2023年高考一轮复习第七节　解三角形的实际应用 教案（含答案）

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第七节　解三角形的实际应用
教学目标：
实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等．
(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
1.(人教A版必修第二册P49·例9改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　 )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．50 m
解析：选D　由三角形内角和定理可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，
由正弦定理得：＝ ＝ AB＝50 m，故选D.
2.(人教A版必修第二册P50·例10改编)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝(　 )
A．30 m B．20 m
C．30 m D．20 m
解析：选D　在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，由正弦定理＝可得＝，可得CB＝20×＝20 m，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝BC＝20 m.
3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.
解析：如图，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4x·cos 120°，∵x>0，∴x＝－1.
答案：－1
4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.
解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，所以AD＝＝，因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°＝10(3－)．
答案：10(3－)
重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　测量距离问题　
[典例]　如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从点D测得∠ADC＝67.5°，从点C测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝，则A，B两点间的距离为________．
[解析]　根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2.在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，可得BC＝＝＝.在△ABC中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝12＋3－2×2××＝9，故AB＝3.
[答案]　3
[方法技巧]
求解距离问题的2个注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　
[针对训练]
海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．
解析：如图，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°.
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)，
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
∴∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，可得BC＝＝＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB
＝1 600(8＋4)＋1 600(8－4)＋2×1 600(＋)×(－)×＝1 600×20，解得AB＝80，
∴A，B两点的距离为80.
答案：80
重难点(二)　测量高度问题　
[典例]　(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　 )
A．346 B．373 C．446 D．473
[解析]　如图，分别过C，B两点作CE∥C′B′，BF∥A′B′，分别交BB′，AA′于E，F两点．易知BE＝100，BF⊥AA′，且∠ABF＝45°，所以AF＝BF＝A′B′，要求AA′与CC′的高度差，即求AF＋BE，即求BE＋A′B′.在△BCE中，＝＝tan∠BCE＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，解得CE＝100(2＋)，即B′C′＝100(2＋)．在△A′B′C′中，∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°，所以∠C′A′B′＝75°.由正弦定理，得＝，所以A′B′＝·B′C′＝·B′C′＝100(＋1)≈273，所以AA′－CC′＝BE＋A′B′≈100＋273＝373.故选B.
[答案]　B
求解高度问题的3个注意事项
(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　
[针对训练]
南山中学红豆园内的红豆树已有百年历史．百年红豆树，十年树一花．时光流转，红豆花开，读书爱国的气息随着花开风起．如图，小明为了测量红豆树高度，在正西方向选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在西偏北30°的方向上，步行40 m到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为(　 )
A．10 m B．20 m
C. m D. m
解析：选D　设红豆树的高为h(m)，则BC＝h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝40.
根据正弦定理得＝，解得h＝(m)．
重难点(三)　测量角度问题　
[典例]　一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12 海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12 海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的(　 )
A．正西方向 B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向
[解析]　如图，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得＝，AD＝＝24.
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或120°.因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°.
[答案]　C
[方法技巧]
求解角度问题的3个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．　　
[针对训练]
为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻．某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行了40 海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为(　 )
A．北偏东80°，20(＋)
B．北偏东65°，20(＋2)
C．北偏东65°，20(＋)
D．北偏东80°，20(＋2)
解析：选C　据题意知，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40海里，BC＝40 海里，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝402＋(40)2－2×40×40×＝3 200＋1 600，所以AC＝＝20(＋)海里，又＝，所以sin∠CAB＝，又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝45°，所以航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(＋)海里．
数学建模能力欠缺导致解决实际应用问题受阻
对于应用正弦定理、余弦定理解决实际应用问题，学生的痛点是不能根据题目条件建立恰当的数学模型，继而应用三角函数知识进行求解．
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[典例]　某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设∠COB＝θ.
