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第一讲 平行四边形的性质
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A等于（ ）
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A．50° B．130° C．100° D．65°
2．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对角互补 B．邻角互补 C．对角相等 D．内角和是360°
3．已知平行四边形的一边长为5，则对角线，的长可取下列数据中的（ ）
A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6
4．如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
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A． B． C． D．
5．下列关于平行四边形的特征的描述中，正确的个数有（ ）
（1）对边相等；（2）对角相等；（3）对角线相等；（4）邻边相等；（5）邻角互补．
A．2个 B．5个 C．3个 D．4个
6．如图，已知在中，，则（ ）
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A．18° B．36° C．45° D．72°
7．如图，已知平行四边形中，，则（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
8．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，AB=4cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
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A．6cm B．10cm C．12cm D．20cm
9．如图，在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数等于（ ）
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A．45° B．55° C．65° D．75°
10．平行四边形的一个内角为，与它相邻的另一个内角等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知在 ABCD中，∠A+∠C=140°，则∠B的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．110° B．120° C．140° D．160°
12．如图，在平行四边形，，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．60° C．110° D．120°
13．如图，中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．6 C．12 D．24
14．与是平行四边形的一组对角，若，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
15．平行四边形的一个内角为50°，它的相邻的一个内角等于( )
A．40° B．50° C．130° D．150°
16．在中，，则（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
17．若在平行四边形中，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
18．在平行四边形ABCD中，,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．已知平行四边形的一条边长为，那么它的两条对角线的长可能是（ ）．
A．和 B．和 C．和 D．和
20．已知，一个平行四边形相邻两边的长分别是2和3，则它的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
21．已知平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中有O、A、B、C 四个点，其中点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），若四边形OABC是平行四边形，则点C 的坐标为 （ ）21cnjy.com
A．（4，－1） B．（4，1） C．（2，－1） D．（－2，1）
22．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm
23．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A的度数为（ ）
A．130° B．100° C．80° D．70°
24．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（ ）
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A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm
25．如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）
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A．30° B．75° C．100° D．150°
26．中，的度数比可能是（ ）
A． B． C． D．
27．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①，②，③，④，⑤．正确的结论有（ ）个
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A．1 B．2 C．3 D．4
28．平行四边形中，对角线和相交于点，若，，，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（ ）
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A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，2） D．（﹣2，2）
30．下列命题为真命题的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线平分每一组对角
C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．平行四边形的对角线互相平分
31．如图，在平行四边形ABCD中，E在AC上，，F在AD上，，如果 的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（ ）21·cn·jy·com
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A．4 B．8 C．9 D．10
32．如图，平行四边形ABCD的对角线A ( http: / / www.21cnjy.com )C，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=5，BC=7，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．15 B．13 C．17 D．13.5
33．在平行四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
34．如图在中，，点C关于的对称点为E，连接交于点F，点G为的中点，连接，．则的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
35．如图，EF过对角线的交点O，并交于E，交于F，若，，，则四边形EFCD的周长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．16 B．14 C．12 D．10
36．如图，在中，，为垂足，如果，那么的度数是（ ）
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A．80° B．30° C．40° D．50°
37．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）21·世纪*教育网
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A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
