华师大版数学九年级下册同步课件：27.1.3　圆周角(共31张PPT)

(共31张PPT)
27.1.3　圆周角
第27章 圆
情景导入
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？
获取新知
图中的三个角∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点和边有哪些特点
∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点都在圆上两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
判一判
·
C
O
B
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
（4）
×
×
×
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
直角
对于一般的弧所对的圆周角，有什么规律？
圆周角和直径的关系：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
如图，OB，OC都是☉O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？测量一下，请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC
测量与发现
∠BAC=
∠BOC=
∠BDC=
40°
40°
80°
测量:
∠BAC=∠BDC=
发现:
如图，若 ，∠A与∠B相等吗？测量一下，请说明理由.
∠B=
∠EOF=
∠A=
30°
30°
60°
测量:
∠A=∠B=
发现:
D
A
B
O
C
E
F
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.
猜想
，
， ，
为了证明猜想，将圆对折，使折痕经过圆心O和周角的顶点C，这时可能出现三种情况：(1)折痕是圆周角的一条边; (2)折痕在圆周角额内部；(3)折痕在圆周角的外部.
(1) (2) (3)
分别就这三种情况证明这一猜想.
已知：在⊙O中， 所对的圆周角是∠ACB,所对的圆心角是∠AOB.
求证：
⌒
AB
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOA= ∠ A+ ∠C
作直径CD.利用(1) 的结论,有∠l= ∠AOD，∠2= ∠BOD ，
∠ACB=∠1+∠2= (∠ AOD +∠BOD) = ∠AOB
（1）
（2）
(2)折痕在圆周角额内部；
(1)折痕是圆周角的一条边
圆心在∠ACB的外部时，你能证明吗？
（3）
利用(1) 的结论,有∠ACD= AOD,
∠2= ∠BOD
∠ACB= ∠ACD- ∠2= (∠AOD-∠BOD )= ∠AOB
D
A
B
O
C
E
F
(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧也相等.
圆周角定理
A1
A2
A3
推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与
点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，
理由是 ;
(2)∠BDC= ，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
2. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝30°，则∠B的度数为(　　)
A．15°　　　
B．30°　　　
C．45°　　　
D．60°
D
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边形的外接圆.这个多边形叫做圆的内接多边形.
④
①
②
③
观察下面图形，找出①②和③④的不同。
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
探究圆内接四边形的特殊性
∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180 ，∠B+ ∠D=180
如何证明你的猜想呢？
∠A与∠C, ∠B与∠D的大小有什么关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
证明
推论2：圆的内接四边形的对角互补.
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
E
延长BC到点E，有
∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
70
100
如图是一个圆形零件，你能找到它的圆心位置吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到
两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
O
C
A
B
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.）
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
例题讲解
在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
(2)连接BF，
F
30°
20°
x
A
D
B
E
C
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
60°
x
例3：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
随堂演练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，则∠AOC的度数等于 （ ）
A.140° B.130°
C.120° D.110°
A
O
C
B
A
2.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
4.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,
∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
A
B
O
C
D
5．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .
90
6. 如图所示,四边形ABCD内接于☉O,
∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.
求证:(1)AD=CD;
(2)AB是☉O的直径.
证明:(1)∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠D=180°-∠B=130°.
又∵∠ACD=25°,
∴∠DAC=180°-∠D-∠ACD=180°-130°-25°=25°,
∴∠DAC=∠ACD,∴AD=CD.
(2)∵∠BAC=∠BAD-∠DAC=65°-25°=40°,∠B=50°,
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-40°=90°,
∴AB是☉O的直径.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理推论
推论1
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
圆周角定理