初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.2 直角三角形
一、单选题
1．（2019八上·江津期中）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等。 B．斜边和一锐角对应相等。
C．斜边和一条直角边对应相等。 D．两锐角相等。
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案.
2．（2020八上·苍南期末）如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时， 可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
【分析】 利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相等，据此判断即可.
3．（2019八下·织金期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面 处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是 （ ）
A． B． C． D． .
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=3米，
∴AB=6米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=9米.
故答案为：C.
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB=2CB=6，进而根据这棵大树在折断前的高度=AB+BC即可算出答案。
4．（2018-2019学年数学湘教版八年级上册第二章 三角形 单元过关检测 ）如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSA D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
【分析】根据有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等即可求解。
5．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.1 正方形的性质 同步练习）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
6．（2020八下·丹东期末）如图，在 中， 是AC上一点， 于点E， 连接BD，若AC=8cm，则 等于（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴DC=DE，
又∵AC=8cm，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明 ，证明DC=DE即可；
7．（2020八下·泗辖月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝6cm，
故答案为：C．
【分析】求出AE＝BE，推出∠A＝∠1＝∠2＝30°，求出DE＝CE＝3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
8．（2018-2019学年数学人教版八年级上册第12章 全等三角形 单元检测a卷）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB=EF，
又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF，然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°。
二、填空题
9．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.8直角三角形全等的判定 同步训练）如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌ ，全等的根据是 ．
【答案】△DFE；HL
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等
【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
10．（三角形(289)+—+含30度角的直角三角形（容易））如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，AB=4cm，则∠BCD= ，BD= ．
【答案】30°；1cm
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠A=30°；
∵在△BCD中，∠BDC=90°，∠BCD=30°，
∴BC=2BD；
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
∴AB=2BC=4BD，
BD= AB=1cm．
故答案为30°，1cm．
【分析】先根据同角的余角相等得出∠BCD=90°﹣∠ACD=∠A=30°；然后在△BCD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BC=2BD；同理得出AB=2BC，则AB=2BC=4BD，进而求出BD的长．
11．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.8直角三角形全等的判定 同步训练）判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是
【答案】（1）和（2）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（ 2 ）两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；
（ 3 ）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故（1）和（2）
【分析】由于直角三角形中已经有一个角是直角，故要判断两直角三角形全等只需要一条边对应相等与任意一个角对应相等，利用AAS或者ASA；也可以两边对应相等，利用SAS或者HL。
12．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）．
【答案】①、②、④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD
∴①∠ABE=∠BAD 正确
∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
∴②△CEB≌△ADC 正确
∴CE=AD，BE=CD
∴④AD﹣BE=DE． 正确
而③不能证明，
故答案为①、②、④．
故填①、②、④．
【分析】首先由△AEF与△ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的．
13．（2017·娄底）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ．
【答案】AB=DC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
故答案为：AB=DC．
【分析】两个三角形已经具备了两直角相等，斜边公用，可以再添一直角边AB=DC（HL），也可再添一锐角∠ABC=∠DCB(AAS).
14．（2017八下·杭州月考）如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于
【答案】60°或120°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：①如图，作过点P的MN，过点M作MQ⊥BC，
∵正方形ABCD，
∴MQ=CD=AD，∠MQN=∠C=∠D=90°.
在Rt△ADE和Rt△ADE中，
MQ=AD，AE=MN，
∴Rt△ADE Rt△ADE（HL），
∴∠QMN=∠DAE=30°，
∴∠AMP=∠AMQ-∠QMN=90°-30°=60°；
②如图，同理可得∠QMN=∠DAE=30°，
∴∠AMP=∠AMQ+∠QMN=90°+30°=120°.
故答案为60°或120°.
【分析】画出符合的两种情况，过M作MQ⊥BC于Q，根据HL证出Rt△ADE Rt△ADE，即可求出答案．
三、解答题
15．（三角形(289)+—+含30度角的直角三角形（容易））如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC．求证：AD=2CD．
【答案】证明：
过D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，
∴CD=DE，∠DEA=90°，
∵∠A=30°，
∴AD=2DE，
∴AD=2CD
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD=DE，根据含30度角的直角三角形性质得出AD=2DE，代入求出即可．
16．（三角形(289)+—+含30度角的直角三角形（容易））如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．
【答案】解：延长AD、BC交于E，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠E=60°，
∵∠ADC=120°，
∴∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD=CE=DE=x，
∵AD=4，BC=1，
∴2（1+x）=x+4，
解得；x=2，
∴CD=2．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=4，BC=1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.2 直角三角形
一、单选题
1．（2019八上·江津期中）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等。 B．斜边和一锐角对应相等。
C．斜边和一条直角边对应相等。 D．两锐角相等。
2．（2020八上·苍南期末）如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF
3．（2019八下·织金期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面 处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是 （ ）
A． B． C． D． .
