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第一讲 平行四边形的性质
一、单选题
1．已知在平行四边形ABCD中，∠A＝∠B+40°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．70° C．110° D．140°
2．如图，中，对角线相交于点交于点，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）
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A．28 B．24 C．21 D．14
3．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BO的长为（ ）
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A．5 B．8 C．10 D．11
5．如图，周长为24的平行四边形对角线、交于点，且，若，则的周长为（ ）．
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A．6 B．9 C．12 D．15
6．如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
7．如图，在中，，对角线与相交于点，交于，若的周长为，则的周长是（ ）
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A． B． C． D．无法确定
8．如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．6 B．12 C． D．
9．如图，四边形是平行四边形，P是上一点，且和分别平分和．如果，，则的面积等于（ ）．【来源：21·世纪·教育·网】
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A．24 B．30 C． D．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
11．如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）21·cn·jy·com
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A．
B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
12．已知点，，，．记为内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则所有可能的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
13．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（ ）
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A．60 B．30 C．20 D．16
14．已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
15．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
16．在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，∠B＝60°，AC＝2cm，则平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．10cm B．11cm C．12cm D．13cm
17．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点作线段，使点，点分别在边，上（不与四边形顶点重合），连结，．设，下列结论：①若，则；②若，则与面积相等；③若，则．其中正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．① B．② C．③ D．②③
18．已知平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连结，则的长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．2 B．3 C．4 D．5
19．如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是（ ）
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A．16 B．14 C．20 D．24
20．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（ ）
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A． B． C． D．
21．如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（ ）
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A． B．
C． D．
22．已知 ABCD，点E是 ( http: / / www.21cnjy.com )边BC上的动点，以AE为边构造 AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中， AEFG面积变化情况是（ ）
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A．一直增大 B．保持不变
C．先增大后减小 D．先减小后增大
23．在ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，DE平分∠ADC交AB于点E，则下列说法中不正确的是（ ）
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A．AD=DF B．AF⊥DE C．AE=DF D．AE=DE
24．如图，在中，已知AC = 4cm，若的周长为14cm，则的周长为（ ）
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A．14 cm B．28 cm C．10 cm D．20 cm
25．已知在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在□ABCD中，分别以AB、 ( http: / / www.21cnjy.com )AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CE、EF，则以下结论中不正确的是（ ）21cnjy.com
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A．△CDF≌△EBC B．∠ECF＝60° C．△ECF是等边三角形 D．CG⊥AE
27．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AC＝8，BD＝10，则边AB的取值范围是（ ）
A．8＜AB＜10 B．1＜AB＜9 C．4＜AB＜5 D．2＜AB＜18
28．如图，在平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是的中点，连接交于点．若，则的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
29．如图，在□ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=4，则AB的长为（ ）
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A．4 B．3 C． D．2
30．如图，在平行四边形ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD，且点E是CD的中点，有如下结论：①AE⊥EF；②AF=CF+CD；③AF=CF+AD；④AB＝BF，其中正确的是（ ）
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A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④
31．如图，在□ABCD中，AB=5，BC=6，点O是AC的中点，OE⊥AC交边AD于点E，则△CDE的周长为等于（ ）
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A．5.5 B．8 C．11 D．22
32．如图,在中,将沿折叠后,点恰好落在的延长线上的点处,若则的周长为（ ）
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A． B． C． D．
33．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是（ ）
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A．60cm2 B．30cm2 C．20cm2 D．16cm2
34．如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（ ）
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A． B． C． D．
35．如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．
36．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：
①CN⊥BD；
②MN＝NP；
③四边形MNCP是菱形；
④ND平分∠PNM．
其中正确的有（ ）
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A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
37．如图，与的周长相等，且，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
38．如图，已知△ABC的面积 ( http: / / www.21cnjy.com )为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）21教育名师原创作品
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A．2 B．3 C．4 D．5
39．如图，在平行四边形中，平分，交于点且，延长与的延长线相交于点，连接、.下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤；其中正确的有( )21*cnjy*com
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A．个 B．个
C．个 D．个
40．如图，为平行四边形的对角线，，于，于，、相交于，直线交线段的延长线于，下面结论：①；②；③；④其中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
41．如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
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A．2 B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
42．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝_____度．
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43．如图，在平行四边形纸片中，，点分别在边上，将纸片沿折叠，使点分别落在点处，且经过点．当时，，则的长是_______．
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44．已知平行四边形中，点和点分别是边和上的点，，，将沿翻折，点落在点处，交于点，则______．
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45．在 ABCD中，AB＝5，AC＝，BC边上的高为4，则BC＝_____．
46．如图，在 ABCD中，AB＝，AD＝4，将 ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_____．21*cnjy*com
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47．如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
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48．如图，已知的周长为，，，则的面积为______．
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49．如图， ABCD的面积为32，E，F分别为AB、AD的中点，则的面积为_____．
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三、解答题
50．如图，是平行四边形，是边上一点，只用一把无刻度的直尺在边上作点，使得．画出满足题意的点，并简要说明你的画图过程．