(1)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若∠COD＝，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大？
(2)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当θ为何值时，栈道的总长l最长？并求l的最大值(单位：百米)．
[解]　(1)∵线段AB长为4百米，∴圆的半径为2百米，即OA＝OB＝OC＝OD＝2，
当∠COD＝时，由三角形的面积公式得：
SABCD＝S△BOC＋S△COD＋S△DOA＝×22sin θ＋×22sin＋×22sin＝2sin＋，
∵0＜θ＜π，∴＜θ＋＜π，
∴sin≤1，当θ＋＝，即θ＝时取等号，∴当θ＝时，2sin＋取得最大值，即郁金香种植面积最大．
(2)由余弦定理得：
BC＝＝4sin，
DA＝＝4cos θ，
∴l＝8sin＋4cos θ，令t＝sin，
∵0＜＜，∴0＜t＜，
∴l＝8sin＋4
＝8t＋4(1－2t2)＝－82＋6，
∴t＝，即θ＝时，l的最大值为6.故当θ＝时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米．
(1)观察图形，选择θ作自变量，利用三角形的面积公式可得四边形ABCD面积关于θ的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式，然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值．
(2)利用余弦定理求得BC，DA关于θ的三角函数，进而求出l关于θ的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解．　　
[针对训练]
某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA＝90米，∠AOB＝，设∠POB＝θ.
(1)当θ＝时，求停车场的面积(精确到0.1平方米)；
(2)写出停车场面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，停车场面积S取得最大值．
解：(1)在△OPN中，∠ONP＝，
∠PON＝∠OPN＝，
由正弦定理得＝，
即＝，即ON＝30，
则停车场面积S＝2S△OPN＝OP·ON·sin θ＝90×30×sin＝1 350≈2 338.3(平方米)，
即停车场面积约为2 338.3平方米．
(2)在△OPN中，∠ONP＝，∠OPN＝－θ.
由正弦定理得＝，即＝，即ON＝60sin.
则停车场面积S＝2S△OPN＝OP·ON·sin θ＝5 400sin θsin，其中0＜θ＜.
化简整理得S＝2 700sin－1 350.
因为0＜θ＜，所以＜2θ＋＜，
则当2θ＋＝，即θ＝时，停车场面积S取得最大值．
细微点——优化完善(扫盲点)
1．(创新解题思维·数形结合)空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A，B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是(　 )
A. 米 B.米
C．266米 D．266 米
解析：选B　如图，设D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影，
设CD＝x米，∵∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，则AD＝x米，BD＝x米，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即2662＝x2＋(x)2－2x(x)·cos 150°，解得x＝，
故测量时气球到地面的距离是米．
2.(体现数学应用)为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2 km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为(　 )
A. km B．2 km C．4 km D．4 km
解析：选B　在△ABC中，＝，即＝，得BC＝4sin 105°＝4sin 75°，在△ABD中，∠DAB＝∠DBA＝60°，△ABD是等边三角形，BD＝AB＝2，在△BCD中，∠DBC＝15°，所以CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠DBC＝16sin275°＋4－2×4sin 75°×2×cos 15°＝16sin275°＋4－2×4sin 75°×2sin 75°＝4，CD＝2 km.
3．(浸润家国情怀)故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为(　 )
A．3 B．4
C．6(－1) D．3(＋1)
解析：选C　如图，根据题意得∠ACB＝15°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，CD＝24，
所以∠CAD＝45°，所以在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝12，
所以在Rt△ACB中，sin∠ACB＝，即sin 15°＝，
解得AB＝12sin 15°＝12sin(60°－45°)＝12×＝12×＝6－6.
4.(链接生产生活)截至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB，已知基站AB高40 m，该同学在公路D，E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30°，45°，且∠DCE＝150°.该同学沿着公路的边缘从D处走至E处一共走了700 m，则山高BC为________m．(该同学的身高忽略不计)
解析：如图，设BC＝x，则AC＝40＋x，又由已知得△ACD，△ACE为直角三角形，且∠ADC＝30°，∠AEC＝45°，所以＝＝tan 30°＝，＝＝tan 45°＝1，
解得CD＝(x＋40)，CE＝x＋40，在△CDE中，∠DCE＝150°，DE＝700，
由余弦定理得DE2＝CD2＋CE2－2CD·CE·cos∠DCE，即(x＋40)2＋3(x＋40)2－2(x＋40)·(x＋40)cos 150°＝7002，解得x＝100－40.
答案：100－40
[课时验收评价]
1．某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以30(－1)海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离(单位：海里)可以达到(　 )
A．6 B．8 C．10 D．12
解析：选C　如图所示，由题意得：AD⊥CD，∠A＝30°，∠DBC＝45°，则AB＝×30(－1)＝10(－1)，∠ABC＝135°，在△ABC中，由正弦定理得：＝，
所以BC＝＝＝＝10，
所以CD＝BCsin 45°＝10×＝10，故选C.