4．（2018-2019学年数学湘教版八年级上册第二章 三角形 单元过关检测 ）如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSA D．HL
5．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.1 正方形的性质 同步练习）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020八下·丹东期末）如图，在 中， 是AC上一点， 于点E， 连接BD，若AC=8cm，则 等于（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
7．（2020八下·泗辖月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm
8．（2018-2019学年数学人教版八年级上册第12章 全等三角形 单元检测a卷）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
二、填空题
9．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.8直角三角形全等的判定 同步训练）如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌ ，全等的根据是 ．
10．（三角形(289)+—+含30度角的直角三角形（容易））如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，AB=4cm，则∠BCD= ，BD= ．
11．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.8直角三角形全等的判定 同步训练）判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是
12．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）．
13．（2017·娄底）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ．
14．（2017八下·杭州月考）如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于
三、解答题
15．（三角形(289)+—+含30度角的直角三角形（容易））如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC．求证：AD=2CD．
16．（三角形(289)+—+含30度角的直角三角形（容易））如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时， 可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
【分析】 利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相等，据此判断即可.
3．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=3米，
∴AB=6米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=9米.
故答案为：C.
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB=2CB=6，进而根据这棵大树在折断前的高度=AB+BC即可算出答案。
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
【分析】根据有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等即可求解。
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴DC=DE，
又∵AC=8cm，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明 ，证明DC=DE即可；
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝6cm，
故答案为：C．
【分析】求出AE＝BE，推出∠A＝∠1＝∠2＝30°，求出DE＝CE＝3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB=EF，
又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF，然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°。
9．【答案】△DFE；HL
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等
【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
10．【答案】30°；1cm
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠A=30°；
∵在△BCD中，∠BDC=90°，∠BCD=30°，
∴BC=2BD；
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
∴AB=2BC=4BD，
BD= AB=1cm．
故答案为30°，1cm．
【分析】先根据同角的余角相等得出∠BCD=90°﹣∠ACD=∠A=30°；然后在△BCD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BC=2BD；同理得出AB=2BC，则AB=2BC=4BD，进而求出BD的长．
11．【答案】（1）和（2）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（ 2 ）两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；
（ 3 ）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故（1）和（2）
【分析】由于直角三角形中已经有一个角是直角，故要判断两直角三角形全等只需要一条边对应相等与任意一个角对应相等，利用AAS或者ASA；也可以两边对应相等，利用SAS或者HL。
12．【答案】①、②、④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD
∴①∠ABE=∠BAD 正确
∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
∴②△CEB≌△ADC 正确
∴CE=AD，BE=CD
∴④AD﹣BE=DE． 正确
而③不能证明，
故答案为①、②、④．
故填①、②、④．
【分析】首先由△AEF与△ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的．
13．【答案】AB=DC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
故答案为：AB=DC．
【分析】两个三角形已经具备了两直角相等，斜边公用，可以再添一直角边AB=DC（HL），也可再添一锐角∠ABC=∠DCB(AAS).
14．【答案】60°或120°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：①如图，作过点P的MN，过点M作MQ⊥BC，
∵正方形ABCD，
∴MQ=CD=AD，∠MQN=∠C=∠D=90°.
在Rt△ADE和Rt△ADE中，
MQ=AD，AE=MN，
∴Rt△ADE Rt△ADE（HL），
∴∠QMN=∠DAE=30°，
∴∠AMP=∠AMQ-∠QMN=90°-30°=60°；
②如图，同理可得∠QMN=∠DAE=30°，
∴∠AMP=∠AMQ+∠QMN=90°+30°=120°.
故答案为60°或120°.
【分析】画出符合的两种情况，过M作MQ⊥BC于Q，根据HL证出Rt△ADE Rt△ADE，即可求出答案．
15．【答案】证明：
过D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，
∴CD=DE，∠DEA=90°，
∵∠A=30°，
∴AD=2DE，
∴AD=2CD
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD=DE，根据含30度角的直角三角形性质得出AD=2DE，代入求出即可．
16．【答案】解：延长AD、BC交于E，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠E=60°，
∵∠ADC=120°，
∴∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD=CE=DE=x，
∵AD=4，BC=1，
∴2（1+x）=x+4，
解得；x=2，
∴CD=2．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=4，BC=1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．
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