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51．如图，将正方形网格放置在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C的坐标分别为A（1，3）、B（4，4）、C（2，1）．
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（1）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为 ；
（2）若在坐标轴上有一点D，使点A、B、C、D构成平行四边形，直接写出点D的坐标．
52．如图，在平行四边形ABCD中，．
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（1）用尺规作图的方法，作出AB边的中垂线，交AB边于点E、BC边于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；
（2）连接AF，若，求的度数．
53．如图，在平行四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．【版权所有：21教育】
（1）求证：BP＝CP；
（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．
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54．操作探究：
（1）现有一块等腰三角形纸板，为底边，量得周长为，底比一腰多．若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请在下列方框中画出你能拼成的各种四边形的示意图，并在图中标出四边形的各边长；21教育网
（2）计算拼成的各个四边形的两条对角线长的平方和．
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55．如图，在中， 分别是和的角平分线，已知．
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（1）求线段的长；
（2）延长，交的延长线于点Q．
①请在答卷上补全图形；
②若，求的周长．
56．在中，，点E在边所在的直线上，过点E作交直线于点D，交直线于点F，构造出平行四边形．
（1）若点E在线段上时．
①求证：．
②求证：．
（2）点E在边所在的直线上，若，，请作出简单示意图并直接写出的长度．
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57．如图所示，在平行四边形中，，分别为，上的高，且．求平行四边形各内角的度数．
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58．如图，平行四边形中，分别平分和，交于边上点P，．
（1）求线段的长．
（2）若，求的面积．
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59．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为点E，点F．求证：BE=DF
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60．如图，在中，，为对角线上的两点，且．求证：．
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61．如图，在中，，是的中点，连接、．
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（1）求证：是的平分线；
（2）求的大小．
62．如图所示，在一条河的两岸 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸垂直，设河的宽度不变，试问：桥建在何处，才能使从A到B的距离最短？保留作图痕迹并说明理由．
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63．已知：直线与轴、轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上，将沿折叠后，点恰好落在AB边上点D处，如图．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求AC的长；
（3）点P为平面内一动点，且满足以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出一个符合要求的点坐标．
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64．如图，在中，，将沿翻折后，点恰好与点重合，求折痕的长．
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65．如图①，在中，AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒．
（1）线段PD的长为_________（用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每 ( http: / / www.21cnjy.com )秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动。当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
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66．如图，平行四边形ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）连接EC，AF，求证：四边形AECF是平行四边形．
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67．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长CB至点E，使得BE＝BC，连结DE交AB于点F．
（1）求证：△ADF≌△BEF．
（2）连结DB，若AD＝DB＝5，CD＝6，求DE的长．
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68．下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．
已知：平行四边形ABCD．
求作：点M，使点M为边AD的中点．
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作法：如图1，
①作射线BA；
②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；
③连接EC交AD于点M．
所以点M就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
69．如图，直线y＝x＋9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．
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（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．
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第一讲 平行四边形的性质
一、单选题
1．已知在平行四边形ABCD中，∠A＝∠B+40°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．70° C．110° D．140°
【答案】C
【分析】
根据题意得：∠A+∠B＝180°，∠A＝∠B+40°，代入解方程即可求得∠A的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B+40°，
∴∠B+40°+∠B＝180°，
∴∠B＝70°，
∴∠A＝110°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质,解题关键是根据已知条件列出方程求解．
2．如图，中，对角线相交于点交于点，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）
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A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的性质OA=OC及OE⊥AC，可得AE=CE，从而△ADE的周长为AD+CD，由此可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵OE⊥AC
∴OE是线段AC的垂直平分线
∴AE=CE
∵平行四边形ABCD的周长为28，即2（AD+CD）=28
∴AD+CD=14
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=14
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、多边形的周长，关键是根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，从而把△ADE的周长转化为平行四边形的两邻边的和．www-2-1-cnjy-com
3．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得△ABE是等腰三角形，即可得AB＝AE，继而求得DE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝7，
∴AD∥BC，AD＝BC＝7，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵AD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝3．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，关键是证明等腰三角形．
4．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BO的长为（ ）
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A．5 B．8 C．10 D．11
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC＝3，再利用勾股定理可得BO的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝3，
∵AB⊥AC，AB＝4，
∴BO＝，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
5．如图，周长为24的平行四边形对角线、交于点，且，若，则的周长为（ ）．
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A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】
依据平行四边形ABCD的周长为24，即可得到AB+BC=12，再根据AO=AC，OE=AB，AE=BC，即可得到△AOE的周长．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴AB+BC=12，
∵平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，且BE=CE，
∴AO=AC=3，OE=AB，
∵AC⊥CD，且BE=CE，
∴Rt△ABC中，AE=BC，
∴△AOE的周长=AO+AE+OE=3+（BC+AB）=3+×12=9，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，求出BE、BF、EF，根据相似得出CH=1，EH=，根据三角形的面积公式求△DFH的面积，即可求出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，AB∥CD，AB=CD=3，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=2，
∵∠B=60°，EF⊥AB，
∴∠FEB=30°，
∴BF=1，
由勾股定理得：EF=，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠ECH，
在△BFE和△CHE中，
，
∴△BFE≌△CHE（ASA），
∴EF=EH=，CH=BF=1，
∴DH=4，
∵S△DHF=DH FH=，
∴S△DEF=S△DHF=，
故选：C．
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【点睛】
本题主要考查对平行四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
7．如图，在中，，对角线与相交于点，交于，若的周长为，则的周长是（ ）
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A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质，及交于可以证明是线段的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，可以得到，再利用线段间的关系可以证明的周长为周长的两倍.
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴，；
∵交于；
∴是线段的垂直平分线，
∴；
∴；
∴的周长为
∴的周长为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质和垂直平分线的性质，具有一定的综合性，属于中等题型.
