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北师版八年级下册数学6.1.1 平行四边形的边、角性质教学设计
课题 6.1.1 平行四边形的边、角性质 单元 第六单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.理解并能说出平行四边形的定义. 2.理解并能说出平行四边形的对称性和对边相等、对角相等的性质,且能够证明.3.经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.4.通过独立探索、合作交流等良好学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.
重点 1.平行四边形的性质的探究、平行四边形的性质的应用.2.探索和证明平行四边形的性质.
难点 平行四边形的性质的探究.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 同学们，你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗 平行四边形是生活中常见的图形。你能再举出一些实例吗？小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等 学生思考回答问题。 通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂.通过类比让学生体会平行四边形的相关概念,自然导入本节课的教学,并且揭示了课题.
讲授新课 【思考】什么样的图形叫做平行四边形？定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。如图，四边形ABCD是平行四边形，记作□ABCD，读作“平行四边形ABCD”，平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。线段BD就是□ABCD 的一条对角线．平行四边形有几条对角线？找一找：平行四边形的对边、邻边、对角、邻角.动手操作：在练习本上画一个平行四边形，并将它剪下来。将平行四边形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合。【思考】平行四边形是中心对称图形吗？你能找出它的对称中心吗？平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.你还能发现平行四边形有哪些性质？平行四边形的对边相等.平行四边形的对角相等.你能证明这些结论吗？已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．求证： AB = CD，BC = DA.平行四边形可以由两个全等的三角形拼成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等的三角形进行解题.证明：连接 AC．∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD ，BC∥DA（平行四边形的定义）∴ ∠BAC=∠ACD，∠ACB=∠CAD．∵ AC=CA，∴ △ABC≌△CDA．∴ AB=CD，BC=DA．边的性质：平行四边形对边相等．数学表达式：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC.你能证明平行四边形的对角相等吗？试着写出已知和求证。已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．求证：∠A=∠C，∠B=∠D.证明：连接 AC．由题意得△ABC≌△CDA．∴ ∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3即∠BAD=∠DCB.思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？证明：∵AB∥DC，∠B+∠C=180°，∵ AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠A=∠C.同理∠B=∠D.角的性质：平行四边形对角相等．数学表达式：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D.【例1】已知：如图，在□ABCD 中，E，F是对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF．求证：BE = DF．证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD（平行四边形的对边相等），AB∥CD（平行四边形的定义）．∴ ∠BAE=∠DCF．又∵ AE=CF，∴ △ABE≌△CDF．∴ BE=DF．【拓展提高】1.平行四边形是特殊的四边形，因此上述性质是一般四边形不具备的特殊性质.2.在学习三角形时，我们通常从边、角两方面考虑性质与判定，由于四边形有对角线，故在考虑平行四边形的性质与判定时主要从边、角、对角线三个方面着手，对角线是沟通四边形与三角形的桥梁和纽带，通过学习我们将进一步深刻体会将四边形问题化为三角形问题的转化思想的应用. 学生通过观察总结平行四边形的定义。学生根据教师引导总结平行四边形的表示方法，以及相关概念。学生探究平行四边形是否是中心对称图形。学生探究平行四边形的性质，并证明。学生根据所学知识解决问题。 通过学生动手实践,引出平行四边形的定义,使学生自然过渡到新知识的学习.从整体的角度研究平行四边形中心对称的性质,明确了两条对角线的交点就是其对称中心,感知平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等的性质.在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。
课堂练习 1.如图，EF过□ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若□ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( C )A.14 B.13 C.12 D.102.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是( A )A.AE＝CF B.∠AEB＝∠CFDC.∠EAB＝∠FCD D.BE＝DF3.如图，在□ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( D )A.∠E＝∠CDF B.EF＝DFC.AD＝2BF D.BE＝2CF4.在□ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分，则□ABCD的周长为( D )A.20 cm B.22 cmC.10 cm D.20 cm或22 cm5.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD. ∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF.∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°.∴∠ABC＝180°－120°＝60°.(2)求证：BE＝DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB.∴∠ABE＝∠CDF.∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAD＝2∠BAE，∠BCD＝2∠DCF.∴∠BAE＝∠DCF.∴△ABE≌△CDF(ASA)．∴BE＝DF.6.【中考·温州】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为( D )A.40° B.50° C.60° D.70°7.【中考·安徽】如图，点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.求证：△BCE≌△ADF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵AF∥BE，∴∠EBA＋∠BAF＝180°.∴∠CBE＝∠DAF.同理，得∠BCE＝∠ADF.在△BCE和△ADF中，∠CBE＝∠DAF，BC＝AD，∠BCE＝∠ADF，∴△BCE≌△ADF(ASA) 学校做练习，教师订正答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.3.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.4.平行四边形的对边相等.5.平行四边形的对角相等. 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：6.1.1 平行四边形的边、角性质一、平行四边形的定义二、平行四边形的性质三、例题讲解
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6.1.1 平行四边形的边、角性质
北师版 八年级下册
新知导入
同学们，你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗
新知导入
平行四边形是生活中常见的图形。
你能再举出一些实例吗？
小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等
新知讲解
【思考】什么样的图形叫做平行四边形？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
如图，四边形ABCD是平行四边形，
记作□ABCD，
读作“平行四边形ABCD”，
新知讲解
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。
线段 BD 就是□ABCD 的一条对角线．
平行四边形有几条对角线？
找一找：平行四边形的对边、邻边、对角、邻角.
