2022届浙江省高考冲刺最后一卷（三）数学试题（Word版含解析）

2022年浙江数学高考冲刺最后一卷（三）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题部分（共40分）
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面的对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）为（ ）
A． B．32 C． D．64
5．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图为函数的部分图象，则的值可能是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，在矩形中，，E，F，G，H分别为边的中点，将分别沿直线翻折形成四棱锥，下列说法正确的是（ ）
异面直线所成角的取值范围是
B．异面直线所成角的取值范围是
C．异面直线所成角的取值范围是
D．异面直线所成角的取值范围是
8．已知，，．若，则的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
9．已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知数列满足，记表示数列的前n项乘积.则（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等．从第二次开始，每次作出的内接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的．若第一次所作的内接三角形面积为1，则第三次所作的内接三角形面积和为________．
12．设函数，若，则实数a的值为___________.
13．设，则___________，___________.
14．如图，在中，，，，，则_________，_________.
15．某市有名男教师和名女教师（），从中任取两名教师去西部支教，甲被抽中的概率为，一名男教师和一名女教师被抽中的概率为，则______，记去支教的教师中男教师的人数是，则______.
16．如图所示，与是椭圆方程：的焦点，P是椭圆上一动点（不含上下两端点），A是椭圆的下端点，B是椭圆的上端点，连接，，记直线PA的斜率为当P在左端点时，△是等边三角形．若△是等边三角形，则=__________；记直线PB的斜率为，则的取值范围是________．
17．已知平面向量，，满足，，，则的最小值是________．
三、解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）18．已知向量，，，且的图像过点和点.
（1）求，的值及的最小正周期；
（2）若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求
在时的值域和单调递减区间.
19．（15分）．19．如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（15分）已知是数列的前项和，，且，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，求证：.
21．（15分）设定点，动圆过点且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值.
22．（15分）设,.
（Ⅰ）当时,求曲线在处的切线的方程;
（Ⅱ）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
（Ⅲ）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
参考答案：
1．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用韦恩图结合集合的基本运算求解.
【详解】
解：因为，，
所以阴影部分表示的集合为.
故选：B.
2．复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面的对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
先求出复数z和，即可判断.
【详解】
因为，所以，所以对应点.
故选：C.
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分必要条件的定义分析计算即可.
【详解】
若 ，则 ， ，
， ， ，
若 ，则 ，，
，，，
所以 是 的充分条件；
若 ，则必有 ，即 ，
， ，即不是的必要条件；
故选：A.
4．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）为（ ）
A． B．32 C． D．64
【答案】C
【分析】
将三视图还原到长方体中，该几何体由四棱锥与三棱锥组合而成，由锥体的体积公式即可得出答案.
【详解】
该几何体由四棱锥与三棱锥组合而成，
故
故选：C .
5．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据不等式组画出可行域，再将目标函数变形为，根据图像可分析出最值和范围.
【详解】
根据题意可得到可行域为:直线右上侧，左侧（如图中阴影部分），
直线的右上侧，这三部分的交集所构成的区域，
变形为
可知当直线过点时，截距有最小值，无最大值。故范围为.
故选：C.
6．如图为函数的部分图象，则的值可能是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
根据图象判断函数的奇偶性，代入特殊值，判断函数值的大小，利用排除法求解即可.
【详解】
解析：由图可知为偶函数，因为为奇函数，所以也为奇函数，排除A和C，如果，即，则，与图不符，所以不能取3，故排除B项.
故选：D．
7．如图，在矩形中，，E，F，G，H分别为边的中点，将分别沿直线翻折形成四棱锥，下列说法正确的是（ ）
A．异面直线所成角的取值范围是 B．异面直线所成角的取值范围是
C．异面直线所成角的取值范围是 D．异面直线所成角的取值范围是
【答案】C
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值，即可判断；
【详解】
解：建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，
和在平面中的投影分别在和上（如下图所示），
因为，令，则，
由比值可知，的x，y，z坐标比值为，所以令坐标为，
因为在平面中的投影在上，所以，
同理可得坐标为，
，
则，
解得，因为和的范围均为，
所以，即夹角范围是，故A，B错误；
同理可得，因为异面直线所成角范围是，则夹角范围是．即C正确，D错误；
故选：C．
8．已知，，．若，则的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件，画出图形，确定点C的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答.