8．如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）21教育网
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A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′．
【详解】
解：设与交于点，作于．如图所示：
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
故选：．
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【点睛】
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．【版权所有：21教育】
9．如图，四边形是平行四边形，P是上一点，且和分别平分和．如果，，则的面积等于（ ）．
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A．24 B．30 C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行四边形性质得出AD∥CB，A ( http: / / www.21cnjy.com )B∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5cm，BC=PC=5cm，得出DC=10cm=AB，再利用直角三角形面积求法即可得出答案．
【详解】
解：过点P作PQ∥AD，交AB于Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，
在△APB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠DPA，
∴∠DAP=∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=5cm，
同理：PC=CB=5cm，
即AB=DC=DP+PC=10cm，
在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，
∴BP==6cm，
∴△ABP的面积=×AP×BP=24cm2，
故选：A．
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【点睛】
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用，正确得出BP的长是解题关键．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【详解】
解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，
∴AE＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
11．如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
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A．
B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
【答案】C
【分析】
由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即可得出结论．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
于点，于点，
，
；
平行四边形的面积，，，
，
；若，
则，
，
，，
，，
平行四边形的周长；
的面积，的面积，平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，选项、、不符合题意，选项符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
12．已知点，，，．记为内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则所有可能的值为（ ）
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
【答案】C
【分析】
分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
【详解】
解：当t=0时，A（0，0） ( http: / / www.21cnjy.com )，B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4 ( http: / / www.21cnjy.com )），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
当t=1.5时，A（0，0），B（0， ( http: / / www.21cnjy.com )4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；
当t=2时，A（0，0），B（0，4）， ( http: / / www.21cnjy.com )C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；
故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．
13．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（ ）
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A．60 B．30 C．20 D．16
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义以及两直线 ( http: / / www.21cnjy.com )平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出 ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴ ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
14．已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=110°，
∴∠A=∠C=55°，
∴∠B=125°．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
15．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（ ）21*cnjy*com
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A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】D
【分析】
由已知平行四边形ABCD，D ( http: / / www.21cnjy.com )E平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD．
【详解】
解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，
∴AD∥BC，CD=AB=6cm，∠EDC=∠ADE，AD=BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6cm，
∴BC=BE+CE=4+6=10cm，
∴AD=BC=10cm，
故选：D．
【点睛】
此题考查的知识点是平行四边形的性质及角平分线的性质，关键是由平行四边形的性质及角平分线的性质得等腰三角形通过等量代换求出AD．
16．在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，∠B＝60°，AC＝2cm，则平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．10cm B．11cm C．12cm D．13cm
【答案】C
【分析】
可设，因为，，所以，所以，在中，利用勾股定理可求，则平行四边形的边AB，BC的长度可求，则周长可求．
【详解】
如图：
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设，则
在中，由勾股定理可得：
平行四边形ABCD周长为：
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质进行推理计算是解题关键．
17．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点作线段，使点，点分别在边，上（不与四边形顶点重合），连结，．设，下列结论：①若，则；②若，则与面积相等；③若，则．其中正确的是（ ）
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A．① B．② C．③ D．②③
【答案】B
【分析】
由，则有，分别是，的中点，进而可判定①，当时，则有的面积=，的面积=，然后可判定②；若⊥成立，则必须，因为前提≌，，进而可判定③．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，
∵点是对角线的中点，
∴BO=DO，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴DE=BF，
∵，
∴，分别是，的中点，
∴，故①错；
连接EC，如图所示：
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∵，
∴的面积=，
∵点O是EF的中点，
∴的面积=，所以与面积相等，故②对；
若⊥成立，则必须，因为前提≌，，得不到，故③错；
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18．已知平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连结，则的长为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
利用的周长是平行四边形周长的一半，可得出AE=EC．再根据点O为AC中点，可知EO垂直平分AC，再利用勾股定理即可求出EO．
【详解】
∵的周长是平行四边形周长的一半，即AD+CD=CD+DE+EC，
∴AE=EC=5，即为等腰三角形．
∵点O是平行四边形对角线交点，
∴点O为AC中点．
∴EO垂直平分AC．
∴AO=4．
在中，．
故选：B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质以及勾股定理．根据题意得出AE=EC是解答本题的关键．
19．如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是（ ）
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A．16 B．14 C．20 D．24
【答案】C
【分析】
根据角平分线的性质以及两直线平行， ( http: / / www.21cnjy.com )内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵在平行四边形中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在平行四边形中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴平行四边形ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
20．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52° ( http: / / www.21cnjy.com )，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°，
∴∠FED′=108°-72°=36°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
21．如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
解根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠BEC＝28°，
