古典概型练习题
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一1.（2008陕西18) 一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；
（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率
．
（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为
．
2.（2011?山东18）甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同
【解析】考查概率的概念和计算，主要是古典概型的概率计算，列举，容易题 (1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为49. （2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为率为6/15=2/5
二.1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件是必然事是
A.3个都是正品 B.至少有一个是次品 ( )
C.3个都是次品 D.至少有一个是正品
2.给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当x为某一实数时可使”是不可能事件
③“明天要下雨”是必然事件 ④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的个数是 ( )
A. 0 B. 1 C.2 D.3
3.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为
A. B. C. D. ( )
4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为
A. B. C. D. ( )
5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( )
A. B. C. D. 1
7.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；
③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则；
④每个基本事件出现的可能性相等；
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( )
⑴至少有一个白球,都是白球； ⑵至少有一个白球,至少有一个红球；
⑶恰有一个白球,恰有2个白球； ⑷至少有一个白球,都是红球.
A.0 B.1 C.2 D.3
9.下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( )
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒 D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%
10．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则 （ ）
A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
11.下列说法中正确的是 ( )
A.事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B.事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件
12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2,3,现任取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 （ ）
A. B. C. D.
13.若事件A、B是对立事件,则P(A)+P(B)=________________.
14.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
15.抛掷一个骰子,它落地时向上的数可能情形是1,2,3,4,5,6,骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是_________。
16.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为____________．
17.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是______．
18.3粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为.若坑内至少有1粒种子发芽，则不需要补种，若坑内的种子都没有发芽，则需要补种，则甲坑不需要补种的概率为________．
19.抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．
20.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同；
（3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。
21.口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。
22.为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．
参考答案
1-5:DDBBC 6-10:BCCBD 11-12:DC
13、1 14、 15、 16、 17、 18、
12.【解】 一一列举：
红1 黄2 蓝3
红1 黄3 蓝2
红2 黄1 蓝3
红2 黄3 蓝1
红3 黄1 蓝2
红3 黄2 蓝1
所以有6种情况。
而总数为 =84，所以概率为6/84=1/14
18、因为种子发芽的概率为，种子发芽与不发芽的可能性是均等的．若甲坑中种子发芽记为1，不发芽记为0，每粒种子发芽与否彼此互不影响，故其基本事件为(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)，共8种．而都不发芽的情况只有1种，即(0,0,0)，所以需要补种的概率是，故甲坑不需要补种的概率是1－＝.
19、从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和是4的倍数”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共
有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．
所以P(A)= .
(2)记“点数之和大于5小于10”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件
共有20个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，
(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)= .
20、（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白）
（1） （2） （3）
21、把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球”为事件A，则。
22、(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学，3,4,5,6是女同学)，该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种，当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，共8种，
故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝.
(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6)，则其概率为P(B)＝，
又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝，故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为P＝＋＝.
【备选题】甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏．
(1)求在前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率；
(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率．
解：(1)掷一枚硬币三次，列出所有可能情况共8种：
(上上上)，(上上下)，(上下上)，(下上上)，(上下下)，(下上下)，(下下上)，(下下下)；
其中甲得2分、乙得1分的情况有3种，
故所求概率p＝.
(2)在题设条件下，至多还要2局，
情形一：在第四局，硬币正面朝上，则甲积3分、乙积1分，甲获胜，概率为；
情形二：在第四局，硬币正面朝下，第五局硬币正面朝上，则甲积3分、乙积2分，
甲获胜，概率为.
由概率的加法公式，甲获胜的概率为＋＝.
三.1.（2010·北京高考文科）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（ ）
（A） (B) （C） (D)
【思路点拨】先求出基本事件空间包含的基本事件总数，再求出事件“”包含的基本事件数，从而。
【精讲精析】选D。，包含的基本事件总数。事件“”为，包含的基本事件数为。其概率。
2. （2010·辽宁高考文科）三张卡片上分别写上字母E，E,B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为 。
【思路点拨】
【精讲精析】将三张卡片排成一行，共有(种) 可能的结果，恰好排成英文单词BEE的可能结果有（种）所以所求概率为p=。
【答案】
3. （2010·江苏高考）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_ __.
