华师大版数学八年级上册同步课件：13.5 第2课时 线段垂直平分线(共24张PPT)

(共24张PPT)
13.5 第2课时 线段垂直平分线
第13章 全等三角形
生活中的数学
在某高速公路l的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么
高 速 公 路
B
l
情景导入
A
这要用到垂直平分线的知识.怎么用呢？
获取新知
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？
M
N
P
A
C
B
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
你能给出PA=PB的证明吗？
下面我们来证明刚才得到的结论：
段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
M
N
P
A
C
B
已知：如图，MN丄AB，垂足为点C，AC =BC，点P是直线MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB.
M
N
P
A
C
B
证明： ∵MN ⊥AB（已知）,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).
在△ACP和△BCP中,
∵
∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
AC=BC,
∠ACP=∠BCP,
PC=PC,
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端的距离相等．
表达方式：
如图，l ⊥ AB，AC＝BC，点P在l上，则AP＝BP.
作用：可用来证明两线段相等．
M
N
P
A
C
B
l
是三角形全等思路的简化升级版
线段垂直平分线的判定
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
线段垂直平分线的性质定理，条件和结论反过来会有什么结果呢？
这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：
思路1：作垂线，证中点；
思路2：作中线，证垂直
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能写出后一种添加辅助线的证明过程吗？
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
条件：点到线段两端距离相等；
结论：点在线段垂直平分线上．
表达方式：如图，∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
作用：①作线段的垂直平分线的依据；
②可用来证线段垂直、相等．
线段垂直平分线的判定定理：
拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心．
点拨：三线交于一点，只需证明第三条经过另外两条的交点思路可表示如下：
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
OA=OB
OB=OC
OA=OC
点O在AC的垂直平分线上
B
C
A
O
l
n
m
试试看，你会写出证明过程吗？
你能给出三角形三边的垂直平分线交于一点的证明吗？
证明：连接OA，OB，OC.
∵点O在AB，AC的垂直平分线上，
∴OA=OB，OA=OC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.
∴OB=OC.
∴点O在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
C
A
O
l
n
m
例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交
AB，AC于点E，D，
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2)若BC＝4，求△BCD的周长．
导引：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，
例题讲解
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
利用线段垂直平分 线的性质转化线段的位 置，是一种常用的解题 方法.本题中解题的关 键是利用线段垂直平分 线的性质将CD 的长转 化为BD的长，从而将 △ ACD 的周长转化为线 段AB+AC的长，进行求解.
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分
∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．
只需要证明存在两点即可
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC.
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠ACB，
在△ADE和△ADC中
∠DAE＝∠DAC.
∵ ∠AED＝∠ACB，
AD=AD,
∴△ADE≌△ADC
∴CD＝DE，AC＝AE，
∴点D在CE的垂直平分线上；
点A也在CE的垂直平分线上，
∴直线AD是CE的垂直平分线．
判断线段垂直平分线的两种方法：
一是定义法，二是判定定理 . 一般习惯用定义法 进行判断，而利用判定定理 判断更简单 . 用判定定理判 定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上 有两点到线段两个端点的距离相等 .
1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
B
随堂演练
2. 如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是(　　)
A．AM>CM
B．AM＝CM
C．AMD．无法确定
B
3. 如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段(　　)的垂直平分线上．
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
B
4.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
5. 如图，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一点，
求证：(1)BE＝DE；(2)∠ABE＝∠ADE.
证明：(1)连结BD，如图，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴A，C两点均在线段BD的垂直平分线上．
∴AC是线段BD的垂直平分线．
又∵E是AC上一点，
∴BE＝DE.
证明：(2)在△ABE和△ADE中，
∵AB＝AD，BE＝DE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE.
证明两条线段或两个角相等 常用方法：
1. 通过证明两条线段所在的 三角形全等；
2. 用线段垂直平分线的性质 证明两条线段相等；
3. 用轴对称图形的对应元素 证明 .
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
课堂小结