平行四边形学案
图片预览
文档简介
初二数学19单元导学案四
姓名 班级
19.1.2平行四边形的判定(一)
【学习目标】
1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
【学习重点】平行四边形的判定方法及应用．
【学习难点】平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
一 ?学前准备
1、阅读教材P86—87, 完成下列问题
2、?平行四边形的概念：
3、?平行四边形的性质：
边：
角：
对角线：
4、思考：对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？
二 ?探究活动
【探究1】如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？??????????????????
已知：四边形ABCD,?AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：连结AC，?????????????????????????????????????
∵ AB=CD，AD=BC （已知）
又∵ AC=AC （公共边）
∴△ABC≌△CDA（???? ）
∴∠1=∠2，∠3=∠4（???????????????????????? ）
∴ AB∥CD，AD∥BC （???????????????????????? ）
∴四边形ABCD是平行四边形（???????????????????????? ）
结论1：平行四边形的判定定理1：?? 两组????? ???分别相等的四边形是平行四边形。
【探究2】?小丽说：“我只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形。” 小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在两条对角线的交点处作了个记号。然后分别把两条对角线沿记号点对折，发现它们被记号点分成的两段线段都能重合，小丽高兴地说：“这的确是个平行四边形！”你知道为什么吗？
已知：四边形ABCD,?OA=OC,?OB=??? ，???????????????????????????
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明:
??????????????????????????????????????????????????????????????????
【探究3】两组对角相等的四边形是平行四边形吗？
已知：∠A=??? ,?∠B=???
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：
结论3：平行四边形的判定定理3：??
两组????? ???分别相等的四边形是平行四边形。
三?巩固应用
1、（课本87例题）已知：如图 口ABCD的对角线AC、BD交于点O， E、F是AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
课本采用判定定理2证明的，你能用判定定理1证明吗？试试看
?
?
?
2、已知如图，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH。
求证：四边形EFGH是平行四边形
?
?
?
四?自我检测
1、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（??? ）．
?（A）对角线互相垂直?????????? （B）对角线相等?
（C）对角线互相垂直且相等???? （D）对角线互相平分
2、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___?_cm，CD=___?_cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__?_cm，DO=__?_cm时，四边形ABCD为平行四边形．
3、 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC．
求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
?
?
?
?
4、小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
?
?
?
5、如图，E、F是四边形ABCD对角线AC上两点，AF=CE,DF∥BE,DF=BE.求证：四边形ABCD是平行四边形。
五、课堂小结
课后反思：
初二数学19单元导学案五
姓名 班级
19.1.2平行四边形的判定(二)
【学习目标】
1掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2会综合运用□的四种判定方法和性质来证明问题．?
3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．
【学习重点】平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．
【学习难点】平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
【学习过程】
一 ?课前准备
1、?平行四边形的性质；
2、平行四边形的判定定理
二 ?探究活动
【探究1】如图取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
已知：四边形ABCD,?AB∥CD，AB=CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形
分小组讨论，看有多少种证明方法 ？要有思路
结论：
平行四边形的判定定理4：
一组对边???? ?且???? ?的四边形是平行四边形。
三?应用举例??
1、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，
求证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等（你能说出证法吗），也可以证明四边形BEDF是平行四边形（结合已知条件怎样证明），比较两种证明办法，看看哪种简单．然后写出
证明：
?
?
?
?
2、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．
证明：
?
?
?
?
四?课堂练习
1．判断题：
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；????????????????????????? ( )
(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；??( )
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；??????????????????????? ( )
(5)对角线相等的四边形是平行四边形；???????????????????????? ????? ??( )
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．??????????????????????????? ( )
2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（??? ）．
（A）AB∥CD，AD=BC??? （B）∠A=∠B，∠C=∠D?
（C）AB=CD，AD=BC???? （D）AB=AD，CB=CD
3．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由．
?
?
?
?
4．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．请分别写出来
?
?
?
?
5．延长三角形ABC的中线BD至E，使DE=BD，连结AE、CE，如图， 求证：∠BAE=∠BCE。
?
?
?
6、如图，已知在口 ABCD中， AE、CF分别是∠BAD 、∠BCD 的角平分线，试说明四边形AFCE是平行四边形
五、课堂小结
六、课后反思
初二数学19单元导学案六
姓名 班级
19.1.2平行四边形的判定(三)
学习目标
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2、能熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索猜想证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
学习重点：掌握和运用三角形中位线的性质
学习难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
学习过程
一 课前预习
1．?? 平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2．?? 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
平行四边形知识的运用包括三个方面
一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；
二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；
三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．
3．创设情境
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（请画出图形）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
二 探究活动
探究：如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，（请完成下面的证明）
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：
?
?
?
?
?
三 应用新知
例1已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：
?
?
?
?
?
?
四、课堂练习
1．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是????? m，理由是?????????????????????????????? ．
2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长是?????? cm．
3、一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是???????????? cm．
4．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB=???? cm；若BC=9cm，则DE=????? cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
?
?