【精讲精析】先求出从盒子中随机地摸出两只球的所有方法数，再求出所摸两只球颜色不同的方法数，最后代入公式计算即可。
【规范解答】从盒子中随机地摸出两只球，共有种情况，而摸两只球颜色不同的种数为种情况，故所求的概率为
【答案】
4. （2010·浙江高考文科）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在A、P、M、C中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 。
【思路点拨】利用向量加法的平行四边形法则逐个验证是否在四边形ABCD外。
【精讲精析】由题意知，G点共有16种取法，而只有E为P、M中一点，F为Q、N中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G只有4个，因此概率为。
5.（2011·江苏高考）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
【思路点拨】本题考查的是古典概型的概率计算，解题的关键是找出总的基本事件个数和其中一个数是另一个的两倍所包含的事件个数。
【精讲精析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）6个基本事件，其中一个数是另一个的两倍的有（1,2），（2,4）2个基本事件，所以其中一个数是另一个的两倍的概率是
【答案】.
6．【2012·江苏卷】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
【精讲精析】 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解．解题突破口为等比数列通项公式的运用．
由通项公式an＝1×(－3)n－1得，满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39，共6个，从而所求概率为P＝.
【答案】
7（2011·福建卷文科）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
(I)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c的值；
(II)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
【思路点拨】（Ⅰ）由等级系数为4和5的件数可求得频率的值，再由频率和为1求得的值;
（Ⅱ）此问属于求古典概型的概率问题，用列举法可求.
【精讲精析】（Ⅰ）由频率分布表得，即，
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以
等级系数为5的恰有2件，所以
从而，所以
（II）从日用品中任取两件，所有可能情况为：
，.
设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为
，共4个.
又基本事件的总数为10,故所求的概率
8（2011·山东高考文科）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
【思路点拨】（I）本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找出2名教师性别相同所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（II）从报名的6名教师中任选2名，列出基本事件，然后找出2名教师来自同一学校所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.
【精讲精析】(I) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，
所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；
选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，
所以选出的2名教师性别相同的概率为.
（II）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；
选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.
9（2012·山东高考文科）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
【精讲精析】 (I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.
（08—11）广东高考文科数学古典概型考题
1.( 2008文19)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知，求初三年级中女生比男生多的概率。
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
男生
377
370
2.（2007文）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
A． B． C． D．
3.( 2009文18)（本小题满分13分）
随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
4. (2010文17)（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。
5.（2011文17）（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用表示编号为 (=1,2,…,6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号
1
2
3
4
5
成绩
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。
的有8种情况，所以概率为.
四. .盒中有6个小球，3个白球，记为a1，a2，a3，2个红球，记为b1，b2，1个黑球，记为c1，除了颜色和编号外，球没有任何区别． （1） 求从盒中取一球是红球的概率； （2） 从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率．
解：（1）所有基本事件为：a1，a2，a3，b1，b2，c1共6个． 记“从盒中取一球是红球”为事件A， 事件A包含的基本事件为：b1，b2 ∴P(A)=2/6=1/3 （2）记“两次取球得分之和为5分”为事件B， 事件B包含的基本事件为：（a1，a2）（a1，a3）（a1，b1）（a1，b2）（a1，c1）（a2，a1）（a2，a2）（a2，a3）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c1），（a3，a1），（a3，a2）（a3，a3），（a3，b1）（a3，b1），（a3，c1），（b1，a1），（b1，a2）（b1，a3），（a1，a1）（b1，b1）（b1，b2）（b1，c1）
（b2，a1）（b2，a2）（b2，a3）（b2，b1）（b2，c1），（c1，a1）（c1，a2）（c1，a3）（c1，b1）（c1，b2）（c1，c1），共计36个 事件包含的基本事件为：（b1，c1），（b2，c1），（c1，b1），（c1，b2）共计4个 ∴P(B)=1/9
1．采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的倍，则个体a被抽到的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得＝×，解得n＝6，则个体a被抽到的概率为.
答案：A
2．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为p＝.
答案：B
3．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：从数字1,2,3中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,23,32共6种，每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验属于古典概型，记事件A为“取出两个不同数字组成两位数大于23”，则A中包含31,32两个基本事件，据古典概型概率公式，得P(A)＝＝.
答案：A
4．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为
( )
A．3 B．4
C．2和5 D．3和4
解析：n＝2时，p＝×＝；
n＝3时，p＝；n＝4时，p＝；n＝5时，p＝.
答案：D
二、填空题
5．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为________．
解析：骰子连投两次，基本事件共6×6＝36(个)，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)，共3个，故p＝＝.