38．如图，平行四边形ABCD中，AB=6，∠BCD的平分线交AD于E，则DE等于（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
第II卷（非选择题）
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二、填空题
39．在ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于_____．
40．如图，在中，与相交于点O，
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（1）若，则_______，_______．又若厘米，则的周长为________．
（2）若的周长为，，则对角线与的和是________．
41．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝3，则∠B的度数为___________，CD＝____________．
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42．在中，若，则的度数为______．
43．已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm．
44．如图，平行四边形ABCD中，点E ( http: / / www.21cnjy.com )在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____．www-2-1-cnjy-com
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45．在平行四边形中，，则________________________．
三、解答题
46．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．
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（1）求证：BF=EF；
（2）若AB=6，DE=3，求□ABCD的周长．
47．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，如果AC=14，BD=8，AB=x，求x的取值范围
48．如图，在中，，，，垂足分别为点、
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（1）求的度数；
（2）如果，求线段的长．
49．如图，在中，对角线相交于点，且．
（1）求的度数；
（2）求的面积．
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50．如图，的周长为相交于点交于点，求的周长．
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51．如图，BD是 ABCD的对角线，点E、F分别在BD上，连接AE、CF．
（1）请你添加一个条件，使△AED≌△CFB，并给予证明；
（2）在你添加的条件后，不再添加其它条件，写出图中所有全等的三角形．
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52．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，求OA的长度范围．
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53．如图所示，在平行四边形中，于，于，若，，，求平行四边形的周长．
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54．已知：如图，在 ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BF＝DE
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55．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，求△BOC的周长为多大？
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56．如图，平行四边形ABCD中，AD＞AB
（1）分别作∠ABC和∠BCD的平分线，交AD于E、F．
（2）线段AF与DE相等吗？请证明．
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57．如图，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，AB=4，AC=6，BD=10．（1）求∠ACD的度数；（2）求BC的长.21世纪教育网版权所有
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58．已知如图在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：∠AED=∠CFB．
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59．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接．求证：．
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60．如图，在中，于E，于F，若与的长度之比为3：4，求的值．
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61．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD交AD于E，BF平分∠ABC交AD于F，若AB=6，BC=4，求EF的长．21教育网
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62．如图，四边形中，，，E，F为上两点，且．求证：
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63．在中，点和点是直线上不重合的两个动点，，．
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（1）如图①，求证：；
（2）由图①易得，请分别写出图②，图③中，，三者之间的数量关系，并选择一个关系进行证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若，，则______．
64．如图，在平行四边形ABCD中，BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，求证：BE=BC．
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65．证明题：如图，在 ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE＝CF．
求证：∠BEF＝∠DFE．
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66．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点于点.
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（1）求证:；
（2）若，求的长．
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第一讲 平行四边形的性质
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A等于（ ）
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A．50° B．130° C．100° D．65°
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的对角相等可得∠B=∠D，然后求出∠B，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可求出∠A．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，∠B=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )D，AD∥BC，
∵∠B+∠D=100°，
∴∠B=50°，
∴∠A=180°-∠B=180°-50°=130°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
2．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对角互补 B．邻角互补 C．对角相等 D．内角和是360°