∵CE＝BC，
∴∠EBC＝∠BEC＝28°，
∴∠ABC＝56°，
∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠AED，
∵AE＝ED，
∴∠D＝∠DAE＝56°，
∴∠BAE＝124° 56°＝68°，
∴∠AED＝180° 56° 56°＝68°，
∴∠AEB＝180° 68° 28°＝84°，
故选：B．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC解答．
22．已知 ABCD，点E是边BC上 ( http: / / www.21cnjy.com )的动点，以AE为边构造 AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中， AEFG面积变化情况是（ ）
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A．一直增大 B．保持不变
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】B
【分析】
延长BE，与GF的延长线交于点P，先证 ( http: / / www.21cnjy.com )明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．所以根据图示进行判断即可．
【详解】
解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S1、S2、S3、S4，
延长BE，与GF的延长线交于点P．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BP，∠ADG＝∠P．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF，
∴∠G＝∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四边形ADPE是平行四边形．
在△AGD与△EFP中，，
∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S4＝S△EFP，
∴S4+S四边形AEFD＝S△EFP+S四边形AEFD，
即S AEFG＝S ADPE，
又∵ ADPE与 ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，
∴S ABCD＝S ADPE，
∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积．
故 AEFG面积不变，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了平行四边形面积变化情况， ( http: / / www.21cnjy.com )解题的关键是根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．
23．在ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，DE平分∠ADC交AB于点E，则下列说法中不正确的是（ ）
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A．AD=DF B．AF⊥DE C．AE=DF D．AE=DE
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的定义可判断A、B和C正确，无法判断D正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°．
∵AF平分∠BADF，DE平分∠ADC，
∴∠BAF=∠DAF=∠BAD， ∠ADE=∠CDE=∠ADC，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE，
故B正确；
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠DFA， ∠AED=∠CDE，
∴∠DAF=∠DFA， ∠ADE=∠AED，
∴AD=DF，AD=AE，
∴AE=DE，
故A、C正确；
无法证明D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
24．如图，在中，已知AC = 4cm，若的周长为14cm，则的周长为（ ）
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A．14 cm B．28 cm C．10 cm D．20 cm
【答案】D
【分析】
先根据三角形的周长公式可得，再根据平行四边形的性质和周长公式即可得．
【详解】
，的周长为，
，即，
解得，
四边形ABCD是平行四边形，
，
则的周长为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和周长公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
25．已知在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的对角相等、邻角互补，即可得出∠A的度数．
【详解】
∵在 ABCD中，∠B+∠D=200°， ( http: / / www.21cnjy.com )∠B=∠D，
∴∠B=∠D=100°，
又∵∠A+∠B=180°，
∴∠A=180°-100°=80°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
26．如图，在□ABCD中，分别以AB、 ( http: / / www.21cnjy.com )AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CE、EF，则以下结论中不正确的是（ ）
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A．△CDF≌△EBC B．∠ECF＝60° C．△ECF是等边三角形 D．CG⊥AE
【答案】D
【分析】
A、根据平行四边形的对角相等，等边三角形的每 ( http: / / www.21cnjy.com )一个角都是60°表示出∠CDF＝∠EBC，平行四边形的对边相等，等边三角形的三条边都相等可得CD＝EB，DE＝BC，然后利用“边角边”可证明△CDF和△EBC全等；
B、C：先表示出∠EAF ( http: / / www.21cnjy.com )，可得∠CDF＝∠EAF，同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝CF＝EF，判定△ECF是等边三角形，即可判断B、C选项；
D、根据等边三角形的性质，只有∠ABC＝150°时，CG⊥AE．
【详解】
A、∵△ABE、△ADF是等边三角形，
∴FD＝AD，BE＝AB，∠ADF＝∠ABE＝60°
在 ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，∠ADC＝∠ABC，
∴FD＝BC，BE＝DC，
∵∠ADC＝∠ABC，∠ADF＝∠ABE，
∴∠CDF＝∠EBC，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故A正确；
B、C：∵∠EAF＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180° ∠CDA）＝300° ∠CDA，
∠FDC＝360° ∠FDA ∠ADC＝300° ∠CDA，
∴∠CDF＝∠EAF，
同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，
∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，
∴△EAF≌△EBC（SAS），
∴∠AEF＝∠BEC，
∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，
∴∠FEC＝60°，
∵CF＝CE，
∴△ECF是等边三角形，
故B、C选项正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．
27．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AC＝8，BD＝10，则边AB的取值范围是（ ）
A．8＜AB＜10 B．1＜AB＜9 C．4＜AB＜5 D．2＜AB＜18
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质求出OA和OB，在△AOB中，根据三角形三边关系定理即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )，AC=8，BD=10，
∴OA=OC=4，OB=OD=5，
在△AOB中，由三角形三边关系定理得：5-4＜AB＜5+4，
即1＜AB＜9，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分．
28．如图，在平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是的中点，连接交于点．若，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质求出BD，根据条件证出，即可得到结果；
【详解】
四边形是平行四边形，，
，，且，
且，
，
则，
是中点，
，
，
，
，
则．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．
29．如图，在□ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=4，则AB的长为（ ）
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A．4 B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】
根据平行四边形性质得出AB=DC，AD//B ( http: / / www.21cnjy.com )C，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=4，
∴DC=AB=DE=4，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定的应用，关键是求出DE=AE=DC．
30．如图，在平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD，且点E是CD的中点，有如下结论：①AE⊥EF；②AF=CF+CD；③AF=CF+AD；④AB＝BF，其中正确的是（ ）
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A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④
【答案】A
【分析】
首先延长AD，交FE的延长线于点M ( http: / / www.21cnjy.com )，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM=EF，又由AE平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE⊥EF．
【详解】
延长AD，交FE的延长线于点M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M=∠EFC，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△DEM和△CEF中，
，
∴△DEM≌△CEF（AAS），
∴EM=EF，
∵AE平分∠FAD，
∴AM=AF，AE⊥EF．
即AF=AD+DM=CF+AD；故①，③正确，②错误．
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故④错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
31．如图，在□ABCD中，AB=5，BC=6，点O是AC的中点，OE⊥AC交边AD于点E，则△CDE的周长为等于（ ）
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A．5.5 B．8 C．11 D．22
【答案】C
【分析】