【详解】
令，依题意，，而，则，
因，则有点C在半径为1，所含圆心角为的扇形的弧上，如图，
因，则表示直线上的点Q与直线上的点P间距离，、分别是点C到点Q，P的距离，
因此，表示三点Q，P，C两两距离的和，
作点C关于直线OA对称点N，关于直线OB对称点M，连MN交OA，OB分别于点F，E，连FC，EC，ON，OM，
则有，令，则，，
于是得，而，
由余弦定理得，
因此，，
对于直线上任意点Q、直线上任意点P，连接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，
则，，当且仅当点Q与F重合且点P与点E重合时取“=”，
从而得，
所以的最小值为.
故选：D
9．已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，再借助点到直线距离公式计算作答.
【详解】
令双曲线的半焦距为c，则，由对称性不妨令与平行的渐近线为，
直线方程为：，即，
令的内切圆与三边相切的切点分别为A，B，C，令点，如图，
由切线长定理及双曲线定义得：，
即，而轴，圆半径为，则有，
点到直线的距离：，整理得，即，而，解得，
所以双曲线的离心率为2.
故选：A
10．已知数列满足，记表示数列的前n项乘积.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先用数学归纳法证明.构造函数，利用导数证明出.记，证明出得到，即，用累加法得：，即可求出.记，证明出.得到，求出，即可得到.
【详解】
因为，所以.
下面用数学归纳法证明.
当n=1时，符合.
假设时，结论成立，即.
当时，，所以显然成立；
因为，所以，所以，即，
所以结论成立.
综上所述：对任意的均成立.
记函数..
因为，所以（x=1取等号），所以在单调递增，
所以，即，所以，即，
所以数列为单调递增函数，所以.
记，则（x=1取等号），所以在上单调递增，所以，即.
所以，所以，
所以，累加得：.
因为，所以，即，所以，
所以，
即.
记，则，所以在上单调递减，所以，即.
所以，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以
即.
综上所述：.
故选：C
二、填空题
11．古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等．从第二次开始，每次作出的内接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的．若第一次所作的内接三角形面积为1，则第三次所作的内接三角形面积和为________．
【答案】
【分析】
根据题意得到等比数列，利用等比数列通项公式进行计算
【详解】
由题意得：每一次作出的内接三角形面积和为等比数列，首项为1，公比为，故第三次所作的内接三角形面积和为
故答案为：
12．设函数，若，则实数a的值为___________.
【答案】5
【分析】
先求，再求，列出方程，求出a的值.
【详解】
，，解得：.
故答案为：5
13．设，则___________，___________.
【答案】 108 1
【分析】
利用赋值法，分别令，，利用二项展开式的通项公式求解即可
【详解】
令，则.
设，则原式可变为.
通项为通项为，则的通项为，令，则，所以.
故答案为：（1）108； （2）1
14．如图，在中，，，，，则_________，_________.
【答案】
【分析】
由，利用三角公式求出；利用正弦定理直接求出BD.
【详解】
因为，所以，所以.
因为，所以，所以，
又为锐角，所以.
在中，，，，由正弦定理得：，即,解得：.
故答案为：；
15．某市有名男教师和名女教师（），从中任取两名教师去西部支教，甲被抽中的概率为，一名男教师和一名女教师被抽中的概率为，则______，记去支教的教师中男教师的人数是，则______.
【答案】
【分析】
利用题中所给的概率，列式，即可求解；首先求的分布列，再求期望.
【详解】
由随机抽样的概率可知，，
且，得，且，解得：，，
所以；
，
，，，
分布列如下：
1
.
故答案为：；
16．如图所示，与是椭圆方程：的焦点，P是椭圆上一动点（不含上下两端点），A是椭圆的下端点，B是椭圆的上端点，连接，，记直线PA的斜率为当P在左端点时，△是等边三角形．若△是等边三角形，则=__________；记直线PB的斜率为，则的取值范围是________．
【答案】 ，+∞）
【分析】
先由△是等边三角形，求出,
（1）直接判断出P为左端点或右端点，分别用斜率公式求出斜率；
（2）计算出，对利用基本不等式求范围.
【详解】
对于椭圆方程：，.
当P在左端点时，△是等边三角形，所以,
（1）由对称性，若△是等边三角形，则P为左端点或右端点：
当P为左端点时，，
同理可求，当P为右端点时，，
即若△是等边三角形，则=.
（2）设，则.
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以.
所以，当且仅当时取等号.
即的取值范围是，+∞）.
