6.4 多边形的内角和与外角和 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
6. 4多边形的内角和与外角和
北师大版八年级下册数学
第六章平行四边形
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
情景引入
（2）你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
（1）三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°.
都是360°.
（3）猜想任意四边形的内角和是多少度？
思考：
多边形的内角和
一、多边形的内角和
探究新知
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
猜想与证明
方法1：如图，连接AC,
四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
A
B
C
D
探究新知
A
B
C
D
E
方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
探究新知
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
A
B
C
D
E
探究新知
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA，PB，PC，PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
结论：四边形的内角和为360°.
结论
探究新知
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗
内角和为180°×3 = 540°.
内角和为180°×4 = 720°.
思维拓展
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
······
0
n -3
1
2
3
1
2
3
4
n -2
（ n -2 ）·180
1×180 =180
2×180 =360
3×180 =540
4×180 =720
······
······
······
······
由特殊到一般
探究新知
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
结论
归纳总结
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
∵
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
∴
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
多边形的内角和定理
例
结论
例题讲解
方法总结
多边形内角和的三点注意
(1)多边形的内角和是指n个内角的度数之和.
(2)多边形的内角和为(n-2)·180°,且内角和为180°的整数倍.
(3)由多边形的边数可以求出其内角和,由多边形的内角和也可以求出多边形的边数.
小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
二、多边形的外角和
探究新知
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
如图，∠A的外角是∠1.
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
多边形所有外角的和叫做这个多边形的外角和.
概念学习
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5×180°=900°
探究新知
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形外角和
=360 °
=5个平角
－五边形内角和
=5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
探究新知
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
探究新知
问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是
______边形.
六
正八
探究新知
正多边 形边数 内角
3
4
5
6
8
n
60 °
90 °
120 °
完成下面的表格：
108 °
135 °
针对练习
例 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的
2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2) 180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n－2) 180°=2× 360 .
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
例题讲解
例 已知一个多边形的每个内角与外角的比都
是7:2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,
根据题意得
7x+2x=180，
解得 x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？
例题讲解
解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得
解得n=9.
答：这个多边形是九边形.
例题讲解
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
记作
记作
五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
记作
多边形的有关概念
探究新知
1. 一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。
凹多边形
凸多边形
探究新知
2.如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等.
探究新知
顶点
内角
边
外角
对角线
4.对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶
点的线段叫做多边形的对角线。
3.外角： 多边形内角的一边与另一边的反向延长 线 所组 成的角叫做这个多边形的外角。
探究新知
问题 1 五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？
答 五边形有5个内角，10个（5对）外角；
六边形有6个内角，12个（6对）外角.
问题 n边形有多少个内角？多少个外角？
答 n边形有n个内角，2n个（n对）外角.
探究新知
问题2. (1)四边形从一个顶点可引出几条对角线,共有几条对角线
(2).五边形呢
(3).n边形从一个顶点可引出几条对角线,共有几条对角线 为什么
探究新知
请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
……
1
2
3
N-3
探究新知
试一试
五边形ABCDE共有几条对角线呢？
五边形ABCDE共有5条对角线。
请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角线呢？
试一试
六边形ABCDEF共有9条对角线。
有没有什么
规律呢？
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可
以引(n－3)条，那么n个顶点就有n(n－3)条，但其中
每一条都重复计算一次，所以n边形一共有
条对角线.
n(n－3)
2
1.四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（ ）
A．80° B．90° C．170° D．20°
2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
A
B
课堂练习
3．内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
4．六边形的内角和等于______度．
5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于______．
B
720
144°
36°
6.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=
90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
解：BE∥DF．
理由：∵∠A=∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°．
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．
∵∠ABE=1/2∠ABC，∠ADF=1/2∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF= 1/2（∠ABC+∠ADC）=1/2 ×180°=90°．
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
7. 如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．
解：（5-2）×180°÷360°×12×π=1.5π．
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