由平行四边形ABCD的对角线相 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，继而可得△CDE的周长等于AD+CD，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=11．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵AB=5，BC=6，
∴AD+CD=11，
∵OE⊥AC，OA=OC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
32．如图,在中,将沿折叠后,点恰好落在的延长线上的点处,若则的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质可得CD=AB=3， ( http: / / www.21cnjy.com )AD=BC，由折叠可知AE=AD，CE=CD=3，∠ACE=∠ACD，∠ACE＋∠ACD=180°，从而求出∠ACE=∠ACD=90°，DE=6，利用勾股定理即可求出AD，从而求出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=3，AD=BC
∵将沿折叠后,点恰好落在的延长线上的点处,
∴AE=AD，CE=CD=3，∠ACE=∠ACD，∠ACE＋∠ACD=180°
∴∠ACE=∠ACD=90°，DE=6
在Rt中，AD=
∴AE=5
∴的周长为AD＋AE＋DE=16
故选C．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、折叠的性质和勾股定理，掌握平行四边形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题关键．
33．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是（ ）
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A．60cm2 B．30cm2 C．20cm2 D．16cm2
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等 ( http: / / www.21cnjy.com )求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出 ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
在 ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴ ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
34．如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据平行四边形的性质求出∠D的度数，再根据三角形的内角和定理和平角定义求出∠AED和∠AEF的度数，再由折叠性质得∠=∠AED，进一步计算即可解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=55°，
∵∠DAE=20°，
∴∠AED=180°﹣∠DAE﹣∠D=180°﹣20°﹣55°=105°，
∠AEF=180°﹣∠AED=180°-105°=75°，
由折叠性质得：∠=∠AED=105°，
∴=∠﹣∠AEF=105°﹣75°=30°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的内角和定理、平角定义、折叠性质，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解答的关键．
35．如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )到CE=AE=4，用勾股定理逆定理证明∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，最后求出AC的长．
【详解】
解：连接CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，CD＝AB＝5
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE＝4，
∵DE＝3，
∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC＝AE＝4，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理和等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行求解．21cnjy.com
36．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：
①CN⊥BD；
②MN＝NP；
③四边形MNCP是菱形；
④ND平分∠PNM．
其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】
证出OC＝BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得MN∥AB，MN＝AB，由直角三角形的性质得NP＝CD，则MN＝NP，②正确；周长四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC，
∵AD＝AC，
∴OC＝BC，
∵N是OB的中点，
∴CN⊥BD，①正确；
∵M、N分别是OA、OB的中点，
∴MN是△AOB的中位线，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∵CN⊥BD，
∴∠CND＝90°，
∵P是CD的中点，
∴NP＝CD＝PD＝PC，
∴MN＝NP，②正确；
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
又∵NP＝PC，MN＝NP，
∴MN＝PC，
∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；
∵MN∥CD，
∴∠PDN＝∠MND，
∵NP＝PD，
∴∠PDN＝∠PND，
∴∠MND＝∠PND，
∴ND平分∠PNM，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
37．如图，与的周长相等，且，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据与的周长相等，且,可得两个四边形的边，进而可得△ABF为等腰三角形；由，可得,，根据周角定理可得；在等腰三角形ABF中即可求得的度数．
【详解】
解：∵与的周长相等，且,
∴,
∴；
∵，
∴,,
∴,
∴；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平四边形邻角与对角的性质及三角形内角和定理等．
38．如图，已知△ABC的面积为12，点D在 ( http: / / www.21cnjy.com )线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝×12＝4，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC＝S△ACF＝4，
∴S阴＝4．
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
39．如图，在平行四边形中，平分，交于点且，延长与的延长线相交于点，连接、.下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤；其中正确的有( )
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A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】B
【分析】
由平行四边形的性质和角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线的定义得出∠BAE=∠BEA，得出AB=BE=AE，得出②正确；由△ABE是等边三角形得出∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，得出①正确；由S△AEC=S△DEC，S△ABE=S△CEF得出⑤正确；③和④不正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，
∴S△ABE=S△CEF；⑤正确．
若AD与BF相等，则BF=BC，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
若S△BEF=S△ACD；则S△BEF=S△ABC，
则AB=BF，
∴BF=BE，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确；
正确的有①②⑤．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
40．如图，为平行四边形的对角线，，于，于，、相交于，直线交线段的延长线于，下面结论：①；②；③；④其中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
通过判断△BDE为等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，可对③进行判断；因为∠BHD=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，可判断④．
【详解】
解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴△BDE为等腰直角三角形，
，所以①错误；
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF=90°，
( http: / / www.21cnjy.com )而∠BHE+∠CBF=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，所以②正确；
在△BEH和△DEC中
，
∴△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，所以③正确；
∵∠BHD=90°+∠EBH，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )DG=90°+∠BDE，
∵∠BDE=∠DBE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，
所以④错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和判定，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握平行四边形的性质并能灵活运用是解题关键，本题中主要用到平行四边形对边相等，对角相等．
41．如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
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A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180° ∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝
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在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为：
故选：C
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理 ( http: / / www.21cnjy.com )、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
42．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝_____度．
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【答案】20
【分析】
