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提分小卷8 平行线性质与判定的综合
1．图1为北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠C＋10°，∠D＝∠E＝105°.
图1
图2
(1)求∠F的度数．
(2)计算∠B－∠CGF的度数．
(3)连接AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由．
2．(2021·孝感云梦县期末)已知点A，B在直线DE同侧，点C在直线DE上，连接CA，CB.
图1
图2
图3
(1)如图1，若AB∥DE，求证：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°；
(2)如图2，若AB与DE不平行，点G，F在DE上，且∠AGC＝∠BFC＝∠ACB.
①求证：∠GAC＝∠BCF，∠FBC＝∠ACG；
②如图3，延长AG，BF交于点H，若∠ACB＝α(90°＜α＜180°)，试用α表示∠H.
3．(2021·武汉硚口区期末)已知直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，∠1＋∠2＝180°.
(1)如图1，求证：AB∥CD；
(2)如图2，M，N分别为直线AB，CD上的点，P，Q为直线AB，CD之间不同的两点，∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°.
①求证：PM⊥PN；
②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K.若∠EKN＋∠GLP＝170°，直接写出∠PNH－∠EHD的大小．
图1
图2
图3
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提分小卷8 平行线性质与判定的综合
1．图1为北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠C＋10°，∠D＝∠E＝105°.
图1
图2
(1)求∠F的度数．
1．解：(1)∵AF∥DE，∴∠F＋∠E＝180°.∴∠F＝180°－105°＝75°.
(2)计算∠B－∠CGF的度数．
(2)如图，过点C作CK∥AF，则∠CGF＝∠GCK.∵AF∥DE，∴CK∥DE.∴∠DCK＝∠CDE.∴∠DCG＝∠GCK＋∠DCK＝∠CGF＋∠CDE.
∴∠B－∠CGF＝∠DCG＋10°－∠CGF＝∠CDE＋10°＝115°.
(3)连接AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由．
(3)当∠ADE＋∠CGF＝180°时，BC∥AD.理由如下：连接AD，∵AF∥DE，∴∠GAD＋∠ADE＝180°.∵∠ADE＋∠CGF＝180°，∴∠GAD＝∠CGF.∴BC∥AD.
2．(2021·孝感云梦县期末)已知点A，B在直线DE同侧，点C在直线DE上，连接CA，CB.
图1
图2
图3
(1)如图1，若AB∥DE，求证：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°；
2．解：(1)证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE.∵∠ACD＋∠ACB＋∠BCE＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
(2)如图2，若AB与DE不平行，点G，F在DE上，且∠AGC＝∠BFC＝∠ACB.
①求证：∠GAC＝∠BCF，∠FBC＝∠ACG；
②如图3，延长AG，BF交于点H，若∠ACB＝α(90°＜α＜180°)，试用α表示∠H.
(2)①证明：过点A作AM∥DE，则∠ACG＝∠MAC，∠MAG＋∠AGC＝180°.又∵∠MAG＝∠MAC＋∠GAC，∴∠GAC＋∠ACG＋∠AGC＝180°.∵∠BCF＋∠ACB＋∠ACG＝180°，∠AGC＝∠ACB，∴∠GAC＝∠BCF.同理可证：∠FBC＝∠ACG.②同①可证∠H＋∠HGF＋∠HFG＝180°.∵∠AGC＝∠BFC＝∠ACB＝α，∴∠AGF＝∠HFG＝180°－α.∴∠H＋180°－α＋180°－α＝180°.∴∠H＝2α－180°.
3．(2021·武汉硚口区期末)已知直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，∠1＋∠2＝180°.
(1)如图1，求证：AB∥CD；
3．解：(1)证明：∵∠1＝∠HGB，∠1＋∠2＝180°，∴∠HGB＋∠2＝180°.∴AB∥CD.
(2)如图2，M，N分别为直线AB，CD上的点，P，Q为直线AB，CD之间不同的两点，∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°.
①求证：PM⊥PN；
(2)①证明：过点Q作QK∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴QK∥AB∥CD.∴∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN.∴∠MQN＝∠MQK＋∠KQN＝∠BMQ＋∠DNQ.同理，∠MPN＝∠BMP＋∠DNP.设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，则∠MQK＝x，∠KQN＝y，∠PMQ＝2x，∠PNQ＝2y.∵∠MQN＝30°，∴x＋y＝30°.∴∠MPN＝3x＋3y＝90°.∴PM⊥PN.
②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K.若∠EKN＋∠GLP＝170°，直接写出∠PNH－∠EHD的大小．
图1
图2
图3
(3)②如图2，过点L作IS∥AB，过点P作PW′∥AB，过点K作KW∥AB.∵AB∥CD，∴IS∥AB∥CD∥KW∥PW′.∵GL平分∠EGB，∴可设∠EGL＝∠LGB＝x.同理，可设∠CNK＝∠KNP＝y.∠MPL＝∠TPL＝45°.∵IS∥AB∥PW′，∴∠ILG＝∠LGB＝x，∠SLP＝∠LPW′.∵PW′∥CD，∴∠W′PN＝180°－∠CNP＝180°－2y.∴∠W′PL＝180°－∠W′PN－∠LPT＝2y－45°.∴∠SLP＝∠LPW′＝2y－45°.∴∠GLP＝180°－∠ILG－∠SLP＝225°－x－2y.∵AB∥KW∥CD，∴∠AGK＝∠GKW＝∠EHD＝∠EGB＝2x，∠WKN＝∠KNC＝y.∴∠EKN＝∠GKW＋∠WKN＝2x＋y.∵∠EKN＋∠GLP＝170°，∴2x＋y＋225°－x－2y＝170°.∴y－x＝55°.∴∠PNH－∠EHD＝2y－2x＝110°.
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