【答案】A
【分析】
利用平行四边形的性质逐个判断，即可得出结论．
【详解】
解：四边形ABCD是平行四边形，
∴对角相等，不一定互补，故A符合题意，C不符合题意．
AB∥CD，AD∥BC，
∴邻角互补，故B不符合题意．
任意四边形的内角和为360°，故D不符合题意．
故选：A．
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【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
3．已知平行四边形的一边长为5，则对角线，的长可取下列数据中的（ ）
A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【答案】D
【分析】
由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】
解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，
所以（AC-BD）＜5＜（AC+BD），
由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题．
4．如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相 ( http: / / www.21cnjy.com )等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出 ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵AD=6，BE=2，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴ ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．www.21-cn-jy.com
5．下列关于平行四边形的特征的描述中，正确的个数有（ ）
（1）对边相等；（2）对角相等；（3）对角线相等；（4）邻边相等；（5）邻角互补．
A．2个 B．5个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即可判断各选项的正误．
【详解】
解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，对边相等，邻角互补
可知（1）（2）（5）正确，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即平行四边形的邻角互补．
6．如图，已知在中，，则（ ）
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A．18° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
【分析】
在□ABCD中，可得∠A+∠B=180°，又由∠B=4∠A，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠C＝∠A＝×180°＝36°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．
7．如图，已知平行四边形中，，则（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】B
【分析】
利用平行四边形的性质解决问题即可
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，AB=4cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
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A．6cm B．10cm C．12cm D．20cm
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的性质：两组对边分别相等，即可求出周长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6cm，CD=AB=4cm，
∴平行四边形ABCD的周长为（6+4）×2=20（cm），
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键．
9．如图，在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数等于（ ）
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A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】A
【分析】
根据平行四边形对角相等，求出∠BCD，再根据邻补角的定义求出∠MCD即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形，
∴∠A=∠BCD=135°，
∴∠MCD=180°-∠BCD =180°-135°=45°．
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质，属于基础题，中考常考题型．
10．平行四边形的一个内角为，与它相邻的另一个内角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用平行四边形的邻角互补进而得出答案．
【详解】
解：∵平行四边形的一个内角为40°，
∴与它相邻的另一个内角为：140°．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，正确利用平行四边形内角之间的关系是解题关键．
11．如图，已知在 ABCD中，∠A+∠C=140°，则∠B的度数是（ ）
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A．110° B．120° C．140° D．160°
【答案】A
【解析】
试题分析：根据平行四边形的性质可得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=∠C，又因∠A+∠C=140°，即可知∠A=∠C=70°．再由平行线的性质可得∠A+∠B=180°即可得∠B=110°，故答案选A．
考点：平行四边形的性质；平行线的性质．
12．如图，在平行四边形，，则的度数为（ ）
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A．30° B．60° C．110° D．120°
【答案】B
【分析】
根据平行四边形对角相等即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D=∠B=60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
13．如图，中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
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A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】A
【分析】
由中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，即可求得平行四边形的面积，证明得（ASA），即可得，同理：
即可求得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
∵中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，
∴，AD∥BC， OA=OC，
∠OAE=∠OCF，
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在和中，
，
∴（ASA），
∴，
同理：
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．与是平行四边形的一组对角，若，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形对角相等的性质可以得解．
【详解】
解：∵平行四边形的对角相等，∴∠C=∠A=60°
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形对角相等的性质是解题关键．
15．平行四边形的一个内角为50°，它的相邻的一个内角等于( )
A．40° B．50° C．130° D．150°
【答案】C
【分析】
利用平行四边形的邻角互补进而得出答案．
【详解】
解：∵平行四边形的一个内角为50°，邻角互补，
∴它的相邻的一个内角等于180°-50°=130°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的邻角互补关系是解题关键．
