两个实数根，即方程有两解，
．故选C．
12. 解：对于，函数的定义域为，
且，
是奇函数，故A正确，
对于C，，
若是增函数，则恒成立，
恒成立，
令，则，
令，
故，故在上单调递增，
又，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
故，C正确；
对于B，当时，由选项可知，是增函数，故不可能有两个零点，B错误，
对于，当时，，
则，
令，则有，
作出和的图象，如图，
可得：函数和有两个交点，
故函数恰有两个极值点，故D正确．
故选ACD．第2页，共2页永川区北山高级中学校2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试题
（本试卷共22题，共150分，共4页）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
若函数，则
A. B. C. D.
A. B. C. D.
已知某一随机变量的分布列如下，且，则的值为
A. B. C. D.
函数的图象大致为
A. B.
C. D.
在的展开式中，含项的系数为
A. B. C. 24 D. —24
已知某种传染性病毒使人感染的概率为，在感染该病毒的条件下确诊的概率为，则感染该病毒且确诊的概率是
A. B. C. D.
若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
B. C. D.
若方程有两个实数根，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，其中部分选对得2分，共20分.
在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是
A. 若任意选科，选法总数为
B. 若化学必选，选法总数为
C. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
D. 若政治和地理至少选一门，选法总数为
已知，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
有台车床加工同一型号的零件．第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有
A. 任取一个零件是第台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为
已知函数，则下列结论正确的是
A. 是奇函数 B. 当时，函数恰有两个零点
C. 若是增函数，则 D. 当时，函数恰有两个极值点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20.0分
个人排成一排，甲、乙两人相邻的排法有__________种．
若，则 ______ ．
100件产品中有6件次品，现从中不放回的抽取2件产品，在第一次抽到正品的条件下，第二次抽到次品的概率__________．
已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是__________．
四、解答题：本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分.
已知的展开式中各项的二项式系数之和为16．
求的值及展开式中各项的系数之和；
求展开式中的常数项．
有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法．
甲得1本，乙得2本，丙得3本；
甲、乙、丙各得2本；
一人得4本，另两人各得1本．
已知函数在处有极值．
求，的值；
求函数在区间上的最大值．
一个袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球现从中随机摸出3个球．
求至少摸到个红球的概率；
求摸到红球的个数的概率分布及数学期望．
高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的高尔顿板有层小木块，小球从通道口落下，第一次与第层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过次与小木块碰撞，最后掉入编号为，，，的球槽内．例如小球要掉入号球槽，则在次碰撞中有次向右次向左滚下．
若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入号球槽的概率；
若进行次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为，求的分布列与期望．
已知函数．
求证：；
设，当，求实数的取值范围．
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