北京版八年级数学上册《12.11 勾股定理》教学设计

勾股定理
一、教材分析
勾股定理是初中数学中一个非常重要的结论，称为“几何学的基石”，在数学学习中有重要的地位。本定理揭示的是直角三角形三边的数量关系，在此之前学生对直角三角形已有了初步认识，但是都停留在直观感知方面。后面直角三角形的相似和全等、锐角三角函数、解直角三角形的学习都与此密切相关。
学生分析：八年级的学生已经具备一定的几何证明基础，但是思维偏重于直观。而勾股定理的证明是先构造图形，数形结合，再进行证明。与以往的几何题目证明相差甚远，有很大的难度。由此本课的设计注重从学生的动手操作开始，从特殊到一般，层层递进，引导学生亲历定理的产生和证明过程，且能初步运用，为以后相关知识的继续学习奠定良好的基础。
二、教学目标及重难点：
（一）教学目标
1、认知目标：理解并掌握勾股定理的证明；并且能初步运用勾股定理解决问题。
2、技能目标：在探索过程中，让学生亲历“观察—猜想—归纳—证明”的过程，并且能体会特殊到一般、数形结合的数学思想和方法。
序号 媒体内容 媒体作用 使用时间
1 电视机尺寸大小 创设情境，导入新课 1分钟
2 活动1：数学家从地板找灵感 探究等腰三角形两直角边和斜边的关系 3分钟
3 活动2： 探究一般三角形两直角边和斜边的关系 3分钟
4 赵爽勾股圆方图 证明勾股定理 2分钟
5 毕达哥拉斯证法 证明勾股定理 2分钟
6 总统证法 证明勾股定理 2分钟
7 勾股定理应用方法 方法归纳 2分钟
8 选一选 巩固新知 1分钟
9 讲一讲 应用新知 2分钟
10 做一做 运用新知 1.5分钟
11 用一用 解决问题 2分钟
12 回头看一看 解决课前问题 2分钟
13 课堂小结 应用新知，反馈矫正 2分钟
情感目标：通过了解与定理有关的中外数学史，激发学生的学习兴趣和研究精神。特别是通过了解中国古代的数学成就，激发学生的民族自豪感。
（二）教学重点：勾股定理的证明和运用
（三）教学难点：勾股定理的证明
教学过程
（一）创设情境，导入新课
问题： 国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
画出图形后，指出需要解决的问题“已知直角三角形的两边，怎样求第三边？”通过本节的学习我们可以解决这个问题。
（二）合作交流，探究新知
早在2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了灵感，并且对此展开研究，下面我们也来重温数学家的发现之路，探究这个“饭局中诞生的定理”。
活动一 探究：等腰直角三角形三边的关系
思考：（1）你能发现图中的三个正方形的面积之间有什么联系吗？
（2）、你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗
（3）、你能发现图中的直角三角形三边长度之间存在什么关系吗
初步猜想：在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
活动二 探究：一般直角三角形三边之间的关系是否也是如此？
（1）图形A的面积= ，图形B的面积=
交流：图形C的面积如何求出？
（2）、你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗
（3）、你能发现图中的直角三角形三边长度之间存在什么关系吗
进一步猜想：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
以上仅仅是我们的猜想，这个命题如何来进行证明呢？
（三）动手操作，证明结论
我国古代人民早在几千万年以前就已经发现和运用勾股定理，在已有的文献记载中，最早给出证明的是三国时期的吴国数学家赵爽在《周髀算经》注中已经给出了勾股定理的证明。指导学生利用手中4个全等的直角三角形进行拼图。
1. 赵爽“勾股圆方图”
大正方形的面积可以表示为
也可以表示为4×+，于是可得：=4×+
整理的：
得到勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、传说中的毕达哥拉斯证法
由于拼图前后面积没有发生变化，因此
Ｓ大正方形==
Ｓ大正方形==
所以：= 得到：
3.总统证法（自主完成）
（四）应用新知，反馈矫正
1.讲一讲
求图中直角三角形的未知边的长度
2.做一做
在Rt△ABC中，∠C=900
（1）若a=5，b=12， 则c =___________.
（2）若c=4，b= 2 ，则a =______.
3.用一用
如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4.回头再看看
国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
（五）师生小结、共同提升
通过本节的学习，你有什么收获？(知识、过程、情感)还有什么困惑？
五、教学反思
本节课从实际问题引入，激发学生的学习兴趣。数学家毕达哥拉斯的发现之路也体现了数学来源于生活，又服务于生活，激发学生的研究热情。然后整个教学流程从特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形，从最初的猜想到最后的证明，既体现了数学的严谨，又符合学生的认知特点，便于学生接受和理解。其中勾股定理的证明方法多样化，利用数形结合，给出严密的证明。在给出证明方法的同时对学生进行数学史教育，中外都有所涉及，特别是通过中国古代对勾股定理的证明和利用，激发民族自豪感和爱国热忱。
六、教学流程图