16．在中，，则（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】
由平行四边形可得：再利用平行线的性质求解 从而可得答案．
【详解】
解：如图，，
，
故选B．
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【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，平行线是性质，掌握以上知识是解题的关键．
17．若在平行四边形中，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质可知，互补，根据已知可以求出，的度数，而是的对角，所以相等．
【详解】
解：在中，
，
，
，的度数之比为，
，，
故选：．
【点睛】
此题主要考查平行四边形的性质：（1）邻角互补；（2）平行四边形的两组对角分别相等．
18．在平行四边形ABCD中，,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形对角相等的性质，结合题目条件对角的和为，即可求得的度数．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∵，
∴．
故选:B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题关键．
19．已知平行四边形的一条边长为，那么它的两条对角线的长可能是（ ）．
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
【详解】
解：A、4.5+4.5=9＜10，不能构 ( http: / / www.21cnjy.com )成三角形，不满足条件，故A选项错误；
B、4.5+6=10.5＞10，能构成三角形，满足条件，故B选项正确．
C、5+4=9＜10，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误；
D、6.5+3.5=10，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误．
故选：B．21cnjy.com
【点睛】
本题主要考查了平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形的性质．并结合三角形的性质解题．
20．已知，一个平行四边形相邻两边的长分别是2和3，则它的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的周长公式解答即可．
【详解】
∵一个平行四边形相邻两边的长分别是2和3，
∴它的周长＝2×（2+3）＝10，
故选：D．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的周长公式解答．
21．已知平面直角坐标系中有O、A、B ( http: / / www.21cnjy.com )、C 四个点，其中点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），若四边形OABC是平行四边形，则点C 的坐标为 （ ）21·世纪*教育网
A．（4，－1） B．（4，1） C．（2，－1） D．（－2，1）
【答案】D
【分析】
根据题意作图，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】
如图，∵四边形OABC是平行四边形，点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），
∴BC=AO=3，
故点C 的坐标为B（1-3，1），即（－2，1）
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质．
22．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分 ( http: / / www.21cnjy.com )，所选择作为对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，必须满足三角形的两边之和大于第三边，由此逐一排除即可．【版权所有：21教育】
【详解】
解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，3，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得4，4，10，不能构成三角形，舍去；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得4，8，10，能构成三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形三边的关系，解题的关键是熟知相关知识点．
23．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A的度数为（ ）
A．130° B．100° C．80° D．70°
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝200°，可得∠A的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．
24．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm
【答案】C
【分析】
平行四边形的周长为相邻两边之 ( http: / / www.21cnjy.com )和的2倍，即2（AB+BC）＝36，则AB+BC＝18cm，而△ABC的周长＝AB+BC+AC＝28，继而即可求出AC的长．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：∵ ABCD的周长是36cm，
∴AB+AD＝18m，
∵△ABC的周长是28cm，
∴AB+BC+AC＝28cm，
∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+AC）＝28﹣18＝10（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．
25．如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．75° C．100° D．150°
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质解决问题即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵∠A＝150°，
∴∠B＝30°，
故选A．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．中，的度数比可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的两组对角分别相等判定即可求解．
【详解】
解：在中， ；
则；
故选：B
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的两组对角分别相等是解题的关键．
27．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①，②，③，④，⑤．正确的结论有（ ）个
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①先证明，再根据全等三角形的对应边相等解题；②先证明是等腰直角三角形，可证得，再根据平行四边形的对角相等解题；③根据平行四边形的性质解题；④由可证明，据此解题；⑤中，利用勾股定理解题．
【详解】
解:：
是等腰直角三角形，
四边形是平行四边形，
②正确；
在与中，
点不是中点，
①错误；
四边形是平行四边形，
③正确；
④错误；
中，
⑤正确，
②③⑤正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．平行四边形中，对角线和相交于点，若，，，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到AB﹣OA＜OB＜AB+OA，代入求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝4，AB＝6，
∴OA＝OC＝2，OD＝OB＝，
在△OAB中， AB﹣OA＜＜AB+OA，
∴6﹣2＜＜6+2，
∴8＜m＜16．
故选D．
【点睛】
本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出OA、OB后得出AB-OA＜OB＜AB+OA是解此题的关键．
29．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，2） D．（﹣2，2）