五、课堂小结与反思
六、课后作业
1．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．
5．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
?
姓名 班级
19.1.2平行四边形的判定(一)
【学习目标】
1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
【学习重点】平行四边形的判定方法及应用．
【学习难点】平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
一 ?学前准备
1、阅读教材P86—87, 完成下列问题
2、?平行四边形的概念：
3、?平行四边形的性质：
边：
角：
对角线：
4、思考：对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？
二 ?探究活动
【探究1】如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？??????????????????
已知：四边形ABCD,?AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：连结AC，?????????????????????????????????????
∵ AB=CD，AD=BC （已知）
又∵ AC=AC （公共边）
∴△ABC≌△CDA（???? ）
∴∠1=∠2，∠3=∠4（???????????????????????? ）
∴ AB∥CD，AD∥BC （???????????????????????? ）
∴四边形ABCD是平行四边形（???????????????????????? ）
结论1：平行四边形的判定定理1：?? 两组????? ???分别相等的四边形是平行四边形。
【探究2】?小丽说：“我只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形。” 小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在两条对角线的交点处作了个记号。然后分别把两条对角线沿记号点对折，发现它们被记号点分成的两段线段都能重合，小丽高兴地说：“这的确是个平行四边形！”你知道为什么吗？
已知：四边形ABCD,?OA=OC,?OB=??? ，???????????????????????????
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明:
??????????????????????????????????????????????????????????????????
【探究3】两组对角相等的四边形是平行四边形吗？
已知：∠A=??? ,?∠B=???
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：
结论3：平行四边形的判定定理3：??
两组????? ???分别相等的四边形是平行四边形。
三?巩固应用
1、（课本87例题）已知：如图 口ABCD的对角线AC、BD交于点O， E、F是AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
课本采用判定定理2证明的，你能用判定定理1证明吗？试试看
?
?
?
2、已知如图，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH。
求证：四边形EFGH是平行四边形
?
?
?
四?自我检测
1、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（??? ）．
?（A）对角线互相垂直?????????? （B）对角线相等?
（C）对角线互相垂直且相等???? （D）对角线互相平分
2、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___?_cm，CD=___?_cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__?_cm，DO=__?_cm时，四边形ABCD为平行四边形．
3、 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC．
求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
?
?
?
?
4、小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
?
?
?
5、如图，E、F是四边形ABCD对角线AC上两点，AF=CE,DF∥BE,DF=BE.求证：四边形ABCD是平行四边形。
五、课堂小结
课后反思：
初二数学19单元导学案五
姓名 班级
19.1.2平行四边形的判定(二)
【学习目标】
1掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2会综合运用□的四种判定方法和性质来证明问题．?
3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．
【学习重点】平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．
【学习难点】平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
【学习过程】
一 ?课前准备
1、?平行四边形的性质；
2、平行四边形的判定定理
二 ?探究活动
【探究1】如图取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
已知：四边形ABCD,?AB∥CD，AB=CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形
分小组讨论，看有多少种证明方法 ？要有思路
结论：
平行四边形的判定定理4：
一组对边???? ?且???? ?的四边形是平行四边形。
三?应用举例??
1、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，
求证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等（你能说出证法吗），也可以证明四边形BEDF是平行四边形（结合已知条件怎样证明），比较两种证明办法，看看哪种简单．然后写出
证明：
?
?
?
?
2、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．
证明：
?
?
?
?
四?课堂练习
1．判断题：
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；????????????????????????? ( )
(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；??( )
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；??????????????????????? ( )
(5)对角线相等的四边形是平行四边形；???????????????????????? ????? ??( )
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．??????????????????????????? ( )
2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（??? ）．
（A）AB∥CD，AD=BC??? （B）∠A=∠B，∠C=∠D?
（C）AB=CD，AD=BC???? （D）AB=AD，CB=CD
3．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由．
?
?
?
?
4．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．请分别写出来
?
?
?
?
5．延长三角形ABC的中线BD至E，使DE=BD，连结AE、CE，如图， 求证：∠BAE=∠BCE。
?
?
?
6、如图，已知在口 ABCD中， AE、CF分别是∠BAD 、∠BCD 的角平分线，试说明四边形AFCE是平行四边形
五、课堂小结
六、课后反思
初二数学19单元导学案六
姓名 班级
19.1.2平行四边形的判定(三)
学习目标
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2、能熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索猜想证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
学习重点：掌握和运用三角形中位线的性质
学习难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
学习过程
一 课前预习
1．?? 平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2．?? 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
平行四边形知识的运用包括三个方面
一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；
二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；
三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．
3．创设情境
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（请画出图形）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
二 探究活动
探究：如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，（请完成下面的证明）
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：
?
?
?
?
?
三 应用新知
例1已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：
?
?
?
?
?
?
四、课堂练习
1．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是????? m，理由是?????????????????????????????? ．
2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长是?????? cm．
3、一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是???????????? cm．
4．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB=???? cm；若BC=9cm，则DE=????? cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
?
?
五、课堂小结与反思
六、课后作业
1．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．
5．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
?