华师大版数学八年级上册同步课件：13.4 第2课时 作垂线和垂直平分线(共20张PPT)

(共20张PPT)
13.4 第2课时作垂线和垂直平分线
第13章 全等三角形
1.回顾已经学过的基本作图有哪几种？
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一个角等于已知角；
（3）作已知角的平分线.
2.点与直线的位置关系有几种情况？
（1）点在直线上；（2）点在直线外.
知识回顾
经过一点作已知直线的垂线
获取新知
如何经过一已知点作已知直线的垂线呢？
可分为两种情况来讨论：
经过已知直线上一点作已知直线的垂线.
经过已知直线外一点作已知直线的垂线.
经过一已知点作已知直线的垂线有可以分为几种情况？
经过已知直线上一点作已知直线的垂线
求作的垂线 .
A
B
C
已知直线AB和AB上一点C，用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线。
分析：如图，由于点C在直线AB上，因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.
平角ACB的平分线所在的直线
转化
作法：
第一步：作平角ACB的平分线CF；
第二步：反向延长射线CF.
直线CF就是所要求作的垂线．
D
C
A
B
经过已知直线外一点作已知直线的垂线
A
B
C
D
E
已知直线AB和AB外一点C，用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
分析：如图,若以点C为圆心,作能与直线AB相交于D E两点的弧，则CDE为等腰三角形，由“等腰三角形项角的平分线就是底边上的高”可知,只需作出∠DCE的平分线,则该平分线所在的直线就是要求作的垂线
作法：
第一步：以点C为圆心，作能与AB相交于D、E两点的弧；
第二步：作∠ DCE的平分线CF；
第三步：反向延长射线CF，则直线CF 就是所要求作的垂线．
A
B
C
D
E
思考：你能说出其中的道理吗？
F
作已知线段的垂直平分线
如图，已知直线l是线段AB的垂直平分线， 则直线l是线段AB的对称轴，对l上的任意两点C、D，通过对折可以发现，总有CA = CB，DA = DB.
C
A
D
B
l
.
.
由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？
如图，已知线段AB，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段AB的垂直平分线.
步骤：
第一步：分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D；
第二步：作直线CD.
C
A
B
D
直线CD就是所要求作的线段AB的垂直平分线．
提示：作已知线段的垂直平分线的理论依据：三角形全等的判定方法——“S.S.S.”及等腰三角形的“三线合一”．
证明：如图，连结CA、CB、DA、DB.
∵AC=BC，ＡD=BD，CD=CD，∴△ACD≌△BCD(S.S.S.).
∴∠ACD=∠BCD（全等三角形的对应角相等）.
∴CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”).
C
A
B
D
为什么CD是线段AB的垂直平分线呢？你能给出证明吗？
通过上面的作图，你还能发现什么？你会作任意一个三角形的三条中线吗？
通过作图，知道直线ＣＤ与线段ＡＢ的交点就是ＡＢ的中点，因此我们可以用这种方法作出线段ＡＢ的中点，从而可以作出任意一个三角形的的三条中线
例1 利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法：
例题讲解
1. 作直线AB；
2. 过点A作直线AB的垂线AC ;
3. 作∠CAB 的平分线AD.
∠DAB就是要求作的角（如图所示）
例2 如图，点P在∠O的一边上，试过点P作∠O两边的垂线.
解：如图所示
作法:(1)以点P为圆心，适当长为半径画弧，交点P所在边于点A，B;(2)分别以A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧相交于点A'; (3)过A'，P两点作直线l1就是该边的垂线.
作法:
(4)以点P为圆心，适当长为半径画弧
交∠0的另一边于点C，D;
(5)分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径画弧，在不同于点P的一侧，两弧相交于点B';
(6)过P, B'两点作直线l2就是∠o另一边的垂线.
1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是(　　)
B
随堂演练
2. 如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连结AO，则下列结论正确的是(　　)
A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF
C．GH垂直平分EF D．GH平分AF
C
3. 如图，已知钝角三角形ABC，其中∠A是钝角，求作AC边上的中线BD和高BH.
解：如图所示．
4. 如图，已知点P和直线l，求作点P关于直线l的对称点P′.
解：如图所示．
作法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；
(2)在线段PO的延长线上截取OP′＝OP，则点P′就是
点P关于直线l的对称点．
5. 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB的垂直平分线与公路的交点便是.
A
B
公共汽车站
经过一已知点作已知直线的垂线
经过已知直线上一点作已知直线的垂线，实质是作一个平角的平分线，并将角的平分线反向延长.
经过已知直线外一点作已知直线的垂线，实质是作以直线外这一点为顶点，底在直线上的等腰三角形的顶角的平分线.
线段垂直平分线的尺规作图
作已知线段的垂直平分线理论依据是：判定三角形全等的“边边边”
课堂小结