答案：
6．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．
解析：∵A(0,0)、C(1,1)、E(2,2)在直线y＝x上，B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)在直线x＋y＝2上，
∴A、C、E三点共线，B、C、D三点共线．
∴任取三点共有C＝10(种)取法，三点共线的取法有2种，
∴取三点能构成三角形的概率为＝.
答案：
三、解答题
7．将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
(1)共有多少种不同的结果？
(2)两数之和是3的倍数的结果有多少种？
(3)两数之和是3的倍数的概率是多少？
解：(1)共有6×6＝36种不同的结果；
(2)两数之和是3的倍数的结果共有12种；
(3)两数之和是3的倍数的概率P＝＝.
8．一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字，今随机地先后抽取2个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．
求2个小球上的数字为相邻整数的概率．
解：随机抽取2个小球，记事件A为“2个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)，共18种．
(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有9种可能，共有可能结果10×9＝90种，因此，事件A的概率为＝.
(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果10×10＝100种，因此，事件A的概率为.
五.1．(2009·福建高考)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
( )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
解析：20组数中恰有两次命中的共有5组，因此所求概率为＝0.25.
答案：B
2．(2009·安徽高考)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为.
答案：
3．(2009·江苏高考)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
解析：在5个长度中一次随机抽取2个，则有(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)，共10种情况．
满足长度恰好相差0.3 m的基本事件有(2.5,2.8)，
(2.6,2.9)，共2种情况，所以它们的长度恰好相差0.3 m的概率为P＝＝.
答案：
4．(2009·浙江高考)有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k＋1，其中k＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A，则P(A)＝________.
解析：对于大于14的情况通过列举可得有5种情况：
7,8；8,9；16,17；17,18；18,19，而基本事件有20种，因此P(A)＝.
答案：
5．(2009·天津高考)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(Ⅰ)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；
(Ⅱ)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
解 ：(Ⅰ)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(Ⅱ)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区(记为事件X)的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
五.重难点：理解古典概型的特征以及能用枚举法解决古典概型的概率问题．
考纲要求：①理解古典概型及其概率计算公式．
②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
经典例题：一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.
?
?
?
当堂练习：
1．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话
的概率为（???? ）
A．? 9/10??????? B．? 3/10????????? C．? 1/8????????????? D．? 1/10
2．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率（???? ）
A．? 1/2????? B．? 1/3? ???? C．? 2/3???? D．? 1
3．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（???? ）
A． P1=P24．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率（???? ）
A． 1??? B． ??? C． ??? D．
5．袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下旬事件中概率是8/9的是（???? ）
A．颜色全相同?? B．颜色不全相同?? C．颜色全不同??? D．颜色无红色
6． 5名乒乓球队员中选3人参加团体比赛，其中甲在乙前出场的概率为（???? ）
A．????????? B．????????????? C．??????????????? D．
7．某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪从连中的概率为（???? ）
A．???????? ? B．????????? C．?????????????? D．
8．将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（???? ）
A． ?????????? B．??????? C． ???????? ? D．
9．盒中有100个铁钉，其中90个是合格的10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个是不合格铁钉的概率是（???? ）
A．0.9??? B．??? C．0.1??? ? D．
10．某小组有成员3人，每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为（???? ）
A．??? B．??? C．? ??? D．
11．十个人站成一排，其中甲乙丙三人恰巧站在一起的概率为（???? ）
A．??????? B．????? C．?????? D．
12．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这两位数大于40的概率是（???? ）
A．1/5?? B．2/5? ? C．3/5?? ? D．4/5
13．同时掷两颗骰子，下列命题正确的个数是（???? ）
①“两颗点数都是6”比“两颗点数都是4”的可能性小；
②“两颗点数相同的概率”都是；
③“两颗点数都是6”的概率最大；
④“两颗点数之和为奇数”的概率与“两颗点数之和为偶数”的概率相等。
A． 0???? B． 1???? C． 2????? D． 3
14．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______________．
15．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为2的样本,则某一个体a“第一次被抽到的概率”、“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是??????? ．
16．第1、2、5、7路公共汽车都要停靠的一个车站，有一位乘客等候着1路或5路汽车，假定各路汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是?????????? ．
17．十个号码：1号，2号，……，10号，装于一袋中，从其中任取三个，且在这三个号码的大小顺序中，5恰在中间，则这个事件的概率为????????? ．
18．一袋中装有30个小球,其中彩球有:n个红色的、5个蓝色的、10个黄色的，其余为白色的.求:
?⑴如果从袋中取出3个相同颜色彩球(无白色)的概率是,且n≥2,计算其中有多少个红球?
