8.6.1直线与直线垂直 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
8.6.1 直线与直线垂直
教学目标
通过直观感知、操作确认，归纳出异面直线所成角的概念（重点）
01
会求一些较特殊的异面直线所成的角（重点、难点）
02
能 掌握两直线垂直的概念，会判定两直线垂直.（重点、难点）
03
04
学科素养
通过直观感知、操作确认，归纳出异面直线所成角的概念
数学抽象
直观想象
会判定两直线垂直
逻辑推理
求一些较特殊的异面直线所成的角
数学运算
数据分析
数学建模
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
平行直线
共面直线
异面直线
相交直线
不同在任何一个平面内，没有公共点．
在同一平面内，没有公共点．
在同一平面内，有且只有一个公共点．
空间中直线与直线的位置关系：
(1)
(2)
(3)
异面直线图示：
如图所示的正方体中，直线A'C'与直线AB，
直线A'D' 与直线AB都是异面直线，但是它们的
位置不同，如何描述这种差异呢？
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．
图中的角θ即为直线a与直线b的夹角．
思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找出这个夹角？
a′
b′
O
θ
？
O
a′
平移
探究点1 两条异面直线所成的角
a
b
异面直线所成角的定义:
如图,已知两条异面直线a，b,经过空间任一点O作直线a′//a，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
（1）将空间图形转化为平面图形
（2）异面直线夹角转化为相交直 线的夹角
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变
与点O位置无关.
平移法
异面直线的垂直
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.
探究新知
异面直线所成角的取值范围：0°< α ≤90°
垂直分为两种：
相交直线的垂直
异面直线的垂直
提问1：两条直线垂直一定相交吗？
不一定
当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为0°．
空间两条直线所成角θ的取值范围是
0°≤ θ ≤9 0°
1.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
垂直
2.垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
不一定
A'
B'
C'
D'
D
C
B
A
平行线定理
a
b
l
想一想
例1 已知正方体ABCD—A'B'C'D'.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直；
(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小．
(3)求直线BA'与AC所成的角的大小．
典例分析
A'
B'
C'
D'
D
C
B
A
例1 已知正方体ABCD—A'B'C'D'.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直；
(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小．
(3)求直线BA'与AC所成的角的大小．
典例分析
A'
B'
C'
D'
D
C
B
A
√
异面直线夹角转化为相交直线的夹角
平移法
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
　1．作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常
　　　　 用平移法)异面直线所成的角(或其补角)；
　2．证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；
（注：证明线线平行）
　3．求：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小；
（注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面
直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）．
例1 已知正方体ABCD—A'B'C'D'.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直；
(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小．
(3)求直线BA'与AC所成的角的大小．
典例分析
A'
B'
C'
D'
D
C
B
A
√
例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M, N分别是A1B1, BB1的中点，求：异面直线AM与CN所成角的余弦值；
典例分析
M
A1
B1
C1
D1
D
C
B
A
N
（1）将空间图形转化为平面图形
（2）异面直线夹角转化为相交直 线的夹角
例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M, N分别是A1B1, BB1的中点，求：异面直线AM与CN所成角的余弦值；
典例分析
M
A1
B1
C1
D1
D
C
B
A
N
F
E
如何写求解过程呢？
例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M, N分别是A1B1, BB1的中点，求：异面直线AM与CN所成角的余弦值；
典例分析
M
A1
B1
C1
D1
D
C
B
A
N
F
E
解三角形
正方形
对角线的交点
推出
异面直线夹角转化为相交直线的夹角
正方形
对角线的交点
推出
异面直线夹角转化为相交直线的夹角
1.如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E, F分别 为BC, AD的中点，求EF和AB 所成的角．
巩固练习
G
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.
∴∠EGF＝90°.
∴△EFG为等腰直角三角形．
∴∠GFE＝45°，
即EF与AB所成的角为45°.
04
归 纳 总 结
Sum Up
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
　1．作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常
　　　　 用平移法)异面直线所成的角(或其补角)；
　2．证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；
（注：证明线线平行）
　3．求：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小；
（注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面
直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）．
人类的幸福和欢乐在于奋斗，而最有价值的是为理想而奋斗.