2.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝30°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝(　 )
A．120 m B．150 m C．50 m D．160 m
解析：选C　在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以AC＝100 m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得＝，因此AM＝100 m．在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝30°，由＝sin 30°得MN＝50 m，
所以山高MN＝50 m．故选C.
3.(2022·江苏七市第二次调研)(多选)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(　 )
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
解析：选ACD　对于A，已知∠BCD，∠BDC，CD，即可解△BCD，可得BC，再由AB＝BC·tan∠ACB，可求得塔高，即A符合题意；对于B，由∠ACB，∠BCD，∠ACD与CD无法求得塔高，即B不符合题意；对于C，已知∠ACD，∠ADC，CD，即可解△ACD，可得AC，由AB＝AC·sin∠ACB，可求得塔高，即C符合题意；对于D，若确定∠ACB，∠BCD，则∠ACD确定，又由C可知，可求得塔高，即D符合题意．
4.如图，在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A,2AD＝3BD，则cos A等于(　 )
A. B. C. D．0
解析：选C　因为CD为角C的平分线，所以＝，因为2AD＝3BD，所以＝，所以不妨设AC＝3x，BC＝2x，因为在△ABC中，＝，B＝2A，
所以＝ ＝，因为在△ABC中，sin A≠0，x≠0，
所以＝ ＝2，所以cos A＝.
5.(2022·云南师大附中高三期中)某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形ABCD，AB＝2，BC＝4(单位：百米)，CD＝AD，∠ADC＝60°，且拟在A，C两点间修建一条笔直的小路(路的宽度忽略不计)，则当草坪ABCD的面积最大时，AC＝(　 )
A．2 百米 B．2 百米
C．2 百米 D．2 百米
解析：选C　设∠ABC＝θ，0＜θ＜π，在△ABC中，
AC2＝42＋(2)2－2×4×2cos θ＝28－16cos θ，由CD＝AD，∠ADC＝60°，
所以△ADC为等边三角形，
所以SABCD＝S△ABC＋S△DAC＝×4×2sin θ＋AC2＝4sin θ＋(28－16cos θ)＝7＋8sin，当θ＝时，草坪ABCD的面积最大，此时AC＝＝2.
6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km，5 km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与B的距离为________km.
解析：由题意作出示意图如图．
由题意可得∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理可知：AB2＝9＋25＋15＝49，所以AB＝7.
答案：7
7.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝40米，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB为________米．
解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝45°，所以由正弦定理得＝，
即BC＝＝＝20，
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，所以AB＝
BCtan∠ACB＝20×＝20.
答案：20
8.如图，某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40 m，BC＝CD＝20 m，则该四边形ABCD的面积等于________m2.
解析：在△BCD中，BC＝CD＝20 m，∠BCD＝120°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
BD＝＝20 m，
∴S△BCD＝×20×20×sin 120°＝100 m2.
在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝40 m，BD＝20 m，
∴S△ABD＝AB·BD＝400 m2，∴四边形ABCD的面积是500 m2.
答案：500
9.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100 m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tan θ＝2，若甲、乙山高分别为100 m，200 m，则两山山顶A，B之间的距离为______ m.
解析：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100，
如图，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，所以△PQM为等边三角形，
所以QM＝100，在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.
在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，得BQ＝100，
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，所以BA＝100.
答案：100
10.如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”．设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______ m2.
解析：在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos∠AOB，即AB＝100，
∴SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝·OA·OB·sin θ＋·AB2，∴SOACB＝1002，
令tan φ＝2，则SOACB＝1002，
∴“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10 000＋25 000)m2.
答案：10 000＋25 000
11.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA.规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．
(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
解：(1)过点A作AE⊥BD，垂足为E.
由己知条件得：四边形ACDE为矩形，
∴DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8，
∵PB⊥AB，∴cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝，
∴PB＝＝＝15，∴道路PB的长为15(百米)．
(2)不能，理由如下：
①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，∴P选在D处不满足规划要求．
②若Q在D处，连接AD，
由(1)知：
AD＝＝10，
∴cos∠BAD＝＝＞0，
∴∠BAD为锐角，∴线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径，
∴Q选在D处也不满足规划要求．
综上所述，P和Q均不能选在D处．