⑵在⑴的条件下,计算从袋中任取3个小球,至少有一个红球的概率．
?
?
19．已知?ABC的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，
(1)若a=2，b=3，c=4，求证：?ABC是钝角三角形；
(2)求任取一个?ABC是锐角三角形的概率．
?
?20．在一次由三人参加的围棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛按以下规则进行:第一局:甲对乙;第二局:第一局胜者对丙;第三局:第二局胜者对第一局败者;第四局:第三局胜者对第二局败者,求:
⑴乙连胜四局的概率；
⑵丙连胜三局的概率．
?
?
21．有5张卡片，上面分别写有0，1，2，3，4中的1个数.求：
①从中任取2张卡片，2张卡片上的数字之和等于4的概率；
②从中任取2次卡片，每次取1张.第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次.两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率．
?
参考答案：
经典例题：解：在个小正方体中，一面图有色彩的有个，两面图有色彩的有个，三面图有色彩的有个，∴⑴一面图有色彩的概率为；
⑵两面涂有色彩的概率为；
⑶有三面涂有色彩的概率.
答：⑴一面图有色彩的概率；⑵两面涂有色彩的概率为；⑶有三面涂有色彩的概率.
?
当堂练习：
1.B; 2.C; 3.B; 4.C; 5.B; 6.B; 7.A; 8.B; 9.D; 10.C; 11.C; 12.B; 13.C; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ;18. （1）2个;（2）.
19.
20. （1）乙连胜四局的概率P=0.6*0.5*0.6*0.5=0.09；
（2）丙连胜三局的概率P=0.4*0.6*0.5*0.6+0.6*0.5*0.6*0.5=0.162.
21. （1）2张卡片上的数字之和等于4的情形共有4种，任取2张卡片共有10种，所以概率为2/5；
（2）2张卡片上的数字之和等于4的情形共有5种，任取2张卡片共有25种，所以概率为1/5.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；
（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率
．
（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为
．
2.（2011?山东18）甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同
【解析】考查概率的概念和计算，主要是古典概型的概率计算，列举，容易题 (1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为49. （2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为率为6/15=2/5
二.1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件是必然事是
A.3个都是正品 B.至少有一个是次品 ( )
C.3个都是次品 D.至少有一个是正品
2.给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当x为某一实数时可使”是不可能事件
③“明天要下雨”是必然事件 ④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的个数是 ( )
A. 0 B. 1 C.2 D.3
3.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为
A. B. C. D. ( )
4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为
A. B. C. D. ( )
5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( )
A. B. C. D. 1
7.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；
③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则；
④每个基本事件出现的可能性相等；
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( )
⑴至少有一个白球,都是白球； ⑵至少有一个白球,至少有一个红球；
⑶恰有一个白球,恰有2个白球； ⑷至少有一个白球,都是红球.
A.0 B.1 C.2 D.3
9.下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( )
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒 D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%
10．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则 （ ）
A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
11.下列说法中正确的是 ( )
A.事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B.事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件
12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2,3,现任取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 （ ）
A. B. C. D.
13.若事件A、B是对立事件,则P(A)+P(B)=________________.
14.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
15.抛掷一个骰子,它落地时向上的数可能情形是1,2,3,4,5,6,骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是_________。
16.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为____________．
17.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是______．
18.3粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为.若坑内至少有1粒种子发芽，则不需要补种，若坑内的种子都没有发芽，则需要补种，则甲坑不需要补种的概率为________．
19.抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．
20.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同；
（3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。
21.口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。
22.为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．
参考答案
1-5:DDBBC 6-10:BCCBD 11-12:DC
13、1 14、 15、 16、 17、 18、
12.【解】 一一列举：
红1 黄2 蓝3
红1 黄3 蓝2
红2 黄1 蓝3
红2 黄3 蓝1
红3 黄1 蓝2
红3 黄2 蓝1
所以有6种情况。
而总数为 =84，所以概率为6/84=1/14
18、因为种子发芽的概率为，种子发芽与不发芽的可能性是均等的．若甲坑中种子发芽记为1，不发芽记为0，每粒种子发芽与否彼此互不影响，故其基本事件为(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)，共8种．而都不发芽的情况只有1种，即(0,0,0)，所以需要补种的概率是，故甲坑不需要补种的概率是1－＝.