新知讲解
动手操作：在练习本上画一个平行四边形，并将它剪下来。
【思考】平行四边形是中心对称图形吗？
你能找出它的对称中心吗？
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
将平行四边形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合。
新知讲解
你还能发现平行四边形有哪些性质？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
你能证明这些结论吗？
新知讲解
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
求证： AB = CD，BC = DA.
四边形问题
转化
三角形问题
平行四边形可以由两个全等的三角形拼成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等的三角形进行解题.
新知讲解
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
求证： AB = CD，BC = DA.
证明：连接 AC．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD ，BC∥DA（平行四边形的定义）
∴ ∠BAC=∠ACD，∠ACB=∠CAD．
∵ AC=CA，
∴ △ABC≌△CDA．
∴ AB=CD，BC=DA．
新知讲解
边的性质：
平行四边形对边相等．
数学表达式：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
求证： AB = CD，BC = DA.
新知讲解
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
求证：∠A=∠C，∠B=∠D.
你能证明平行四边形的对角相等吗？试着写出已知和求证。
证明：连接 AC．
由题意得△ABC≌△CDA．
∴ ∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3
即∠BAD=∠DCB.
新知讲解
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
求证：∠A=∠C，∠B=∠D.
你能证明平行四边形的对角相等吗？试着写出已知和求证。
思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
证明：∵AB∥DC，∠B+∠C=180°，
∵ AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠C.
同理∠B=∠D.
新知讲解
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
求证：∠A=∠C，∠B=∠D.
你能证明平行四边形的对角相等吗？试着写出已知和求证。
角的性质：
平行四边形对角相等．
数学表达式：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
新知讲解
【例1】已知：如图，在□ABCD 中，E，F是对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF．求证：BE = DF．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的定义）．
∴ ∠BAE=∠DCF．
又∵ AE=CF，
∴ △ABE≌△CDF．
∴ BE=DF．
新知讲解
【拓展提高】
1.平行四边形是特殊的四边形，因此上述性质是一般四边形不具备的特殊性质.
2.在学习三角形时，我们通常从边、角两方面考虑性质与判定，由于四边形有对角线，故在考虑平行四边形的性质与判定时主要从边、角、对角线三个方面着手，对角线是沟通四边形与三角形的桥梁和纽带，通过学习我们将进一步深刻体会将四边形问题化为三角形问题的转化思想的应用.
课堂练习
1.如图，EF过□ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若□ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A.14
B.13
C.12
D.10
C
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是( )
A.AE＝CF
B.∠AEB＝∠CFD
C.∠EAB＝∠FCD
D.BE＝DF
课堂练习
A
3.如图，在□ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
A.∠E＝∠CDF
B.EF＝DF
C.AD＝2BF
D.BE＝2CF
课堂练习
D
课堂练习
4.在□ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分，
则□ABCD的周长为( )
A.20 cm
B.22 cm
C.10 cm
D.20 cm或22 cm
D
拓展提高
5.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD. ∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF.
∵∠BCF＝60°，
∴∠BCD＝120°.
∴∠ABC＝180°－120°＝60°.
拓展提高
(2)求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAD＝2∠BAE，∠BCD＝2∠DCF.
∴∠BAE＝∠DCF.
∴△ABE≌△CDF(ASA)．∴BE＝DF.
6.【中考·温州】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
中考链接
D
7.【中考·安徽】如图，点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
求证：△BCE≌△ADF；
中考链接
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵AF∥BE，∴∠EBA＋∠BAF＝180°.
∴∠CBE＝∠DAF.同理，得∠BCE＝∠ADF.
在△BCE和△ADF中，
∠CBE＝∠DAF，BC＝AD，∠BCE＝∠ADF，
∴△BCE≌△ADF(ASA)．
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
3.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
4.平行四边形的对边相等.
5.平行四边形的对角相等.
板书设计
课题：6.1.1 平行四边形的边、角性质
教师板演区
学生展示区
一、平行四边形的定义
二、平行四边形的性质
三、例题讲解
作业布置
课本 P137 练习题
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