北京版八年级数学上册《12.8 基本作图》教学设计(表格式)

教学基本信息
课题 基本作图——线段的垂直平分线
是否属于地方课程或校本课程 否
学科 数学 学段：7—9 年级 八年级
相关领域 图形与几何
教材 书名：义务教育教科书 出版社：北京出版社 出版日期： 2014年7月
指导思想与理论依据
义务教育数学课程标准（2011年版）指出，《数学课程标准》中要求：对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由．学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化．教师应组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析、抽象概括，运用知识进行判断．建构主义学习理论指出，知识不是从外界搬到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用而获取，通过意义构建的方式而获得．教学不能无视学习者的已有知识经验，简单强硬地从外部对学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，应该引导学习者从原有的知识经验中，生长新的知识经验．这一思想与维果斯基的“最近发展区”的思想相一致．教学不是知识的传递，而是知识的处理和转换.基于这样的思考，本节课通过折纸活动发现线段垂直平分线的定义，用尺规作知底知腰的等腰三角形的基础上，探索作出知底不知腰的等腰三角形，进而发现线段垂直平分线的性质定理．教学设计力求从学生已有的认知经验出发，为学生提供足够的时间和空间经历探索、交流问题的活动过程.
教学背景分析
教学内容：线段的垂直平分线是基本作图的重要内容之一，它的性质定理常常用来证明线段相等和垂直，避免了证明两次三角形全等的过程．同时，线段垂直平分线在以后的几何作图、证明、计算中有着十分重要的作用，也为后续学习其他的几何知识奠定了基础．本节课选自义务教育教科书数学八年级上册第12章第8节《基本作图》第3课时，其主要内容是研究线段垂直平分线的概念、性质定理和作法. 本节内容既是全等三角形、等腰三角形知识的深化和应用，又是证明线段相等和垂直的重要依据，还是研究轴对称有关知识的基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用.学生情况：（1）学生已有知识基础 在前面的学习中，学生已经掌握了利用全等三角形证明线段相等和角相等的方法，也学习了等腰三角形、角平分线的相关知识及研究方法，这为证明线段垂直平分线及其性质定理提供了知识储备．同时，学生对尺规作图已经有了一定的基础，在此基础上进一步对线段垂直平分线进行尺规作图，因此，在教学中一方面利用知识储备来促进新课的学习，另一方面通过通过线段垂直平分线尺规作图的方法及依据探索线段垂直平分线的性质定理，通过螺旋上升的方式加深拓展.（2）前期学生的学习情况和问题 我校是门头沟区的一所普通中学，学生已经具备一定的独立思考和探究能力，并能在探究过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法，大部分学生个性活泼，思维活跃，愿意表达自己的见解，有合作和与同伴交流的愿望，但思维发展有限．依据布卢姆教育目标分类学，我对学生已学的相关知识按知识维度和认知维度进行了分类，并编写前测试题进行测试如下：前测1：下面是小明用尺规作一条线段等于已知线段，以及过直线外一点作已知直线的垂线的过程，他这么作图对吗？若不对，请说明理由.（1）作一条线段等于已知线段 （2）过直线外一点作已知直线的垂线前测2：尺规作图——作一条线段等于已知线段已知：如图1，线段a与射线AM．求作：在图2中作线段AC，使得AC=a． 图1 图2前测3：尺规作图——知底知腰作一个等腰三角形已知：如图，线段AB与线段a．求作：以线段AB为底，线段a为腰，作一个等腰三角形ABC．前测4：已知：如图，AC=BC，AD=BD，过点C、D作直线交AB于点E.求证：CD⊥AB，AE=BE.前测5：请说明下面尺规作图的依据：（1）作一条线段等于已知线段的依据是 .（2）作角的平分线的依据是 .（3）学生学习该内容可能的困难及对策学生对尺规作图的依据还没有理解透彻，学生在学习尺规作线段垂直平分线的依据时难度较大.因此遵循学生的认知规律，结合课标中提出的“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有经验为基础”，本节课是基于学生获得的一节探索课.教学方式：本课主要采用了教师启发讲授与学生探究相结合的方法，包括教师的启发讲授、提问、演示，以及学生的探究、展示、交流等过程.教学手段：适时的采用多媒体辅助教学，同时借助几何画板，直观、形象地进行演示，为学生自主探究提供必要的技术支持.
教学目标
1.理解线段垂直平分线的概念，能用尺规作线段的垂直平分线；2.在用尺规作线段垂直平分线的过程中，经历分析作图思路，思考作图合理性的过程，知道作图的依据，发展空间想象能力和推理能力；3.通过尺规作线段垂直平分线的过程, 养成严谨的学习态度，体验获取成功的喜悦.教学重点：线段垂直平分线的作法.教学难点：理解用尺规作线段的垂直平分线的依据.