19、从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和是4的倍数”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共
有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．
所以P(A)= .
(2)记“点数之和大于5小于10”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件
共有20个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，
(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)= .
20、（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白）
（1） （2） （3）
21、把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球”为事件A，则。
22、(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学，3,4,5,6是女同学)，该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种，当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，共8种，
故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝.
(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6)，则其概率为P(B)＝，
又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝，故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为P＝＋＝.
【备选题】甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏．
(1)求在前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率；
(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率．
解：(1)掷一枚硬币三次，列出所有可能情况共8种：
(上上上)，(上上下)，(上下上)，(下上上)，(上下下)，(下上下)，(下下上)，(下下下)；
其中甲得2分、乙得1分的情况有3种，
故所求概率p＝.
(2)在题设条件下，至多还要2局，
情形一：在第四局，硬币正面朝上，则甲积3分、乙积1分，甲获胜，概率为；
情形二：在第四局，硬币正面朝下，第五局硬币正面朝上，则甲积3分、乙积2分，
甲获胜，概率为.
由概率的加法公式，甲获胜的概率为＋＝.
三.1.（2010·北京高考文科）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（ ）
（A） (B) （C） (D)
【思路点拨】先求出基本事件空间包含的基本事件总数，再求出事件“”包含的基本事件数，从而。
【精讲精析】选D。，包含的基本事件总数。事件“”为，包含的基本事件数为。其概率。
2. （2010·辽宁高考文科）三张卡片上分别写上字母E，E,B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为 。
【思路点拨】
【精讲精析】将三张卡片排成一行，共有(种) 可能的结果，恰好排成英文单词BEE的可能结果有（种）所以所求概率为p=。
【答案】
3. （2010·江苏高考）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_ __.
【精讲精析】先求出从盒子中随机地摸出两只球的所有方法数，再求出所摸两只球颜色不同的方法数，最后代入公式计算即可。
【规范解答】从盒子中随机地摸出两只球，共有种情况，而摸两只球颜色不同的种数为种情况，故所求的概率为
【答案】
4. （2010·浙江高考文科）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在A、P、M、C中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 。
【思路点拨】利用向量加法的平行四边形法则逐个验证是否在四边形ABCD外。
【精讲精析】由题意知，G点共有16种取法，而只有E为P、M中一点，F为Q、N中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G只有4个，因此概率为。
5.（2011·江苏高考）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
【思路点拨】本题考查的是古典概型的概率计算，解题的关键是找出总的基本事件个数和其中一个数是另一个的两倍所包含的事件个数。
【精讲精析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）6个基本事件，其中一个数是另一个的两倍的有（1,2），（2,4）2个基本事件，所以其中一个数是另一个的两倍的概率是
【答案】.
6．【2012·江苏卷】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
【精讲精析】 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解．解题突破口为等比数列通项公式的运用．
由通项公式an＝1×(－3)n－1得，满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39，共6个，从而所求概率为P＝.
【答案】
7（2011·福建卷文科）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
(I)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c的值；
(II)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
【思路点拨】（Ⅰ）由等级系数为4和5的件数可求得频率的值，再由频率和为1求得的值;
（Ⅱ）此问属于求古典概型的概率问题，用列举法可求.
【精讲精析】（Ⅰ）由频率分布表得，即，
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以
等级系数为5的恰有2件，所以
从而，所以
（II）从日用品中任取两件，所有可能情况为：
，.
设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为
，共4个.
又基本事件的总数为10,故所求的概率
8（2011·山东高考文科）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
【思路点拨】（I）本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找出2名教师性别相同所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（II）从报名的6名教师中任选2名，列出基本事件，然后找出2名教师来自同一学校所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.
【精讲精析】(I) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，
所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；
选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，
所以选出的2名教师性别相同的概率为.
（II）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；
选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.
9（2012·山东高考文科）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
【精讲精析】 (I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.
（08—11）广东高考文科数学古典概型考题
1.( 2008文19)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知，求初三年级中女生比男生多的概率。
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
男生
377
370
2.（2007文）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
A． B． C． D．
3.( 2009文18)（本小题满分13分）
随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
4. (2010文17)（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。
5.（2011文17）（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用表示编号为 (=1,2,…,6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号
1
2
3
4
5
成绩
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。
的有8种情况，所以概率为.