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的对边平行且相等可得BC∥OA，BC＝OA＝6，再根据点B坐标即可推出点C坐标．
【详解】
解：∵A（﹣6，0），
∴OA＝6，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝6，
∵B（﹣8，2），
∴C（﹣2，2），
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及坐标之间的关系．
30．下列命题为真命题的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线平分每一组对角
C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的定义和性质逐项判断即可．
【详解】
解：A.两组对边平行的四边形是平行四边形，原选项是假命题，不符合题意；
B. 平行四边形的对角线不一定平分每一组对角，原选项是假命题，不符合题意；
C. 平行四边形是中心对称图形，原选项是假命题，不符合题意；
D. 平行四边形的对角线互相平分，原选项是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的定义和性质，解题关键是熟记这些知识，准确进行判断．
31．如图，在平行四边形ABCD中，E在AC上，，F在AD上，，如果 的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
由线段之间的关系分别得出几个小三角形的面积关系，进而可得出平行四边形的面积．
【详解】
解：，
，
．
的面积，
又，
，
的面积的面积，
平行四边形的面积的面积．
故选：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积关系；熟练掌握平行四边形的性质，弄清几个小三角形的面积关系是解决问题的关键．21*cnjy*com
32．如图，平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=5，BC=7，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15 B．13 C．17 D．13.5
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的对边相等得：CD=AB=5， ( http: / / www.21cnjy.com )AD=BC=7．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得：OF=OE=1.5，CF=AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=15．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD=BC=7，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE=1.5，CF=AE，
故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+AD+EF=5+7+1.5×2=15．
故选：A．
【点睛】
能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
33．在平行四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质可直接进行排除选项．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
34．如图在中，，点C关于的对称点为E，连接交于点F，点G为的中点，连接，．则的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图，取BC中点H，连接AH，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG=S△BCE+SECG-S△BCG计算即可．
【详解】
解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BC=2AB，BH=CH，∠ABC=60°，
∴BA=BH=CH，
∴△ABH是等边三角形，
∴HA=HB=HC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∵E和C关于AD对称，AD∥BC，
∴EC⊥AD，EC⊥BC，CN=EN，
∴EC⊥BC，
∵∠BCD=180°-∠ABC=120°，
∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，
∵BC=2AB=8，
∴CD=4，CN=EN=，
∴EC=，EM=，
∴S△BEG=S△BCE+SECG-S△BCG
=×8×+×2×-S平行四边形ABCD
=×8×+×2×-×BC×CN
=×8×+×2×-×8×
=
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
35．如图，EF过对角线的交点O，并交于E，交于F，若，，，则四边形EFCD的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】C
【分析】
由在中，过对角线交点，易证得，继而可得，，则可得四边形的周长．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
在和中，
，
，
，，
四边形的周长为：
．
故选：．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得，进而得到四边形的周长是关键．
36．如图，在中，，为垂足，如果，那么的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．80° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【分析】
因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行 ( http: / / www.21cnjy.com )，同旁内角互补，可得∠A+∠B=180°，由已知易证∠BEC=90°，所以在Rt△BEC中，由三角形的内角和定理知∠BCE=30°；21·cn·jy·com
【详解】
∵平行四边形中，，
∴AD//BC
∴，
又∵，
∴∠BEC=90°，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题直接通过平行四边形性质的应用，判断出正确的选项，属于基础题；
37．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
【答案】A
【分析】
根据在□ABCD中，AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠AEB，即AB=BE，即可求出EC的长度．
【详解】
∵在□ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AD=5cm，AB=3cm，
∴BE=3cm，BC=5cm，
∴EC=5-3=2cm，
故选：A．
【点睛】
本题是对平行四边形知识的考查，熟练掌握平行四边形性质及角平分线知识是解决本题的关键．
38．如图，平行四边形ABCD中，AB=6，∠BCD的平分线交AD于E，则DE等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】
由CE平分∠BCD，可得∠BCE=∠DCE，由平行四边形ABCD，可得AD∥BC，AB=CD=6
平行线性质得∠BCE=∠DEC=∠DCE，由等边对等角DE=CD即可．
【详解】
解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AB=CD=6，
∴∠BCE=∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=6．
故选择：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，等腰三角形判定，掌握平行四边形的性质，角平分线定义，等腰三角形判定是解题关键．
二、填空题
39．在ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于_____．
【答案】70°．
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得: ∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝140°，即可求得答案．www-2-1-cnjy-com
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠C＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，注意熟记定理是解此题的关键．
