华师大版数学八年级上册同步课件：13.3 第2课时 等腰三角形的判定(共21张PPT)

(共21张PPT)
13.3 第2课时 等腰三角形的判定
第13章 全等三角形
知识回顾
什么样的三角形叫做等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
两底角相等
怎样去判定一个三角形是不是等腰三角形 除用两边相等判定等腰三角形外,是否还有其他方法
等腰三角形的两底角有何关系
等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一 个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
分析：要证明AB＝AC ,可设法构造两个全等三角 ，
使 AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于
是想到画∠BAC的平分线AD.
已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．
求证：AB=AC．
C
A
B
2
1
D
（
（
等腰三角形的判定
获取新知
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，（角平分线的定义）
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C（已知），
AD=AD（公共边），
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)，
∴ △ ABC是等腰三角形.
画∠BAC的平分线交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
还可以添加什么辅助线证明这一结论？
等腰三角形的判定方法：
∴ AC=AB ( ).
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C ( ),
已知
等角对等边
在△ABC中，
应用格式：
B
C
A
(
(
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
等边
等角
判定
性质
等边三角形的判定
由以上探究，可得等边三角形的两个判定定理：
判定定理1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
判定定理2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
等腰三角形成为等边三角形的条件是什么？.
如果等腰三角形的顶角是60°,那么这个三角形是等边三角形；.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
你能证明这些定理吗？
A
B
C
三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠B,
∴ AC=BC.
∵ ∠B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
判定1：
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
已知： 若AB=AC, ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠B=∠C.
∴AB=AC=BC.
若AB=AC , ∠B=60°，求证AB=AC=BC.
A
B
C
例1 如图, 在△ABC中， 已知∠A＝ 40° ，∠B ＝ 70°.
求证： AB＝AC .
例题讲解
证明：∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和等于 180 ° ），
∠A＝ 40° ，∠B ＝ 70°（已知），
∴ ∠C ＝ 180 ° － ∠A － ∠B (等式的性质）
＝ 180°－40°－70° ＝ 70°.
∴ ∠C＝ ∠B （等量代换），
∴AB＝AC（等角对等边）.
40°
70°
）
）
C
B
A
例2 如图，AB∥CD, ∠1=∠2，
求证：AB=AC.
证明：∵ AB∥CD （已知）,
∴ ∠B= ∠2 （两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1=∠2,
∴ ∠B= ∠1（等量代换）.
∴ AB=AC（等角对等边）.
1
2
A
B
C
D
(
(
例3 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠ACB=∠A'C'B'=90°,
AB= A'B',AC= A'C',
求证： Rt△ABC≌Rt △A'B'C'.
A
C
B
B'
A'
C'
B
（A）
（C）
证明：由于直角边AC = A'C'，我们移动Rt △ABC ，使点A与点A'、点C与点C'重合，且使点B与点B'分别 位于A'C'的两侧.
∵∠ACB'= ∠A'C'B' =90°（已知），
∴∠ B'C'B = ∠ A'C'B' + ∠ A'C'B' = 180°,
即点B'、C'、B在同一条直线上
在△ A'B'B中，∵ A'B' =AB = A'B (已知),
∴∠B= ∠B'(等边对等角).
在 △ ABC和 △ A'B'C'中，
∵ ∠B= ∠B'(已证)，∠ACB= ∠ A'C'B' (已知)，AC = A'C'(已知)，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ A'B'C' (A. A. S.).
A
C
B
B'
A'
C'
B
（A）
（C）
例4 （补充例题）AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC.
(1)∠C＝________，∠B＝________；
(2)求证：△ADE是等边三角形．
分析：(1)由AB＝AC，∠BAC＝120°，可求出∠B，∠C 的度数为30°.
(2)三个角都是60°的三角形是等边三角形．
解：(1)30°；30°.
(2)∵AD⊥AB，AE⊥AC(已知)，
∴∠BAD＝∠EAC＝90°(垂直的定义)．
∴∠B＝∠C＝30°(已知)，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°(直角三角形的两个锐角互余)．
∴∠ADB＝∠AEC＝∠EAD＝60°.
∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．
证明一个三角形是等边三角形，要根据已知条件选择适当的方法．
(1)如果已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定．
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定．
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
1. 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
B
随堂演练
2. 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
D
3. 如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.
36°
72°
△ABC
△DBA
△BCD
A
B
C
D
(
(
1
2
4. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为___cm.
9
5. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点
P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC于点D，E.
求证：DE＝BD＋AE.
证明：∵DE∥AB，
∴∠ABP＝∠DPB, ∠BAP＝∠EPA.
∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，
∴∠ABP＝∠DBP, ∠BAP＝∠EAP，
∴∠DBP＝∠DPB, ∠EAP＝∠EPA，
∴DP＝DB，EP＝EA，
∴DP＋EP＝DB＋EA，即DE＝BD＋AE.
需证BD＝DP，AE＝PE，
转化为等腰三角形的判定问题
(1)本题运用平行线性质以及角平分线的定义，证明角之间的相等关系，进而运用等腰三角形的判定得出线段之间的长度关系，这是证几何题中常用的方法．
(2)如图中角的一边与角的平分线及角另一边的平行线所构成的三角形是等腰三角形，这是一个基本的图形，在以后学习平行四边形中会经常遇到．
等腰三角形
等腰三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
课堂小结
等边三角形的判定：
等角对等边.