由DB＝DC，∠C＝70°可以得到∠D ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝∠C＝70°，又由AD∥BC推出∠ADB＝∠DBC＝∠C＝70°，而∠AED＝90°，由此可以求出∠DAE．
【详解】
解：∵DB＝DC，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD，
∴AD∥BC， ∠AED＝90°，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠C＝70°，
∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．
43．如图，在平行四边形纸片中，，点分别在边上，将纸片沿折叠，使点分别落在点处，且经过点．当时，，则的长是_______．21世纪教育网版权所有
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【答案】
【分析】
首先延长DC与A′D′的延长线交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点H，由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易求得△BCH是等腰三角形，△D′FH是含30°角的直角三角形，然后设DE=x，利用勾股定理求出x，即可求得答案．
【详解】
解：延长DC，交A′D′的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠D=120°，∠DCB=∠A=60°，
由翻转变换的性质可知，∠ED′B=120°，
∴∠ED′H=60°，又D′E⊥CD，
∴∠H=30°，
∴∠CBH=30°，
∴CB=CH，
设DE=x，则DC=x+1，D′E=x，
∵AD-AB=1，
∴BC=x+1+1=x+2，
∴CH=x+2，
∴EH=x+3，
∵∠H=30°，
∴D′H=2D′E=2x，
∴EH==x，
∴x=x+3，
解得：x=，
∴AB=DC=，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
44．已知平行四边形中，点和点分别是边和上的点，，，将沿翻折，点落在点处，交于点，则______．
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【答案】
【分析】
先利用内角和求，再通过折叠的性质求，可求得，再通过平行四边形性质得到，利用平行线的性质即可得到，得到答案．
【详解】
解：∵，
∴
∵沿翻折
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴
∴．
故答案为：92°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、折叠性质以及内角和定理，能利用内角和定理求角度，并且发现平行四边形中对边平行是解答此题的关键．
45．在 ABCD中，AB＝5，AC＝，BC边上的高为4，则BC＝_____．
【答案】5或1
【分析】
分两种情况讨论：钝角三角形ABC和锐角三角形ABC，根据勾股定理求得EC和BE，再根据图形求出BC．
【详解】
解：分两种情况；
①如图1所示：
在 ABCD中，BC边上的高AE为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝，
BE＝，
∴BC＝BE+CE＝3+2＝5；
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②如图2所示：
同①得：EC＝2，AB＝CD＝5，BE＝3，
∴BC＝BE﹣EC＝3﹣2＝1；
综上所述，BC的长为5或1，
故答案为：5或1．
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【点睛】
本题主要考查运用勾股定理，结合平形四边形的知识，求边长，正确作出两种不同图形，灵活运用勾股定理知识解决问题，是解题的关键．
46．如图，在 ABCD中，AB＝，AD＝4，将 ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_____．
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【答案】3
【分析】
由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．
【详解】
解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵BC＝AD＝4，
∴BE＝2，
∴AE＝．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关键．
47．如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．21教育名师原创作品
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【答案】48
【分析】
首先根据平行四边形的性质可得 ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【详解】
解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，
∴4x＝6y，
得方程组：，
解得：
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．
故答案为：48．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．
48．如图，已知的周长为，，，则的面积为______．
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【答案】9
【分析】
过A作AE⊥BC于E，则由题意可得BC和AE的大小，再根据平行四边形的面积公式可以得到解答．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥BC于E，则三角形ABE为直角三角形，
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由题意可得：BC=2AB ，BC+AB =18÷2=9，
∴AB=3，BC=6，
又有∠BAD+∠B=180°，∠BAD=2∠B，
∴∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题关键．
49．如图， ABCD的面积为32，E，F分别为AB、AD的中点，则的面积为_____．
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【答案】12
【分析】
将三角形的面积分割为平行四边形的面积减去、和的面积，利用面积比与底（高）比来解决．
【详解】
解：连接AC、DE、BD，如图：
∵E为AB中点，
∴，
同理可得：，
∵F为AD中点，
∴，
∴；
故答案为：12．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的性质及三角形的面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
三、解答题
50．如图，是平行四边形，是边上一点，只用一把无刻度的直尺在边上作点，使得．画出满足题意的点，并简要说明你的画图过程．www.21-cn-jy.com
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【答案】见解析
【分析】
连接交于点，作射线交于点，点为所求作的点．
【详解】
解：如图，连接交于点，作射线交于点，点为所求作的点．
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证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AD∥BC，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△OBE≌ODF，
∴BE=DF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
51．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C的坐标分别为A（1，3）、B（4，4）、C（2，1）．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为 ；
（2）若在坐标轴上有一点D，使点A、B、C、D构成平行四边形，直接写出点D的坐标．
【答案】（1）见解析； A1（-1，-3）；（2）D（-1，0）
【分析】
（1）作A、B、C关于点O ( http: / / www.21cnjy.com )的对称点A1、B1、C1，顺次连结A1B1、B1C1、C1A1，则△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，关于原点对称坐标特征是横纵坐标符号改变，由A（1，3），可求A1（-1，-3）；
（2）由A、B、C、D构成平行四边形， ( http: / / www.21cnjy.com )可得AB=DC，设点D坐标为（m，0），利用点B与点A的横坐标之差等于点C与点D横坐标之差，即可求出D点坐标．
【详解】
解：（1）作A、B、C关于点O的对称点A1、B1、C1，顺次连结A1B1、B1C1、C1A1，
则△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，
关于原点对称坐标特征是横纵坐标符号改变，
∵A（1，3），
∴A1（-1，-3），
故答案为A1（-1，-3）；
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（2）∵A、B、C、D构成平行四边形，
∴AB=DC，
设点D坐标为（m，0），
∴有4-1=2-m，
∴m=-1，
∴D（-1，0）．
【点睛】
本题考查中心对称图形的画法，以及关于原点对 ( http: / / www.21cnjy.com )称的点的坐标特征，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质构造点B与点A的横坐标之差等于点C与点D横坐标之差是解题关键．
52．如图，在平行四边形ABCD中，．
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（1）用尺规作图的方法，作出AB边的中垂线，交AB边于点E、BC边于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；
（2）连接AF，若，求的度数．
【答案】(1)画图见解析，(2)；
【分析】
(1)按照垂直平分线的作法作图即可；
(2)根据平行四边形性质可求∠B，根据垂直平分线性质可求∠FAB，进而可求．
【详解】
解：(1)如图所示，直线EF即所求．
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(2) ∵AD∥BC，
∴∠B+=180°，
∵，
∴∠B=40°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=40°，
；
【点睛】
本题考查了垂直平分线的作法和性质，平行四边形的性质，解题关键是准确画图，熟练运用它们的性质进行推理计算．
53．如图，在平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．
（1）求证：BP＝CP；
（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）8
【分析】
（1）设AP与BC交于H，根据平行线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质得到∠AEB＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，推出BE平分∠ABC，求得AP平分∠BAC，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）设AP与BC交于H，
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∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC，
∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，
