华师大版数学九年级下册同步课件：26.3 第1课时　二次函数问题的实际应用(共21张PPT)

(共21张PPT)
26.3　第1课时　二次函数问题的实际应用
第26章 二次函数
情境导入
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
你能想出办法来吗？
获取新知
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
A
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出
解得
因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
水面宽3m时 从而
因此拱顶离水面高1.125m
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，
例题讲解
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，
A点坐标为(0，1.25)，
顶点D坐标为(1，2.25).
∴喷出的水流距水平面的最大高度是2.25m.
数学化
(2)如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流都落在水池内.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
解：设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
例2 一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示. 现测得当水面宽AB= 1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2. 4 m.这时，离开水面1. 5 m处，涵洞宽ED是多少 是否会超过1 m
分析
求涵洞的宽ED
转化
FD的长的2倍
转化
点D的坐标
解：根据图中所建的平面直角坐标系，可设抛物线所对应的函数表达式为y=ax2（a＜0），
将点B的坐标（0.8，-2.4）代入，求得a=-3.75，
则抛物线所对应的函数表达式为y=-3.75x2.
此时，设离开水面1.5m处的点D的坐标为（x，-0.9），
则x=≈0.49，∴ED= 2x=0.98＜1，
答：涵洞宽ED为0.98m，不会超过1m.
例3 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a=－0.2，
k=3.5，
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.
2.25a+k=3.05，
k=3.5，
x
y
O
抛物线形建筑物问题：
几种常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等，解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数表达式，然后利用函数表达式解决问题。
随堂演练
1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200m
C
2.如图,在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管的长为　　　　.
2.25m
3.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.
x
y
O
2
4.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2 m,则水面宽度增加　　　　m.
课堂小结
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解