2022届高考数学终极猜题卷
新高考 参考答案
一、单项选择题
1.答案：B
解析：因为，所以，所以，
则在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选B.
2.答案：D
解析：由题意可得，若，则或，解得或，故选D.
3.答案：B
解析：当时，若，，不能推出，不满足充分性，
当时，则，有，满足必要性，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
4.答案：C
解析：可化为，
令，，直线l恒过定点，当时，最小，
此时.故选C.
5.答案：A
解析：由，得，
两边平方得，，即，
.故选A.
6.答案：B
解析：“礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有（种）排法，其中“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类：“数”排在第一节时，排法有（种）；“数”排在第二节时，排法有（种），故“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的排法共有（种），所以其概率.故选B.
7.答案：D
解析：法一 如图，连接，交于点O，取的中点D，连接，则，连接，则，所以为异面直线与所成的角或其补角.
设，由，且可知，，，所以，，
所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选D.
法二 将三棱柱补形成一个四棱柱，如图所示，连接，，易知，
所以异面直线与所成的角为或其补角，设，由，
且可知，，，
所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选D.
8.答案：B
解析：由题可知的定义域满足，解得，
又，故为奇函数，
又，且在上为减函数，故为减函数，又，即，所以，
解得.故选B.
二、多项选择题
9.答案：ABD
解析：设被污染的数为a，则平均数，解得，将这10个数据按从小到大的顺序排列为6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，则众数为8，中位数为，极差为，去掉其中的一个最高成绩10和一个最低成绩6后，众数为8，中位数为8，平均数为8，极差为，故A，B，D正确，C不正确.故选ABD.
10.答案：ABC
解析：对于A，，故A正确；对于B，，
故B正确；对于C，易知，所以，即，所以，故C正确；对于D，
，故D不正确.故选ABC.
11.答案：BC
解析：如图，连接EF，由题意得，所以A，B，E，F四点共面，所以AF，BE
不是异面直线，故A错误；取DA的中点N，连接FN，MN，得，，
所以，，则四边形EFNM是平行四边形，所以，因为平面AFD，所以平面ADF，故B正确；取AB的中点Q，连接CQ，FQ，由
可得四边形EFQB为平行四边形，所以，又，所以，
设，则，，，所以，
解得，故C正确；由，，可知为正三角形，
，连接，易知平面，故即直线与平面
所成的角，，故D错误.故选BC.
12.答案：ABC
解析：如图，设，则，所以，，，所以，所以，故A正确；因为，，所以在中，，在中，，即，所以，所以，故B正确；
由得，则，所以渐近线方程为，故C正确；
若原点O在以为圆心，为半径的圆上，则，即，则，与B矛盾，不成立，故D错误.故选ABC.
三、填空题
13.答案：3
解析：令，得，，解得，，由，可得k可取0，1，2，在上有3个零点.
14.答案：
解析：由题可得，，设，其中，，由抛物线定义知，又，，则，解得或（舍去），所以点P的坐标为.
15.答案：
解析：由题意得①，当时，，可得，解得或（舍去），当时，②，
①-②得，，即，
因为，所以，即，又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以.
16.答案：e
解析：由题可得，若，则当时，，单调递增，此时不存在极值，不符合题意，所以，易知在上单调递增，且当时，，当时，，所以存在唯一的，使得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值，因为，所以，即，设，则，所以在上单调递减，又，所以，从而.
四、解答题
17.解析：（1）在中，因为，，
所以，
所以由正弦定理得，…………………………………………………2分
又，所以，即有，
因此得.
又，所以，
所以，所以，.………………………………………………………5分
（2）在中，，，.