40．如图，在中，与相交于点O，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若，则_______，_______．又若厘米，则的周长为________．
（2）若的周长为，，则对角线与的和是________．
【答案】9cm 12cm 34cm 36cm
【分析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分，对边相等可得结果；
（2）根据△AOB的周长和AB的长度，得到AO+BO，从而得到AC+BD．
【详解】
解：（1）在平行四边形ABCD中，∵AC=18cm，BD=24cm，
∴AO=AC=9cm=CO，BO=BD=12cm=DO，
∵AB=13cm，
∴CD=13cm，
∴的周长为CO+DO+CD=9+12+13=34cm，
故答案为：9cm，12cm，34cm；
（2）∵△AOB的周长为30cm，
∴AB+AO+BO=30cm，
∵AB=12cm，
∴AO+BO=30-12=18cm，
∴AC+BD=2AO+2BO=36cm．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边相等．
41．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝3，则∠B的度数为___________，CD＝____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】60° 3
【分析】
根据平行四边形相邻两个角互补求出∠B=60°，再根据平行四边形对边相等可得CD=3．
【详解】
由题意的：∠B=180°-∠A=60°，
又因为AB=3，CD为AB的对边，所以CD=AB=3，
故答案为60°，3．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握并运用是解答此题的关键．
42．在中，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】
根据两直平行，同旁内角互补可知，可得答案．
【详解】
解，如图示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，
∴
∵，
∴
故答案是：
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键．
43．已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm．
【答案】20
【分析】
由 ABCD的周长为56cm，根据平行四边形的性质，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵ ABCD的周长为56cm，
∴AB+BC＝28cm，
∵AB：BC＝2：5，
∴AD＝BC＝×28＝20（cm）；
故答案为：20．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边相等的性质的应用是解此题的关键．
44．如图，平行四边形ABCD中，点E在 ( http: / / www.21cnjy.com )边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【分析】
分析题意，△FBE为△AB ( http: / / www.21cnjy.com )E的翻折后的三角形，则△FBE≌△ABE，利用全等三角形各对应边相等、平行四边形的性质及线段间的等量关系可求解FC的长．21*cnjy*com
【详解】
解：根据题意得△FBE≌△ABE，
∴EF＝AE，BF＝AB．
∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝DC．
∵△FDE的周长为8，即DF+DE+EF＝8，
∴DF+DE+AE＝8，即DF+AD＝8．
∵△FCB的周长为18，即FC+BC+BF＝18，
∴FC+AD+DC＝18，即2FC+AD+DF＝18．
∴2FC+8＝18，
∴FC＝5．
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题， ( http: / / www.21cnjy.com )已知折叠问题就是已知图形的全等，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化．
45．在平行四边形中，，则________________________．
【答案】
【分析】
根据，判定和互补．已知的度数，即可得的度数．
【详解】
解：，
，
，则．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．此题比较简单．
三、解答题
46．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：BF=EF；
（2）若AB=6，DE=3，求□ABCD的周长．
【答案】（1）详见解析；（2）30
【分析】
（1）只要证明CB=CE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；
（2）根据CE=CB，求出BC的长即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AB∥CE，
∴∠E=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠E=∠CBE，
∴CB=CE，
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵DE=3，
∴BC=CE=9，
∴平行四边形ABCD的周长为30．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
47．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，如果AC=14，BD=8，AB=x，求x的取值范围
【答案】3＜x＜11．
【分析】
根据平行四边形的性质求出AO和BO，根据三角形三边关系定理得出即可．
【详解】
解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=14，BD=8，
∴AO=CO=AC=7，BO=DO=BD=4，
在△AOB中，7-4＜x＜7+4，
3＜x＜11，
即x的取值范围为3＜x＜11．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系定理，能求出AO和BO的长是解此题的关键．
48．如图，在中，，，，垂足分别为点、
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求的度数；
（2）如果，求线段的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用平行四边形的邻角互补的知识先求出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠C的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF的度数．
（2）求出∠BAE的度数，然后在直角三角形中利用30°及勾股定理的知识求出AE的长．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=60°，
∴∠C=120°，
∵AE⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com )，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°，
∴∠EAF=60°；
（2）在中，，，
∵，
∴，
∴．
由勾股定理，得，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的应用，掌握平行四边形的邻角互补及勾股定理是解题的关键．
49．如图，在中，对角线相交于点，且．
（1）求的度数；
（2）求的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）的度数为；（2）24
【分析】
（1）由平行四边形对角线互相平分的性质再结合勾股逆定理可判定是直角三角形，易知；
（2）由平行四边形的性质可知，求出的面积即可.
【详解】
解：在中,对角线相交于点,且,
， ．
又且,
,
是直角三角形,
的度数为
平行四边形的每一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，
;
的面积为
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，涉及了勾股定理，灵活应用平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键.
