华师大版数学八年级上册同步课件：12.5 第1课时 分解因式和提取公因式法(共22张PPT)

(共22张PPT)
12.5 第1课时 因式分解和提公因式法
第12章 整式的乘除
情景导入
(1)993-99能被99整除吗 为了回答这个问题,你该怎样做 把你的想法与同学交流.
因为993-99=99×992-99×1=99(992-1),
所以993-99能被99整除.
(2)993-99能被100整除吗 为了回答这个问题,你该怎样做 把你的想法与同学交流.
小明是这样做的:
993-99=99×992-99×1
=99(992-1)
=99×9800
=99×98×100,
所以993-99能被100整除.
运用前面所学的知识填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
知识回顾
观察上面三个等式，填空：
ma + mb + mc =( )( );
a2 - b2 =( )( );
a2 + 2ab + b2 =( )2.
m
a+b+c
a+b
a-b
a+b
回忆：
“回忆”和“试一试”得到的这两组等式，有什么联系和区别？
获取新知
m
a
m
b
m
a
m
a
b
a
a+b+c
x
x
x
1
x
1
1
1
x+1
x+1
观察下面的拼图过程,写出相应的关系式.
ma+mb+mc=m(a+b+c).
x2+2x+1=(x+1)2.
1.
2.
2.要点：研究的对象是多项式，结果是整式的积的形式．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做多项式的分解因式．
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
1.因式分解的定义：
3. 整式乘法与因式分解是互逆的关系
1.因式分解的对象是多项 式，结果是整式的积 .
2. 因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变 .
3.因式分解必须分解到每个 多项式的因式不能再分解为止 .
观察下面这个等式中左右两边的m
ma + mb + mc =( m )( a+b+c );
m是等式左边多项式的每一项共有的因式，m是等式右边积的一个因式。
上面这个等式中由左到右边的变形叫什么呢？你能总结出来变形的方法吗？
因式分解，把公因式提出来
相同因式p
pa+pb+pc
公因式的定义：
多项式中各项都含有的相同因式
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝a　　 　　　 B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
分析：A中 不是整式；
B中属于整式乘法；
C的结果不是乘积的形式（最后要是乘法运算）
例题讲解
1.“多项式”说明等式的左 边是多项式，即分解 的对象是多项式.
2.“整式的积”说明右边 的结果是整式的积. 一句话：因式分解是整式的和差化积的变化过程.
识别因式分解的两个关 键词：
例2 指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y；
解：(1)3，6的最大公约数是3；有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y.
(2)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(3)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
(2)观察发现三项都含有x－y，
且x－y的最低次数是2，
所以公因式是(x－y)2.
(3)提取“－”变为
－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低
次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.
(3)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
(2)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
找准公因式要“五看”，即：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，
不要拆开；
五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般情况下公因式符号
为负．
例3 把下列多项式分解因式:
(1)-5a2 +25a；(2)3a2 -9ab.
解： (1) -5a2+25a
=-5a(a - 5).
(2)3a2 -9ab
=3a(a-3b).
(3)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3.
(3)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3
＝5x(x－2y)3＋20y(x－2y)3
＝5(x－2y)3(x＋4y)．
提公因式法分解因式，要注意分解彻底；当某项恰好是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；出现形如(b－a)3，(b－a)2等形式的问题，可化成－(a－b)3，(a－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变．
1.下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　)
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B
随堂演练
2.多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是(　　)
A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
B
3.将3a(x － y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提取的公因 式是(　　)
A．3a－b B．3（x－y）
C．x－y D． 3a+b
C
4.把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn；
(2)12xyz-9x2y2；
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )；
(4) -x3y3-x2y2-xy.
2mn(4m+1)；
3xy(4z-3xy)；
(a2+b2)(p-q)；
-xy(x2y2+xy+1).
5.把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，
则m＝___，n＝___.
6
1
因式
分解
定义
多项式=》整式的乘积
注意
分解因式是多项式的一种恒等变形；
(1)结果必须是因式的积的形式；
(2)每个因式是整式且不能再分解．
课堂小结
提公因式法
定义
多项式中的每一项都含有的因式
方法
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式