教学过程
教学环节 教师为主的活动 学生为主的活动 设计意图
知识回顾 活动一 尺规作图——作一条线段等于已知线段已知：如图1，线段a与射线AM．求作：在图2中作线段AC，使得AC=a．图1 图2引导学生回顾作法. 独立思考，并展示所作图形，说出作法. 回顾尺规作线段的作法.
探索新知 活动二 与 请同学们拿起学具，你能用折纸的方法得到线段AB的中点吗？观察折痕与线段AB有什么关系？引导学生画出图形，适时点拨，从位置和数量两个方面分析折痕与线段AB的关系，得到“中垂线”定义，用学具进行验证．板书课题：基本作图——线段的垂直平分线．引导学生分别用文字语言、图形语言和符号语言表示线段的垂直平分线，反之也成立.提出问题：如何用尺规作线段的垂直平分线？活动三 尺规作图——知底知腰作一个等腰三角形已知：如图，线段AB与线段a．求作：以线段AB为底，线段a为腰，作一个等腰三角形ABC．引导学生回顾作法，适时点拨尺规作图注意事项.活动四 尺规作图——知底不知腰作一个等腰三角形已知：如图，线段AB．求作：以线段AB为底，作一个等腰三角形ABC． （1）这样的等腰三角形还能作吗？如果还能作，还能作多少个？试试看？（2）在作这些等腰三角形时，腰的长度有什么要求吗？为什么？（3）这些等腰三角形的顶点有何特点？为什么？引导学生作出不同的等腰三角形，并用几何画板演示，这样的等腰三角形可以作出无数个，同时注意作等腰三角形的腰长的要求及依据；进一步引导学生观察图形发现，等腰三角形顶点所在的直线与线段AB的关系，并利用几何画板进行验证，进而得出线段垂直平分线性质的猜想：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．引导学生进行证明：已知：如图，AC=BC，AD=BD，过点C、D作直线交AB于点E.求证：CD⊥AB，AE=BE.证明：在△ACD和△BCD中， ∴△ACD≌△BCD(SSS) ∴∠1=∠2 (全等三角形对应角相等) ∵AC=BC(已知) ∴CD⊥AB，AD=BD.(三线合一)至此得到，线段垂直平分线的性质定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．引导学生思考线段垂直平分线的性质定理的作用.提出问题；反之成立吗？进而得到性质定理的逆命题，即：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．引导学生说明证明思路，证明过程留作课下完成.至此得到，线段垂直平分线的另一个性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．引导学生思考这个性质定理定理的作用.活动五 基本作图——作线段的垂直平分线已知：如图：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线MN． （1）为什么直线MN是线段AB的垂直平分线？（2）你这样作图的依据是什么？引导学生思考作法及作图依据，学生独立完成后，选择最优方法，并板演规范作法.活动六 如图，线段MN是新桥路中学操场外侧南北方向的围墙，A是学校的图书馆，B是学校的体育馆，现要在围墙上开一个小门，使这个小门与A和B两馆的距离相等，怎样确定小门的位置？引导学生独立完成，适时点拨. 独立完成，并思考折痕与线段AB的关系，得出线段垂直平分线的定义，并用三种语言进行表示.预案：(1)文字语言：线段垂直平分线的定义：经过某条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.(2)图形语言：(3)符号语言：∵AD=BD，直线CD⊥AB于点D，∴直线CD是线段AB的垂直平分线.独立思考，并展示所作图形，说出作法.先独立完成，再小组交流，展示所作图形，并互相补充，由此会发现所作图形并不完全相同.预案：（1）作出几个等腰三角形，但知道这样的等腰三角形能作无数个；或（2）腰的长度大于底边长的一半，理由：三角形的两边之和大于第三边；（3）这些顶点在一条直线上，这条直线垂直平分线段AB．说证明思路.独立思考性质定理的作用.学生思考，独立完成，适时小组交流.预案1：预案2：预案3：作图依据：（1）线段垂直平分线的判定定理；（2）两点确定一条直线.独立思考，交流讨论. 通过折纸的直观演示，初步感受线段的垂直平分线，引出课题.通过尺规作知底知腰的等腰三角形，为后续学习作好铺垫.