四. .盒中有6个小球，3个白球，记为a1，a2，a3，2个红球，记为b1，b2，1个黑球，记为c1，除了颜色和编号外，球没有任何区别． （1） 求从盒中取一球是红球的概率； （2） 从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率．
解：（1）所有基本事件为：a1，a2，a3，b1，b2，c1共6个． 记“从盒中取一球是红球”为事件A， 事件A包含的基本事件为：b1，b2 ∴P(A)=2/6=1/3 （2）记“两次取球得分之和为5分”为事件B， 事件B包含的基本事件为：（a1，a2）（a1，a3）（a1，b1）（a1，b2）（a1，c1）（a2，a1）（a2，a2）（a2，a3）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c1），（a3，a1），（a3，a2）（a3，a3），（a3，b1）（a3，b1），（a3，c1），（b1，a1），（b1，a2）（b1，a3），（a1，a1）（b1，b1）（b1，b2）（b1，c1）
（b2，a1）（b2，a2）（b2，a3）（b2，b1）（b2，c1），（c1，a1）（c1，a2）（c1，a3）（c1，b1）（c1，b2）（c1，c1），共计36个 事件包含的基本事件为：（b1，c1），（b2，c1），（c1，b1），（c1，b2）共计4个 ∴P(B)=1/9
1．采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的倍，则个体a被抽到的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得＝×，解得n＝6，则个体a被抽到的概率为.
答案：A
2．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为p＝.
答案：B
3．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：从数字1,2,3中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,23,32共6种，每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验属于古典概型，记事件A为“取出两个不同数字组成两位数大于23”，则A中包含31,32两个基本事件，据古典概型概率公式，得P(A)＝＝.
答案：A
4．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为
( )
A．3 B．4
C．2和5 D．3和4
解析：n＝2时，p＝×＝；
n＝3时，p＝；n＝4时，p＝；n＝5时，p＝.
答案：D
二、填空题
5．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为________．
解析：骰子连投两次，基本事件共6×6＝36(个)，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)，共3个，故p＝＝.
答案：
6．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．
解析：∵A(0,0)、C(1,1)、E(2,2)在直线y＝x上，B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)在直线x＋y＝2上，
∴A、C、E三点共线，B、C、D三点共线．
∴任取三点共有C＝10(种)取法，三点共线的取法有2种，
∴取三点能构成三角形的概率为＝.
答案：
三、解答题
7．将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
(1)共有多少种不同的结果？
(2)两数之和是3的倍数的结果有多少种？
(3)两数之和是3的倍数的概率是多少？
解：(1)共有6×6＝36种不同的结果；
(2)两数之和是3的倍数的结果共有12种；
(3)两数之和是3的倍数的概率P＝＝.
8．一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字，今随机地先后抽取2个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．
求2个小球上的数字为相邻整数的概率．
解：随机抽取2个小球，记事件A为“2个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)，共18种．
(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有9种可能，共有可能结果10×9＝90种，因此，事件A的概率为＝.
(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果10×10＝100种，因此，事件A的概率为.
五.1．(2009·福建高考)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
( )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
解析：20组数中恰有两次命中的共有5组，因此所求概率为＝0.25.
答案：B
2．(2009·安徽高考)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为.
答案：
3．(2009·江苏高考)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
解析：在5个长度中一次随机抽取2个，则有(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)，共10种情况．
满足长度恰好相差0.3 m的基本事件有(2.5,2.8)，
(2.6,2.9)，共2种情况，所以它们的长度恰好相差0.3 m的概率为P＝＝.
答案：
4．(2009·浙江高考)有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k＋1，其中k＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A，则P(A)＝________.
解析：对于大于14的情况通过列举可得有5种情况：
7,8；8,9；16,17；17,18；18,19，而基本事件有20种，因此P(A)＝.
答案：
5．(2009·天津高考)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(Ⅰ)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；
(Ⅱ)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
解 ：(Ⅰ)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(Ⅱ)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区(记为事件X)的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
五.重难点：理解古典概型的特征以及能用枚举法解决古典概型的概率问题．
考纲要求：①理解古典概型及其概率计算公式．
②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
经典例题：一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.
?
?
?
