(共22张PPT)
第19章 矩形、菱形和正方形
19.2.2 菱形的判定
知识回顾
菱形的定义是什么?
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形
除了利用菱形的定义判定菱形外,还有别的方法吗?
获取新知
定义判定法
根据菱形的定义,可得第一个判定的方法:
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
根据菱形的性质,四边都相等的四边形是菱形吗?
步骤:
1.画两条相等的线段AB、AD;
2.分别以点B和点D为圆心、
AB长为半径画弧,两弧相交于点C;
3.连结BC、CD,得到四边形 ABCD.
试着作一个四条边都相等的四边形.
观察你所画的图形,它是菱形吗?说明理由
是
已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
A
B
C
D
验证
四条边都相等的四边形是菱形
几何语言:
∵在四边形ABCD中,
AB=BC=CD=AD,
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形的判定定理1:
AB=BC=CD=AD
菱形
四边形
A
B
C
D
归纳总结
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想?
猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
探索
步骤:
1.作两条互相垂直的线段m、n,交点为O;
2.以点O为圆心,适当长为半径画弧,
交直线m于点A、C;
3.以点O为圆心,适当长为半径画弧,
交直线n于点B、D;
4.顺次连结A 、B 、C、D四点,得到四边形 ABCD.
试着作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
A
B
C
O
D
m
n
发现:由画图步骤可知,四边形ABCD是一个平行四边形,且它两条对角线互相垂直.
A
B
C
O
D
m
n
观察你所画的图形,它是菱形吗?说明理由.
是
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ,AC⊥BD.
求证:□ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
验证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言:
∵在□ABCD中,AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理2:
归纳小结
例1
如图,在矩形ABCD中,点E、F、G、H分别是四条边的中点,试问四边形EFGH是什么图形?并说明理由.
分析:
四边形EFGH的四条边
分别属于矩形四个角上的三
角形,如果能够证明这四个
三角形全等,那么就可以利
用菱形的判定定理1,得出四边形EFGH是菱形.
例题讲解
H
G
F
E
D
C
B
A
证明:∵矩形ABCD
∴AD=BC,AB=CD ,
∠A=∠B =∠C =∠D =90°
又∵G、H、E、F分别是CD
、AD、AB、BC的中点。
∴DG=AE=EB=GC =AB, DH=AH=BF=CF= AD
∴△AEH≌△BEF≌△CFG≌△DHG
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形(四边相等的四边形是菱形)
H
G
F
E
D
C
B
A
例2 如图,已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.
求证:四边形AFCE是菱形.
分析:要证四边形AFCE是菱形,由已知条件可知 EF⊥AC,所以只需证明四边形AFCE是平行四边形,又 知EF垂直平分AC,所以只需证明OE=OF.
A
B
C
D
E
F
2
1
O
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥FC,
∴∠1=∠2.
∵EF平分AC,∴OA=OC.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF, ∴OE=OF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
A
B
C
D
E
F
2
1
O
随堂演练
1. 如图,要使 ABCD成为菱形,则需添加的一个条件可以是( )
A. AC=AD B. BA=BC
C. ∠ABC=90° D. AC=BD
B
2. 下列命题中,正确的是( )
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D
3. 如图,已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B
4. 如图所示,在 ABCD中,AB=13,AC=10,当BD= 时,四边形ABCD是菱形.
24
5. 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
AB=5,AC=6,BD=8.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,
∴AO= AC=3,BO= BD=4.
∵AB=5,且32+42=52,∴AO2+BO2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,∴ ABCD是菱形.
例题讲解
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法