利用几何画板的演示功能加以直观验证，感受等腰三角形的无限性及其顶点的特点，进而得出线段垂直平分线的性质定理.经历“观察—猜想—验证”的探究过程得到线段垂直平分线的性质定理，培养由文字语言转化为图形语言，文再转化为符号语言的能力，同时提高学生演绎推理能力.通过提问性质定理的作用，为得出线段垂直平分线尺规作法的依据作铺垫，分散难点.这是本节课的教学重点，通过用尺规作线段的垂直平分线，掌握其作法，进一步理解作图的依据，突破难点. 巩固线段垂直平分线的作法及依据.
课堂小结 通过本节课的学习，你学到了什么知识？你有什么收获？本节课所学内容可以在今后的学习中解决什么问题？在本节课的学习过程中，你还有什么问题或困惑吗？引导学生从知识、思想方法、感悟等角度进行小结，并反思. 回答，相互补充.知识：线段垂直平分线的定义、性质定理、尺规作图的作法；思想方法：从特殊到一般的方法；感悟：不仅会用尺规作线段的垂直平分线，还要知道作图依据. 明确本节课的学习重点，巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力，增强反思意识.
反馈检测 AO、OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一个老鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正在向洞口逃窜.如果猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出作图依据）. 独立完成，并展示所作图形，说明作图依据. 检测学生掌握情况. 巩固线段垂直平分线的性质定理，发展空间想象能力和推理能力.
布置作业 必做题：1.完成线段垂直平分线的性质定理的证明过程.2.在数学课上，老师提出如下问题：小涛的作图步骤如下：老师说：“小涛的作图步骤正确”．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：__________________________________________．3.电信部门要修建一座电视信号发射塔.如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置？在图中标出它的位置（要求：尺规作图，不写做法，但要保留作图痕迹，并写出结论）.变式：如图，若两个城镇A，B在公路m的同侧、n的异侧，其他要求不变，发射塔应修建在什么位置？在图中标出它的位置（要求：尺规作图，不写做法，但要保留作图痕迹，并写出结论）.选做题：如图，∠ BAF=32°，动点C在直线EF上运动，要使△ABC为等腰三角形，这样的点C有几个？请在下图中用尺规作出点C的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 独立完成 通过必做题的反馈，检测教学目标落实情况.选做题为拓展题，培养学生分析问题、解决问题的能力，分层设计满足学生多样化需求．
板书设计
基本作图——线段垂直平分线（1）定义： 4.尺规作图——线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质定理1： 3. 线段垂直平分线的性质定理2：
学习效果评价设计
评价方式（1）教师评价；（2）生生互评；（3）学生自评；（4）当堂检测；（5）作业反馈.
评价量规学生学习效果评价：评价方式评价项目评价等级ABC师评学生活动的主动参与程度小组活动的合作交流意识课堂发言反映出的思维深度课堂练习的正确性课堂解决问题的情况小组互评小组发言的次数、质量讨论与交流的深度帮助同学的次数、质量自评参与学习的兴趣独立思考的习惯体验到学习和成功的愉悦倾听、理解他人见解以及合作交流的意识本节课在知识、方法等方面获得收获的程度教师自身教学效果评价评价项目评价等级ABCD教学目标的达成度教学过程调控的有效程度课堂练习的掌握情况对学生的学习活动进行有针对性的指导对学生及时采用积极、多样的评价方式课堂气氛的融洽程度探究活动中学生参与的范围课堂小结的概括总结情况学生对整节课的学习内容、数学思想方法的认识和体会
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1.注意新旧知识的联系与过渡，在本节课的复习回顾中，我利用展台快速回顾前面学习的两个尺规作图，一方面复习尺规作图的作法，另一方面为后面的研究作铺垫，让学生树立学习的信心，激发学习的积极性.2.依据布卢姆教育目标分类，确立本节课的学习内容，重视学生的最近发展区，引导学生养成从已知迁移到未知的学习方法，从而唤醒学生头脑中已有的知识经验，降低学习的难度，激发学生探索的意识，促进学生的发展． 3.利用轨迹的纯粹性和完备性，追踪等腰三角形顶点的特点，进而发现线段垂直平分线的性质.4.本节课我重视了对教材的整理与挖掘. 12.8基本作图原本只有两课时，但为了能让学生集中精力研究清楚基本作图的作法、依据，以及相关定理的形成、证明、分析与应用过程，我设置了四节课进行研究，有利于学生对知识的理解与应用.5.本节课我关注了学生个体的差异，在探究活动、反馈及作业等知识应用的环节的安排与处理上进行了分层教学，满足了不同层次学生的学习需求，为不同学生的发展创造了条件.
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尺规作图：
已知：线段．
求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，
BC边上的高为b．
如下图
（1）作线段BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN交
线段BC于点D；
（3）在MN上截取线段DA =b，连接
AB，AC．
所以△ABC即为所求作的等腰三角形．
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