50．如图，的周长为相交于点交于点，求的周长．
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【答案】
【分析】
由平行四边形的周长可得，由其对角线互相平分可知，根据线段垂直平分线的性质，等量代换可得的周长．21世纪教育网版权所有
【详解】
解： 的周长为,
，
相交于点，
，
又交于点,
．
的周长,
的周长为
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质是解题的关键.
51．如图，BD是 ABCD的对角线，点E、F分别在BD上，连接AE、CF．
（1）请你添加一个条件，使△AED≌△CFB，并给予证明；
（2）在你添加的条件后，不再添加其它条件，写出图中所有全等的三角形．
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【答案】（1）DE＝BF，见解析；（2）△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，见解析
【分析】
（1）添加条件：DE＝BF；由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，由SAS证明△AED≌△CFB即可；
（2）由（1）得：△AED≌△CFB；得出AE＝CF，由SSS证明△ABD≌△CDB，由SSS证明△ABE≌△CDF即可．
【详解】
解：（1）添加条件：DE＝BF；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△AED和△CFB中，，
∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）图中所有全等的三角形为△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF；理由如下：
由（1）得：△AED≌△CFB；
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AB＝CD，
在△ABD和△CDB中，，
∴△ABD≌△CDB（SSS）；
∵BF＝DE，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．21教育名师原创作品
52．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，求OA的长度范围．
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【答案】1＜OA＜4
【分析】
由AB＝3，BC＝5，利用三角形的三边关系，即可求得2＜AC＜8，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得OA的取值范围．
【详解】
∵AB＝3，BC＝5，
∴2＜AC＜8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC，
∴1＜OA＜4．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意平行四边形的对角线互相平分．
53．如图所示，在平行四边形中，于，于，若，，，求平行四边形的周长．
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【答案】20
【解析】
【分析】
在直角三角形AFB中，知道∠A=60°，AF=3，可求出AB的长，同理在Rt△BEC中，可求出BC，因为平行四边形对边相等，即可求出周长．
【详解】
解：在中，，，，
，，
同理在中，，
在平行四边形中，
，，
平行四边形的周长为
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质.
54．已知：如图，在 ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BF＝DE
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【答案】见解析.
【分析】
由AAS证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等BE＝DF，即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中， ，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．，
55．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，求△BOC的周长为多大？
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【答案】14
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC+BD＝16，
∴OB+OC＝8，
∴△BOC的周长＝BC+OB+OC＝6+8＝14．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，属于中考常考题型．
56．如图，平行四边形ABCD中，AD＞AB
（1）分别作∠ABC和∠BCD的平分线，交AD于E、F．
（2）线段AF与DE相等吗？请证明．
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【答案】（1）详见解析；（2）AF与DE相等，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的作法作出∠ABC和∠B ( http: / / www.21cnjy.com )CD的平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF，故AF=DE．21教育网
【详解】
（1）如图：BE、CF即∠ABC和∠BCD的平分线，
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（2）解：AF与DE相等．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，
即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE．
故答案为（1）详见解析；（2）AF与DE相等，证明见解析．
【点睛】
本题考查平行角平分线的作法以及四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，能综合运用性质进行推理是解题的关键．
57．如图，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，AB=4，AC=6，BD=10．（1）求∠ACD的度数；（2）求BC的长.
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【答案】（1）90°；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形ABCD的对角线AC和B ( http: / / www.21cnjy.com )D交于点O，若AC=6，BD=10，AB=4，易求得OA与OB的长，又由勾股定理的逆定理，可证得∠BAO=90°，由AB∥CD，可得∠ACD的度数；
（2）在直角△ABC中，利用勾股定理即可求BC的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=6，BD=10，AB=4，
∴OA=OC=AC=3，OB=OD=5，
∴OA2+AB2=OB2，
∴△OAB是直角三角形，且∠BAO=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAO=90°；
（2）在直角△ABC中，BC= ．
故答案是：（1）90°；（2） ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
58．已知如图在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：∠AED=∠CFB．
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【答案】证明见解析.