当堂练习：
1．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话
的概率为（???? ）
A．? 9/10??????? B．? 3/10????????? C．? 1/8????????????? D．? 1/10
2．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率（???? ）
A．? 1/2????? B．? 1/3? ???? C．? 2/3???? D．? 1
3．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（???? ）
A． P1=P2
A． 1??? B． ??? C． ??? D．
5．袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下旬事件中概率是8/9的是（???? ）
A．颜色全相同?? B．颜色不全相同?? C．颜色全不同??? D．颜色无红色
6． 5名乒乓球队员中选3人参加团体比赛，其中甲在乙前出场的概率为（???? ）
A．????????? B．????????????? C．??????????????? D．
7．某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪从连中的概率为（???? ）
A．???????? ? B．????????? C．?????????????? D．
8．将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（???? ）
A． ?????????? B．??????? C． ???????? ? D．
9．盒中有100个铁钉，其中90个是合格的10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个是不合格铁钉的概率是（???? ）
A．0.9??? B．??? C．0.1??? ? D．
10．某小组有成员3人，每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为（???? ）
A．??? B．??? C．? ??? D．
11．十个人站成一排，其中甲乙丙三人恰巧站在一起的概率为（???? ）
A．??????? B．????? C．?????? D．
12．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这两位数大于40的概率是（???? ）
A．1/5?? B．2/5? ? C．3/5?? ? D．4/5
13．同时掷两颗骰子，下列命题正确的个数是（???? ）
①“两颗点数都是6”比“两颗点数都是4”的可能性小；
②“两颗点数相同的概率”都是；
③“两颗点数都是6”的概率最大；
④“两颗点数之和为奇数”的概率与“两颗点数之和为偶数”的概率相等。
A． 0???? B． 1???? C． 2????? D． 3
14．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______________．
15．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为2的样本,则某一个体a“第一次被抽到的概率”、“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是??????? ．
16．第1、2、5、7路公共汽车都要停靠的一个车站，有一位乘客等候着1路或5路汽车，假定各路汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是?????????? ．
17．十个号码：1号，2号，……，10号，装于一袋中，从其中任取三个，且在这三个号码的大小顺序中，5恰在中间，则这个事件的概率为????????? ．
18．一袋中装有30个小球,其中彩球有:n个红色的、5个蓝色的、10个黄色的，其余为白色的.求:
?⑴如果从袋中取出3个相同颜色彩球(无白色)的概率是,且n≥2,计算其中有多少个红球?
⑵在⑴的条件下,计算从袋中任取3个小球,至少有一个红球的概率．
?
?
19．已知?ABC的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，
(1)若a=2，b=3，c=4，求证：?ABC是钝角三角形；
(2)求任取一个?ABC是锐角三角形的概率．
?
?20．在一次由三人参加的围棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛按以下规则进行:第一局:甲对乙;第二局:第一局胜者对丙;第三局:第二局胜者对第一局败者;第四局:第三局胜者对第二局败者,求:
⑴乙连胜四局的概率；
⑵丙连胜三局的概率．
?
?
21．有5张卡片，上面分别写有0，1，2，3，4中的1个数.求：
①从中任取2张卡片，2张卡片上的数字之和等于4的概率；
②从中任取2次卡片，每次取1张.第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次.两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率．
?
参考答案：
经典例题：解：在个小正方体中，一面图有色彩的有个，两面图有色彩的有个，三面图有色彩的有个，∴⑴一面图有色彩的概率为；
⑵两面涂有色彩的概率为；
⑶有三面涂有色彩的概率.
答：⑴一面图有色彩的概率；⑵两面涂有色彩的概率为；⑶有三面涂有色彩的概率.
?
当堂练习：
1.B; 2.C; 3.B; 4.C; 5.B; 6.B; 7.A; 8.B; 9.D; 10.C; 11.C; 12.B; 13.C; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ;18. （1）2个;（2）.
19.
20. （1）乙连胜四局的概率P=0.6*0.5*0.6*0.5=0.09；
（2）丙连胜三局的概率P=0.4*0.6*0.5*0.6+0.6*0.5*0.6*0.5=0.162.
21. （1）2张卡片上的数字之和等于4的情形共有4种，任取2张卡片共有10种，所以概率为2/5；
（2）2张卡片上的数字之和等于4的情形共有5种，任取2张卡片共有25种，所以概率为1/5.