§6.6 简单几何体的再认识 同步练习（Word版含解析）

§6 简单几何体的再认识
一、选择题（本小题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2、圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、下列说法中正确的是（ ）
A、若一个球的直径为2，则此球的表面积为
B、若一个圆锥的底面积为，母线长为2，则此圆锥的体积为
C、若两个球的半径之比为，则这两个球的体积之比为
D、棱台的上下两个地面面积分别为，高为，则体积为
4、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体外接球的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是（ ）
A、12 B、
C、 D、14
6、如图所示，已知中，。若在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上，半圆分别与相切于点，与交于点)，则图中阴影部分绕直线旋转一周所得的旋转体的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
7、中，，若绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积为________。
10、底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________。
11、圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积_________。
12、直三棱柱的体积是，分别在、上，且，则四棱锥的体积是_______。
三、解答题（本小题共1小题，15分）
13、如图，在三棱锥中，， 且，，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求侧面与底面所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积。
§6 简单几何体的再认识（答案与解析）
一、选择题（本小题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：在圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等的情况下，体积之比为，故选D。
2、圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为 （ ）
A、 B、 C、 D、
解析：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以圆锥的母线长，则圆锥的表面积为，选C。
3、下列说法中正确的是（ ）
A、若一个球的直径为2，则此球的表面积为
B、若一个圆锥的底面积为，母线长为2，则此圆锥的体积为
C、若两个球的半径之比为，则这两个球的体积之比为
D、棱台的上下两个地面面积分别为，高为，则体积为
解析：对于A，，A正确；对于B，圆锥的底面积为，则底面半径为，所以此圆锥的高为，体积为，B正确；对于C，设两个球的半径为，则，所以，C错误；对于D，=，正确；所以选ABD。
4、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体外接球的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：设长方体共一顶点的三边长分别为，则体对角线长度为，所以外接球半径，则面积为，选A。
5、底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是（ ）
A、12 B、
C、 D、14
解析：由题意可知几何体是三棱柱如图所示：
可得三棱柱的表面积为：
，选B。
6、如图所示，已知中，。若在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上，半圆分别与相切于点，与交于点)，则图中阴影部分绕直线旋转一周所得的旋转体的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
解析：设半圆的半径，则，所以，故旋转体的体积=，故选C。
7、中，，若绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（ ）
A、 B、
C、 D、
解析：绕直线旋转一周，形成的几何体为一个大圆锥去掉一个小圆锥如图所示：
因为，
所以，
所以形成的几何体的表面积为：
=，选B。
8、一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：设圆柱的底面半径为，高为，则由题设知.
∴，
∴。答案为A。
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积为________。
解析：由题意可知：圆锥的母线长为2，底面半径设为，则，所以则圆锥的高为，则体积为。
10、底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________。
解析：设底面边长为是，底面的两条对角线分别为，而，而，所以。
11、圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积_________。
解析：设原圆锥的高为,半径为，体积为，则；变化后圆锥的体积为。圆锥的体积缩小为原来的。
12、直三棱柱的体积是，分别在、上，且，则四棱锥的体积是_______。
解析：如图，过点作交于，
连接，则，
因为，
所以：，
所以。
(
图
)三、解答题（本小题共1小题，15分）
13、如图，在三棱锥中，， 且，，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求侧面与底面所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积。
解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC。由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。
（Ⅱ）∵BC⊥AC，SC⊥BC。∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。
在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。
（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，
∵SA=，S△ABC=·AC·BC=×5×5=，
∴VS－ABC=·S△ACB·SA=。