故答案为：；，+∞）
17．已知平面向量，，满足，，，则的最小值是________．
【答案】
【分析】
建立平面直角坐标系，使，求出向量满足.设，，，，得到A、B、C、D、E的坐标，求出E关于直线AB的对称点F，把转化为，利用几何意义得到：当C位于短轴上顶点时，最小.
【详解】
由，，不妨建立平面直角坐标系，使.
设，则，整理化简得：.
不妨设，，则,.
因为=.
记,所以A、B、D三点共线.
由可得：直线AB为，所以点D落在直线AB上.
记,则.
所以表示CD间的距离，表示DE间的距离，所以表示.
设为E关于直线AB的对称点，则，解得：，即.
所以.
所以.
如图示，当C位于直线直线AB右上方的椭圆上时，能取得最小值.
由椭圆的几何性质，可知：当C位于短轴上顶点时，最小，所以最小值为.
故答案为：.
三、解答题
18．已知向量，，，且的图像过点和点.
（1）求，的值及的最小正周期；
（2）若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求在时的值域和单调递减区间.
【答案】（1）；最小正周期为；（2）值域为；单调递减区间为..
【分析】
（1）根据数量积运算先表示出，然后通过所过点的坐标求解出的值，并利用三角恒等变换的公式将化简，从而求解出最小正周期；
（2）先根据图象平移得到，再利用整体替换的方法求解出在时的值域和单调递减区间.
【详解】
（1）.
把和代入上式，得：.
∴
∴
∴的最小正周期为.
（2）由已知得.
当时，，
所以，此时，
所以，此时，
所以的值域为.
令，所以，
当时，且，
所以的单调递减区间为.
19．如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）由题意知，，取的中点，连接，易知两两垂直，以为原点建立如图所示的坐标系，设，平面的一个法向量为，求出向量，则向量所成角的余弦值的绝对值即为所求.
【详解】
（1）证明：因为，
所以平面，
又因为平面，所以.
又因为，
所以平面.
（2）因为，
所以是二面角的平面角，即，
在中，，
取的中点，连接，因为,
所以,由（1）知，平面，为的中位线，
所以，即两两垂直，
以为原点建立如图所示的坐标系，设，则
，
，设平面的一个法向量为，
则由得令，得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．已知是数列的前项和，，且，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用作差法求解数列的通项公式，注意对的情况进行讨论；
（2）利用裂项相消法求数列的和从而证明结论.
【详解】
（1）由题意得
∴作差有，
∵，∴，
令时，则求得或（舍），
∴，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，
故.
（2）证明：由（1）知，；
当时，，
∴
，即.
21．设定点，动圆过点且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）利用抛物线的定义，即得解；
（2）设出直线的方程，与抛物线联立，得到韦达定理，转化，代入坐标结合韦达定理，即得解.
【详解】
（1）依题意知，点的轨迹是以为焦点，
以直线为准线的抛物线，
其方程为.
（2）由题意知，
直线的斜率存在且不为，设为，
则的方程为.
由，得.
设，，
则有，.
因为，所以的斜率为.
设，，
则同理可得，.
故
.
当且仅当，即时，取得最小值.
22．设,.
（Ⅰ）当时,求曲线在处的切线的方程;
（Ⅱ）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
（Ⅲ）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数在给定点处的切线方程，以及不等式的恒成立问题的综合运用．
（1）利用导数的几何意义，求解切线的斜率，和切点坐标，表示出切线方程．
（2）要是不等式恒成立，构造函数，研究函数单调性，进而得到参数m的最值．
（3）对任意的s,t属于[1/2,1]，都有f(s)f(t)成立
等价于：在区间[1/2,1]，上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，
结合第二问的结论得到．
解：（1）当时，，，，，
所以曲线在处的切线方程为；
（2）存在，使得成立，
等价于：，
考察，
递减 极（最）小值 递增
由上表可知：，
，
所以满足条件的最大整数；
3）当时，恒成立，等价于恒成立，
记，，．
记，，由于，
, 所以在上递减，又h/（1）=0，
当时，，时，，
即函数在区间上递增，在区间上递减，
所以，所以
（3）另解：对任意的，都有成立
等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，
由（2）知，在区间上，的最大值为．
，下证当时，在区间上，函数恒成立．
当且时，，
记，，
当，；当，
，
所以函数在区间上递减，在区间上递增，
，即，
所以当且时，成立，
即对任意，都有．