由余弦定理，得，
解得或（舍去），即.………………………………………………………7分
因为D是BC的中点，所以，
于是得，
则，即AD的长为.………………………………………………………10分
18.解析：（1）由，得，即，
所以等差数列的公差，
则数列的通项公式为.………………………2分
设等比数列的公比为，所以，
由，得，即，………………………………………………………4分
所以等比数列的公比，
所以数列的通项公式为.………………………………………………………6分
（2），………………………………………………………7分
则，①
，②…………………………………………………………9分
①-②得
，
故.………………………………………………………………………………12分
19.解析：（1）根据2×2列联表中的数据，
可得，………………………………………3分
因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.………………4分
（2）记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件A，
则，所以.……………………………………………………5分
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，……………………………………………………………………9分
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望.………………………………………………………………12分
20.解析：（1）因为，O为AC的中点，
所以，且.
连接OB，因为，
所以为等腰直角三角形，且，.…………………………2分
由知.
因为，，，
所以平面ABC.…………………………………………………………………………4分
（2）如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系.
由题意得，，，，，
，易得平面PAC的一个法向量为.
设，则.…………………………………………6分
设平面PAM的法向量为.
由，得，
可取，
所以，…………………………………………………8分
由已知可得，
所以，
解得（舍去）或，
所以.…………………………………………………………………10分
又，设PC与平面PAM所成角为，
所以.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为. ……………………………………………12分
21.解析：（1）由题意得，解得，……………………………………3分
所以椭圆C的方程为.……………………………………………………………4分
（2）由（1）知，，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
联立，得，不妨设，，
则直线AP的方程为，…………………………………………………5分
令，得，则，
此时，同理，
所以；…………………………………………………………………7分
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
联立，得，
设，，则，，
直线AP的方程为，令，得，
则，同理，………………………………………………………9分
所以，同理，
所以
.
综上所述，为定值.…………………………………………………………………12分
22.解析：（1）由题可得，
所以.…………………………………………………………………2分
又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
…………………………………………………………………………………………………4分
（2）对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
当时，，所以.………………………………………6分
下面证明当时，对任意的，恒成立，
即恒成立，
只需证对任意的，恒成立. …………………8分
令，
则，………………………………………10分
则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以实数a的取值范围为.………………………………………………………12分辽宁省2022届高考数学终极猜题卷
新高考
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合，，若，则a的取值范围是( )
A. B.或
C.或 D.或
3.设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
4.若直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱柱中，且，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.中华人民共和国第十四届全国运动会于2021年9月15日在陕西西安开幕.某射击运动员为了在全运会上取得优异成绩，积极训练备战，在某次训练中，该运动员连续射击10次的成绩（单位：环）依次为7，8，8，，6，10，7，9，8，9，因记录员工作失误，有一个数被污染了，但记录员记得这组数据的平均数为8.在去掉其中的一个最高成绩和一个最低成绩后，以下结论正确的是( )
A.众数不变 B.中位数不变 C.极差不变 D.平均数不变
10.如图，在梯形ABDC中，，，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.在正三棱柱中，D，E，F分别为，，的中点，，M为BD的中点，则下列说法正确的是( )
A.AF，BE为异面直线
B.平面ADF
C.若，则
D.若，则直线与平面所成的角为45°
12.已知双曲线C的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则下列说法正确的是( )
A.
B.双曲线的离心率
C.双曲线的渐近线方程为
D.原点O在以为圆心，为半径的圆上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在的零点个数为____________.
14.抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P（在第一象限内）作l的垂线PQ，垂足为Q，若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为______________.
15.已知正项数列的前n项和满足，则数列的通项公式为_______________.
16.已知函数的极小值为a，则a的值为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且.
（1）求A；
（2）若D是BC的中点，求AD的长.
18.（12分）已知在等差数列中，，，是各项都为正数的等比数列，，.求：
（1）数列，的通项公式；
（2）数列的前n项和.
19.（12分）2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：
长穗 短穗 总计
高杆 34 16 50
低杆 10 40 50
总计 44 56 100
（1）根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？
(参考公式：，其中)
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（2）在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).
20.（12分）如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.
（1）证明：平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
21.（12分）已知椭圆的离心率为，，，，的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ，分别交直线于M，N两点，若直线MF，NF的斜率分别为，，试问：是不是定值 若是，求出该值，若不是，请说明理由.
22.（12分）已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