∴AP平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AH垂直平分BC，
∴PB＝PC；
（2）∵AH垂直平分BC，
∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，
∵∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
54．操作探究：
（1）现有一块等腰三角形纸板，为底边，量得周长为，底比一腰多．若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请在下列方框中画出你能拼成的各种四边形的示意图，并在图中标出四边形的各边长；
（2）计算拼成的各个四边形的两条对角线长的平方和．
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【答案】（1）见解析；（2）200或328或272或192.16
【分析】
（1）正确画出图形；
（2）分别根据勾股定理计算四个图形中对角线长的平方和．
【详解】
解：（1）如图所示：
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（2）设AB=AC=xcm，则BC=（x+2）cm，
由题意得（x+2）+2x=32，解得x=10cm．
因此AB=AC=10cm，则BC=12cm，
过点A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=6cm，
∴AD=8cm．
可以拼成四种四边形，如上图所示．
如图1，两对角线长的平方和为102+102=200；
如图2，AC2=，
∴两对角线长的平方和为；
如图3，BC2=，
∴两对角线长的平方和为；
如图4，∵×AB×CO＝×AC×BC，
10CO=6×8．
∴CO=4.8cm，CD=9.6cm．
∴两对角线长的平方和为．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意画出所有的图形，用到的知识点是勾股定理、平行四边形的性质等．
55．如图，在中， 分别是和的角平分线，已知．
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（1）求线段的长；
（2）延长，交的延长线于点Q．
①请在答卷上补全图形；
②若，求的周长．
【答案】（1）10；（2）①见解析；②36
【分析】
（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP＝AD＝5，CP＝BC＝5，进而得出AB的长；
（2）①根据题意画出图形；
②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可 ( http: / / www.21cnjy.com )得到AB＝QB，再根据BP平分∠ABQ，即可得出BP⊥AQ，AP＝QP，依据勾股定理得出AP的长，进而得到△ABQ的周长．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，
∴BC＝5，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DPA，
∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴DP＝AD＝5，
同理可得，CP＝BC＝5，
∴CD＝10，
∴AB＝10；
（2）①如图所示：
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②∵AD∥BQ，
∴∠Q＝∠DAP，
又∵∠DAP＝∠BAP，
∴∠Q＝∠BAP，
∴AB＝QB＝10，
又∵BP平分∠ABQ，
∴BP⊥AQ，AP＝QP，
∴Rt△ABP中，AP==8，
∴AQ＝16，
∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．
56．在中，，点E在边所在的直线上，过点E作交直线于点D，交直线于点F，构造出平行四边形．
（1）若点E在线段上时．
①求证：．
②求证：．
（2）点E在边所在的直线上，若，，请作出简单示意图并直接写出的长度．
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【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）10或6
【分析】
（1）①根据平行线的性质得到∠FEB=∠A，根据等边对等角得到∠B=∠A，可得∠FEB=∠B，从而可证；
②证明四边形CDEF是平行四边形，得到CF=DE，结合FE=FB可得结论；
（2）点E在边AB所在的直线上，分三种情况讨论，即可得出DE的长度．
【详解】
解：（1）①∵EF∥AC，
∴∠FEB=∠A，
又∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴∠FEB=∠B，
∴FE=FB；
②∵EF∥AC，DE∥BC，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CF=DE，
∵EF=BF，
∴DE+EF=CF+BF=BC；
（2）如图，同理可得：BF=EF，
∴DE=BC+BF=BC+EF=8+2=10．
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如图，同理可得：BF=EF，
DE=CF=BF-BC=EF-BC=2-8=-6（不合题意）．
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如图④，
DE=BC-BF=BC-EF=8-2=6．
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【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质以及等腰三角形的判定，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
57．如图所示，在平行四边形中，，分别为，上的高，且．求平行四边形各内角的度数．
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【答案】140°，40°，140°，40°
【分析】
由AE、AF分别为BC、CD上的高，且∠EAF=40°，即可求得∠C的度数，又由平行四边形的性质，即可求得答案．
【详解】
解：∵AE、AF分别为BC、CD上的高，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=40°，
∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=140°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=140°，∠B=∠D=180°-∠C=40°．
∴平行四边形ABCD各内角的度数分别为：140°，40°，140°，40°．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
58．如图，平行四边形中，分别平分和，交于边上点P，．
（1）求线段的长．
（2）若，求的面积．
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【答案】（1）5；（2）6
【分析】
（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB，即可求出答案；
（2）根据平行四边形性质得出AD∥CB，A ( http: / / www.21cnjy.com )B∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP，从而求得△ABP的面积．21·cn·jy·com
【详解】
解：（1）∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=2.5，
同理：PC=CB=2.5，
即AB=DC=DP+PC=5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，
在△APB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°；
在Rt△APB中，AB=5，BP=3，
∴AP==4，
∴△APB的面积=4×3÷2=6．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
59．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为点E，点F．求证：BE=DF
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【答案】证明见解析.
【分析】
根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠B=∠D，然后利用AAS定理证明△ABE≌△CFD可得BE=DF.
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CFD（AAS），
∴BE=DF
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，三角形的判定与性质，证明△ABE≌△CFD是解答本题的关键.平行四边形的性质：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分．
60．如图，在中，，为对角线上的两点，且．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
由题意可以证得，从而得到．
【详解】
解：如图，
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∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题综合考查平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，灵活应用演绎法和归纳法分析解题步骤是解题关键．
61．如图，在中，，是的中点，连接、．
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（1）求证：是的平分线；
（2）求的大小．
【答案】（1）见解析；（2）90°．
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形得 ( http: / / www.21cnjy.com )到∠DCE=∠CEB，然后根据AB=2BC，E是AB的中点得到∠CEB=∠ECB，等量代换可以得到∠DCE=∠BCE，从而证得CE是∠BCD的平分线；
（2）同理可得：DE平分∠ADC，然后根据两直线平行得到∠ADC+∠BCD=180°，从而得到∠EDC+∠ECD=90°，求得∠DEC=90°．
【详解】
解：（1）证明：在中，，为中点，
∴，，
∴，，
∴
∴是的角平分线
（2）根据（1）同理可得：，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠DEC=90°．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质．解题的关键是了解平行四边形的性质，难度不大．
62．如图所示，在一条河的两岸有两个村庄 ( http: / / www.21cnjy.com )，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸垂直，设河的宽度不变，试问：桥建在何处，才能使从A到B的距离最短？保留作图痕迹并说明理由．
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【答案】见解析
【分析】
根据A、B两点在河两侧，桥的方向与河岸垂直，由此关键在于使AP+BD最短，利用平行四边形法则即可．
【详解】
如图，作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与河岸相交于P，作，交于点D，则且．连接，利用平行四边形的性质可知．根据“两点之间，线段最短”，可知最短，即从A到B，路径最短，故桥应建在处．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查了轴对称---最短路径 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．
