华师大版数学八年级上册同步课件：13.3 第1课时 等腰三角形的性质(共21张PPT)

(共21张PPT)
13.3 第1课时 等腰三角形的性质
第13章 全等三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
知识回顾
问题：什么样的三角形是等腰三角形？它的三条边、三个内角的名称是什么？
等腰三角形的周长为50 cm，一条边长是12 cm，求另两条边长．
分析：不确定已知是腰还是底边事需要分类讨论并检验。
当腰长为12 cm时，设底边长为xcm，
由题意得：
x＋2×12＝50，
∴x＝26.
当底边长为12 cm时，设腰长为ycm，
由题意得：
2y＋12＝50，
你能画出这两种结果的三角形吗？
∴y＝19.
当腰长为12 cm时，
∵12＋12＝24＜26，∴不满足三角形任意两边之和大于第三边．
这样的三角形不存在，画不出来。
当底边长为12 cm时，三角形三条边长分别为12 cm，19 cm，19 cm，
满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴这个等腰三角形另两条边长分别为19 cm，19 cm.
解决这个问题的关键是等腰三角形的腰相等，
那么两个底角也相等吗？
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？
获取新知
B
A
性质1：等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形的性质
作用：
证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．
应用格式：在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
性质2：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．
你能用推理的方式说明等腰三角形的两底角相等吗？
已知: 如图 ,在 △ABC中，AB＝AC.
求证： ∠B＝∠C.
证明：画∠ABC的平分线AD.
在 △ABD和 △ACD中，
∵ AB＝AC (已知），
∠1 =∠2(角平分线的定义），
AD =AD (公共边），
∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.).
∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）
A
B
C
D
(
(
1
2
等腰三角形的两底角相等的定理证明：
提示：要证明∠B＝∠C ,可设法构造两个全等三角 ，使∠B、∠C分别是这两个全等三角形的对应角，于是想到画∠BAC的平分线AD.
还有其他的方法吗？试试底边上的中线或高吧。
；
；
顶角的平分线也是底边上的中线
顶角的平分线还是底边上的高
从前面等腰三角形的两底角相等的定理证明中，你还可以发现什么结论？请写 出你的发现：
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
性质3：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合 (简称“三线合一”)．
作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法，应用广泛．
应用格式：如图，在△ABC中，
①∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)；
②∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；
③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝DC(或AD⊥BC)．
根据等腰三角形性质完成下列填空.
在△ABC中， AB=AC时，
（1）∵AD是底边上的高，
∴∠___ = ∠___，____= ____.
(2) ∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠___=∠__.
(3) ∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
1
2
2
BD
CD
AD
BC
BD
1
BC
AD
CD
A
B
C
D
(
(
1
2
等边三角形的概念及性质
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝∠C，
同理可得 ： ∠A＝∠B
所以 ∠A＝∠B＝∠C，
又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
C
B
三条对称轴
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等。
A
C
B
也称为正三角形.
也就是说：
等边三角形也是轴对称图形，它有三条对称轴
例1 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．
求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知），
∴ ∠C＝∠B＝80°（等边对等角）.
又∵ ∠A + ∠B + ∠C＝180°(三角形的内角和等于 180 ° ），
∴ ∠A ＝ 180 °－∠B－∠C (等式的性质）
＝ 180°－80° －80° ＝20°.
(1)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(2)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
例题讲解
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC 边上的中点，∠B =30°．
求 ：（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小.
解：（1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
∴AD ⊥BC (等腰三角形的“三线合一”）
∠ADC＝∠ADB ＝ 90°.
A
D
1
2
B
（2）∵ ∠1+ ∠B + ∠ADB＝ 180°(三角形的内角和等于 180 ° ），
∠B = 30 ° （已知），
∴ ∠1 = 180 °－∠B－∠ADB (等式的性质）
= 180°－ 30°－90° =60°.
是经常会用到的重要性质.
例3 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．
求证：AE＝CD.
∴△ABE≌△CBD.
∴AE＝CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.
在△ABE与△CBD中，
AB＝CB，
∵ ∠ABE＝∠CBD，
BE＝BD，
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是(　　)
A．70° B．55°
C．50° D．40°
D
随堂演练
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是(　　)
A．AD⊥BC
B．∠EBC＝∠ECB
C．∠ABE＝∠ACE
D．AE＝BE
D
3. 如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是(　 )
A．180° B．220° C．240° D．300°
C
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 .
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
5. 如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,AD是BC边上的中线.
求证:BE=BD.
证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°.
∵AB=AC,AD为BC边上的中线,
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BAD=30°.
在△ABE和△ABD中,
AE=AD,
∵ ∠BAE=∠BAD,
AB=AB,
∴△ABE≌△ABD(S.A.S.),
∴BE=BD.
等腰三角形的性质
等边对等角
等边三角形
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.
三线合一
有三条对称轴，每个内角等于60°.
课堂小结