华师大版数学八年级上册同步课件：13.5 第3课时 角平分线(共24张PPT)

(共24张PPT)
13.5 第3课时 角平分线
第13章 全等三角形
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
情景导入
这要用到角平分线的知识.怎么用呢？
生活中的数学
角平分线的性质
如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE.
即角平分线上的点到角两边的距离相.．
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
D
P
A
C
B
E
O
获取新知
你能给出PA=PB的证明吗？
已知: 如图, OC是 ∠AOB的平分线,点P是 OC上的任意一点，PD丄OA, PE丄OB, 垂足分别为点 D和点E.
求证：PD=PE.
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要 证明
这两个三角形全等，便可证得PD=PE.
D
P
A
C
B
E
O
你能写出完整的证明过程？
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点，
∴∠DOP=∠BOP.
∵PD⊥OA,PE⊥OB ，
∴∠ODP=∠OEP=90°.
在△OPD和△OPE 中，
∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP,
∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.).
∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.
D
P
A
C
B
E
O
角平分线上的点到角两边的距离相等．
书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE.
易错警示：垂线段的长度≠随意两点间的距离
D
P
A
C
B
E
O
关键词：(1)点一定要在角平分线上；
(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；
作用：角平分线的性质可用来证明两条线段相等．
是三角形全等思路的简化升级版
角平分线的性质定理：
角平分线性质定理的逆定理
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
角平分线的性质定理，条件和结论反过来会有什么结果呢？
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：只需证明∠AOP和∠BOP所在的Rt△PDO和Rt△PEO全等.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
证明：过点O、P作射线OP.
∵ PD⊥OA, PE⊥OB ，
∴ ∠PDO= ∠PEO = 90°.
在 Rt △PDO和 Rt △PEO中，
∵ OP = OP，PD = PE，
∴ Rt △PDO≌ Rt △PEO, (H. L.),
∴ ∠DOP= ∠EOP(全等三角形的对应角相等).
∴点Q在∠AOB的平分线上.
B
A
D
O
P
E
条件：点到角两边距离相等；
结论：点在角平分线上．
(1)书写格式：如图，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
(2)作用：可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线．
角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
画出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？
点拨：只需要证明第三条角平分线经过另外两条角平分线的交点即可.思路可表示如下：
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PD=PF
PD=PE
PF=PE
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
D
F
你会给出证明过程吗？试试吧
你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗？
E
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC,
垂足分别为D、E、F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）,
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
同理 PE=PF.
∴ PD=PF（等量代换）.
∴ 点P在∠A的平分线上,
A
B
C
P
E
D
F
M
N
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P也在∠A的平分线上.
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，
DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，
求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°，
∴DE＝DC.
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
ED＝CD，
BE＝FC，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC,
∴BD＝DF.
例题讲解
在证明两条线段相等时，若两条线段分别在两个三角形中，可考虑使用三角形全等或角平分线的性质，若条件中有垂直和角平分线，则优先考虑使用角平分线的性质.
运用角平分线的性质证明线段相等时，不需要利用三角形全等.
例2 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
分析：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF，
∵ ∠DEB＝∠DFC，
BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
证明角平分线的方法思路 :
从数量上证明被角平分线 分成的两个角相等 .
从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等， 即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂 线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问 题转化为证“垂线段相 等”的问题，体现了转化思想 .
1. 如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC的　 ，AE+DE= .
随堂演练
角平分线
6cm
2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
D
3.如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　)
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
B
4. 如图，已知∠CDA＝∠CBA＝90°，且CD＝CB，则点C在∠______的平分线上，点A在∠_______的平分线上．
DAB
DCB
5.如图，CP，BP是△ABC两外角的平分线，PE⊥AC且与AC
的延长线交于点E，PF⊥AB且与AB的延长线交于点F，试探
究BC，CE，BF三条线段有什么关系？
导引：由角平分线和垂直联想到作另一个垂线段．
解：如图，作PD⊥BC，垂足为D.
∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD，
在Rt△PDC和Rt△PEC中，
PD＝PE，
PC＝PC，
∴Rt△PDC ≌ Rt△PEC，
∴CD＝CE.同理可证BD＝BF.
∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF.
角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
三角形三条角平分线交于内部一点
课堂小结