63．已知：直线与轴、轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上，将沿折叠后，点恰好落在AB边上点D处，如图．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求AC的长；
（3）点P为平面内一动点，且满足以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出一个符合要求的点坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）A(﹣8，0)，B(0，6)；（2）5；（3）P(﹣5，6)或P(﹣11，﹣6)或P(5，6)
【分析】
（1）分别代入x=0，y=0求出与之对应的y ( http: / / www.21cnjy.com )，x的值，进而可得出点B，A的坐标；
（2）利用勾股定理可求出AB的长，由折叠的性质可知：OC=CD，OB=BD=6，∠CDB=∠BOC=90°，进而可得出AD=4，∠ADC=90°，设CD=OC=x，则AC=8-x，在Rt△ADC中，利用勾股定理可求出x的值，进而可得出AC的长；
（3）分AB为对角线、AC为对角线以及BC为对角线三种情况考虑，由点A，B，C的坐标，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），即可求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，得到x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）．
（2）∵A（﹣8，0）．B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
由翻折不变性可知，OC＝CD，OB＝BD＝6，∠CDB＝∠BOC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，设CD＝OC＝x，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴OC＝3，AC＝OA﹣OC＝8﹣3＝5．
（3）分三种情况考虑，如图所示．
当AB为 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线时，∵点A的坐标为（-8，0），点B的坐标为（0，6），点C的坐标为（-3，0），
∴点P1的坐标为（-5，6）；
当AC为对角线时，∵点A的坐标为（-8，0），点B的坐标为（0，6），点C的坐标为（-3，0），
∴点P2的坐标为（-11，-6）；
当BC为对角线时，∵点A的坐标为（-8，0），点B的坐标为（0，6），点C的坐标为（-3，0），
∴点P3的坐标为（5，6）．
综上所述，当以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为（-5，6），（-11，-6）或（5，6）．
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【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理、折叠的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；（2）利用勾股定理，找出关于OC长的方程；（3）分AB为对角线、AC为对角线以及BC为对角线三种情况，利用平行四边形的性质求出点P的坐标．
64．如图，在中，，将沿翻折后，点恰好与点重合，求折痕的长．
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【答案】3
【分析】
首先由翻折性质得出AE是BC的垂直平分线，点E是BC的中点，则BE＝2，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：四边形是平行四边形
翻折后点恰好与点重合
在中，由勾股定理得
【点睛】
本题考查了平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质和翻折变换，熟练掌握平行四边形的对边相等且平行；明确翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换；它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，本题沿AE翻折，则直线AE就是对称轴．
65．如图①，在中，AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒．
（1）线段PD的长为_________（用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每 ( http: / / www.21cnjy.com )秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动。当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
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【答案】（1）；（2）；（3）4.8秒或7.2秒或9.6秒．
【分析】
（1）直接根据PD=AD-AP求解即可；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义证明∠DPC=∠DCP，得到DP=DC=3，然后列方程求解即可；
（3）分4中情况列一元一次方程求解即可．
【详解】
解：（1）PD=AD-AP=．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=3，
∴∠DPC=∠BCP．
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP=∠DCP，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DP=DC=3，
∴，
∴；
（3）当0=6-2t，
解得
t=0（舍去）；
当3=2t-6，
解得
t=4.8；
当6=2t-12，
解得
t=7.2；
当9=2t-18，
解得
t=9.6；
综上可知，t的值为4.8秒或7.2秒或9.6秒．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．21·世纪*教育网
66．如图，平行四边形ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）连接EC，AF，求证：四边形AECF是平行四边形．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出AO＝OC，AB∥CD，∠E＝∠F，即可证明△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，由△AOE≌△COF，得到OE＝OF，又AO＝CO，所以四边形AECF是平行四边形．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
∵在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）如图，连接EC、AF，
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由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．【出处：21教育名师】
67．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长CB至点E，使得BE＝BC，连结DE交AB于点F．
（1）求证：△ADF≌△BEF．
（2）连结DB，若AD＝DB＝5，CD＝6，求DE的长．
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【答案】（1）见解析；（2）8
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，证得∠ADF=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )E，AD=BE，∠A=∠FBE，再根据ASA判定全等即可；
（2）证明EF=DF，DB=BE，得出BF⊥DE，由勾股定理求出EF，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E
又∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
在△ADF和△BEF中，，
∴△ADF≌△BEF（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，
由（1）得：△ADF≌△BEF，
∴AD＝BE，EF＝DF，AF＝BF＝AB＝3，
∵AD＝DB＝5，
∴DB＝BE＝5，
∴BF⊥DE，
在Rt△BEF中，EF＝＝＝4，
∴DE＝2EF＝2×4＝8．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21*cnjy*com
68．下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．
已知：平行四边形ABCD．
求作：点M，使点M为边AD的中点．
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作法：如图1，
①作射线BA；
②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；
③连接EC交AD于点M．
所以点M就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）根据作法补全图形；
（2）根据平行四边形的性质和作法可得出AE＝AB及EM＝CM，再根据三角形中位线定理得出AM＝BC，最后根据等量代换即可得证．
【详解】
解：（1）如图，点M即为所求．
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（2）理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝CD，
∴AE＝AB，
∵AM∥BC，
∴EM＝CM，
∴AM＝BC，
∴AM＝AD，
∴AM＝MD．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线，熟练掌握性质定理是解题的关键．
69．如图，直线y＝x＋9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．
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（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）首先根据一次函数的解析式即可得出A，B的坐标，然后利用勾股定理求出AB的长度，然后根据角平分线的性质得出，再利用即可得出CD的长度，从而求出点C的坐标；
（3）首先利用平行四边形的性质找出所有可能的M点，然后分情况进行讨论，利用待定系数法即可求解．
【详解】
（1）令，则，
令，则，解得 ，
∴，
，
．
过点C作交AB于点D，
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∵BC平分， ，
．
，
，
解得 ，
．
（2）如图，能与A，B，C构成平行四边形的点有三处：，
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①点C与在同一直线，是经过点C与AB平行的直线，设其直线的解析式为 ，
将代入中，
得，解得 ，
∴CM所在的直线的解析式为；
②∵四边形是平行四边形，
∴ ．
，
．
设直线 的解析式为 ，
将代入解析式中得
解得
∴直线解析式为 ，
综上所述，CM所在的直线的解析式为或．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何综合，平行四边形的判定与性质，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．
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