沪科版数学八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系-教案

17.4《一元二次方程的根与系数的关系》
教学设计
教材及学情分析
本节课的内容是一元二次方程的根与系数的关系，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
本阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，让学生自主探究其根与系数的关系是完全可能的。
三维目标
1、知识与技能：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
2、过程与方法：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3、情感态度价值观：
（1）渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
（2）通过所学数学知识解决生活中的问题，激发学生对数学学习的兴趣。
三、教学重点、难点
1．教学重点：根与系数的关系的其推导。
2．教学难点：根与系数的关系灵活应用。
四、教学流程
（一）、创设情境导入新课
师：上节我们已学过用公式法解一元二次方程。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，当b2－4ac≥0时， 则有x=。利用它可不用解方程，根据一元二次方程的系数a、b、c的值，直接求出方程的根，也就是说方程的根是由系数a、b、c的值决定的。那么它们之间到底有什么样的关系呢？这就是我们今天所要研究的话题（一元二次方程的根与系数的关系）
（二）、探索新知：1、观察与归纳
解下列方程，求出它们的根x1、x2，并计算x1+x2，x1*x2的值，填写下表，然后观察根与系数的关系。
方 程 x1 x2 X1+X2 X1X2
X2-2x=0 0 2 2 0
X2+3x-4=0 1 -4 -3 -4
X2-5x+6=0 2 3 5 6
2x2-x-1=0 1 - -
师：同学们你们通过填表、计算，有什么新的发现？
生发现：当二次项系数等于1时
(1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数；
(2)两根之积等于常数项.
生发现：当二次项系数不等于1且a≠0时
(1)方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数；
(2)两根之积等于常数项除以二次项系数
2、由特殊到一般（韦达定理的推导）
师：是不是所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？
下面我找一名学生板书，其它学生在练习本上推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．
解：设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．
定理：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，则：x1+x2 = - , x1x2 = 此公式是法国人，韦达发现的人们为了怀念他，把此定理叫做韦达定理。
推论：当二次项系数为 1时,关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0可转化为x2+px+q=0的形式，两根为x1,x2 (p,q为常数).则：x1+x2 = - p , x1x2 = q 还可以写成x2-(x1+x2)x+x1x2=0的形式。
3、巩固新知：练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
（1）x2-1＝0；（2）x2-5x＋4＝0；
（3）2x2-9x＋5＝0；（4）3x2-2x-2＝0
练习2.验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．
x2-6x-7=0 (-1,7) 2x2-3x+1=0 (3,1)
x2-4x+1=0 (-2+,-2-)
验根要注意三个问题：要先把一元二次方程化成标准型，不要漏除二次项系数还要注意-中的负号
4、典例：已知方程一根，求另一根．
例1：已知方程2x2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k的值．
方法（一）解：设方程的另一根为x2，
则有- 4+x2 = - ; - 4x2 = - 解得 x2= k= 7
答：方程的另一根为，k值为7.
方法（二）解：∵ -4是方程2x2+kx-4=0的根，
∴ 2×（-4）2＋k×（-4）-4＝0，∴ k＝7．
∴ 原方程可变为2x2+7x-4=0
解此方程得x1=
答：方程的另一根为，k值为7.
学生进行比较发现：方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．
例2：见教材38页，老师分析思路，让学生独立完成，再由一名学生上台板演
（三）小结
今天你收获了什么哪些新知？还存在哪些疑惑？
（四）、板书设计
17．4 一元二次方程根与系数的关系（一）
一元二次方程根与系数关系 关系的推导 应用（1）验根
（1）…… …… （2）已知一根， 求另一根
（2）…… ……
、布置作业:
教材中的练习P39 必做题： 1、单数 2、双数 3 选做题：4
家庭作业：基训跟上进度
教学反思：
(
1
)