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC．AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCF，
在△ADE与△BCF中，，
∴△ADE≌△BCF，
∴∠AED=∠CFB．
59．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据平行四边形的性质证明即可．
【详解】
解：，
，，，
∴点、分别为、的中点
，，
，
在和中，，
，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质；掌握好平行四边形的性质，熟悉三角形全等判定的条件是解决本题的关键．
60．如图，在中，于E，于F，若与的长度之比为3：4，求的值．
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【答案】3:4
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得A ( http: / / www.21cnjy.com )B=CD， AD=BC，又由AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，可得平行四边形ABCD的面积的两种表示方法，结合AB：AD=3：4可得结果．
【详解】
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AD=BC，
又∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴平行四边形ABCD的面积=BC×AE=CD×AF，即AD×AE=AB×AF，
又AB：AD=3：4，
∴．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用两种方法表示平行四边形的面积．
61．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD交AD于E，BF平分∠ABC交AD于F，若AB=6，BC=4，求EF的长．
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【答案】8
【分析】
根据平行四边形的性质可得∠AFB=∠F ( http: / / www.21cnjy.com )BC，由角平分线可得∠ABF=∠FBC，所以∠AFB=∠ABF，所以AF=AB=6，同理可得DE=CD=6，则根据EF=AF+DF-AD即可求解．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD ( http: / / www.21cnjy.com )∥BC，AD=BC=4，DC=AB=6．
∴∠AFB=∠FBC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC．
∴∠AFB=∠ABF．
∴AF=AB=6．
同理可得DE=DC=6．
∴EF=AF+DE-AD=6+6-4=8．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线+平行线=等腰三角形”转化线段．
62．如图，四边形中，，，E，F为上两点，且．求证：
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【答案】见解析
【分析】
根据SAS即可证明求解．
【详解】
∵
∴∠ABE=∠CDF
在△ABE和△CDF中
∴．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知SAS的运用．
63．在中，点和点是直线上不重合的两个动点，，．
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（1）如图①，求证：；
（2）由图①易得，请分别写出图②，图③中，，三者之间的数量关系，并选择一个关系进行证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）图②：，理由见解析；图③：，理由见解析；（3）或4．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质证明≌，得，由即可得出；
（2）图②，证明≌，得，根据线段的和得结论；
图③，证明≌，得，同理得出结论；
（3）分别代入图①和图②条件下的，计算即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴≌（AAS），
∴，
∴，即．
（2）图②：，理由是：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴≌（AAS），
∴，
∴．
图③：，理由是：
同理得：≌（AAS），
∴，
∴．
（3）图①，，
图②，，
∴或4．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，属于四边形综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
64．如图，在平行四边形ABCD中，BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，求证：BE=BC．
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【答案】证明见解析．
【分析】
利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BCE=∠E，根据等角对等边即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥CD，
∴∠E=∠ECD，
∵BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，
∴∠BCE=∠ECD，
∴∠BCE=∠E，
∴BE=BC．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定定理，平行四边形的性质．一半若要证明两条线段相等，而且这两条线段在同一三角形中，可用“等角对等边证明”．
65．证明题：如图，在 ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE＝CF．
求证：∠BEF＝∠DFE．
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【答案】见解析
【分析】
根据平行四边形ABCD的性质（平行四边形的对 ( http: / / www.21cnjy.com )边平行且相等）、平行线的性质以及全等三角形的判定定理SAS得到△ABE≌△CDF，于是得到∠AEB＝∠DFC，即可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB＝CD，AB∥CD （平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠DFC，
∴∠BEF＝∠DFE．
【点睛】
此题主要考查平行四边形的性质与证明，解题的关键是熟知平行四边形的性质、全等三角形的判定定理．
66．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点于点.
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（1）求证:；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） 2.
【分析】
（1）先证明，得到，再根据，利用等腰三角形性质得到结论；
（2）根据平行四边形性质和，求出BE和AB，问题得解．
【详解】
（1）证明:四边形是平行四边形，
即
.
平分
又
；
（2）解:四边形是平行四边形，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，证明是解答本题关键．
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