课件33张PPT。1．2 数列的函数特性学习目标
1．理解数列的函数特性．
2．掌握三种特殊数列． 课堂互动讲练知能优化训练1.2
数列的函数特性课前自主学案课前自主学案1．函数的基本表示方法有_______、列表法和_______ ．
2．数列{an}的前4项为0,2,4,6，则其一个通项公式为___________ ．解析法图像法an＝2(n－1)1．数列与函数
数列可以看作是一个定义域为______________
____________________________的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
2．数列的单调性大于小于相等1．数列与函数有什么关系？
提示：数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．数列是一种特殊的函数，可以用图像直观地表示，其图像是无限个或有限个孤立的点．由于函数有三种表示法，所以数列也有三种表示法：列表法、图像法和通项公式法．通常用通项公式法表示数列．
由于函数存在最值问题，则数列的项也存在最值问题，其讨论方法是转化为函数问题．2．如何判定数列的单调性？
提示：(1)作差比较法
①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列.
②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列.
③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法
①若an>0，则课堂互动讲练数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 已知数列{an}中，an＝n2－8n，
(1)画出{an}的图像；
(2)根据图像写出数列{an}的增减性．
【思路点拨】 (1)当n∈N＋时，分别在平面直角坐标系中描出点(n，an)即可．(2)图像的上升或下降显示数列的增减性．【解】 (1)列表
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：
(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…图像如图所示．
(2)数列{an}的图像既不是上升的，也不是下降的，则{an}既不是递增的，也不是递减的．【误区警示】 画数列的图像的方法仅有描点法，其步骤是：①列表；②描点．要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋.自我挑战1 画出下列数列的图像，并判断数列的增减性．
(1)2,4,6,8,10，…；(2)an＝－2n＋5.解：(1)数列2,4,6,8,10，…的图像如图(1)所示.由图像知它是递增数列．(2)由通项公式an＝－2n＋5，写出数列的前5项3,1，－1，－3，－5，描点可得数列{an}的图像如图(2)所示．由图像知它是递减数列．判断数列的单调性，一般地，根据数列的通项公式比较an＋1与an的大小，比较an＋1与an的大小常用作差法，此外还可用作商法、函数法．【思路点拨】 利用数列的性质，或利用函数知识求解．【规律小结】 判断一个数列的增减性，常常用作差的方法，通过判断差的符号来确定．对n∈N＋，当an＋1－an>0时，{an}为递增数列；当an＋1－an<0时，{an}为递减数列；当an＋1－an＝0时，{an}为常数列；当an＋1－an的符号不确定时，{an}既不是递增的，也不是递减的，也不是常数列．一个数列是递增数列其首项是这列数的最小值；一个数列是递减数列其首项是这列数的最大值．此外，数列的单调性有时与函数的性质结合起来．此时应注意数列函数的定义域．【名师点评】 数列问题转化为函数问题，体现了化归转化的思想、函数的思想．函数单调性的运用为数列问题的解决增添了新的途径．自我挑战2 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．解：因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1
>an(n∈N＋)恒成立．
又an＝n2＋kn(n∈N＋)，所以(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立，
即2n＋1＋k>0，
所以k>－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立．
当n＝1时，－(2n＋1)的最大值为－3，
所以k>－3即为所求范围．1．明确数列的分类：按项数可分为有穷数列和无穷数列；而按相邻项的大小又可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列等．
2．在判定数列的增减性时有两种常用方法：一是作差(或作商)比较an与an＋1的大小；二是利用数列的图像或相应函数的单调性．
1．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，则该函数的图像是( )
解析：选A.由题知，对任意a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，即f(an)>an，由此联想到函数在x∈(0,1)时，有f(x)>x，即该函数y＝f(x)的图像上任一点(x，y)都满足y>x，图像在直线y＝x的上方，故选A.
2．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列的最大项的值是( )
A．107 B．108
C．108 D．109
解析：选B.研究函数f(x)＝－2x2＋29x＋3，该函数的对称轴为x＝，开口向下．而在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，由于n∈N＋，所以只有当n＝7时，an最大，最大值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.
3．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为______．(填写序号)
①an＝－2n＋1 ②an＝－n2＋3n＋1
③an＝ ④an＝(－1)n
解析：可以通过画函数的图像一一判断．②有增有减，④是摆动数列．
答案：①③
4．已知f(1)＝2，f(n＋1)＝(n∈N＋)，则f(4)＝________.
解析：f(2)＝＝，f(3)＝＝＝，f(4)＝＝＝.
答案：
[A级 基础达标]
1．已知数列{an}是递增数列，则n∈N＋时，有( )
A．an＋1≥an B．an＋1≤an
C．an＋1>an D．an＋1
解析：选C.根据递增数列的定义可知，an＋1>an，故选C.
2．已知数列{an}满足a1>0，＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
解析：选B.∵a1>0，＝，∴an>0且<1，
∴an＋13．数列，，，，…的第10项是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意知数列的通项公式是an＝，
∴a10＝＝.故选C.
4．已知数列{an}的通项an＝(a、b、c都是正实数)，则an与an＋1的大小关系是________．
解析：∵an＋1－an＝－
＝，
∵n∈N＋，a、b、c都是正实数，
∴an＋1－an＞0，∴an＋1＞an.
答案：an＋1＞an
5．设函数f(x)＝log2x－logx2(0解析：∵f(x)＝log2x－logx2，
∴f(2an)＝log22an－log2an2＝an－，
∴an－＝2n，∴a－2n·an－1＝0，
∴an＝n±，又∵0∴an<0，∴an＝n－.
答案：an＝n－
6．(2012·淮南质检)判断数列{}的增减性．
解：∵an＝，
∴an＋1＝＝.
法一：an＋1－an＝－
＝
＝，
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，
∴数列{}为递增数列．
法二：∵n∈N＋，∴an>0.
∵＝＝
＝
＝1＋>1.
∴an＋1>an，∴数列{}为递增数列．
[B级 能力提升]
7．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2013＝( )
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
1
3
4
2
A.1 B．2
C．4 D．5
解析：选D.由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2,1,5,2,1，…故数列{xn}为周期为3的周期数列．∴x2013＝x3×671＝x0＝5，故选D.
8．已知数列{an}的通项公式an＝()n－1[()n－1－1]，则下列叙述正确的是( )
A．最大项为a1，最小项为a3
B．最大项为a1，最小项不存在
C．最大项不存在，最小项为a3
D．最大项为a1，最小项为a4
解析：选A.令t＝()n－1，则t＝1，，()2，…，且t∈(0,1]，则an＝t(t－1)，结合函数y＝x(x－1)图像的性质，知数列{an}最大项为a1＝0；当n＝2时，()n－1＝，当n＝3时，()n－1＝，又|－|<|－|，所以当n＝3时，an的值最小．故选A.
9．(创新题)已知定义在R上的函数f(x)对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝－，设an＝f(n)(n∈N＋)，则＝________.
解析：∵f(x＋4)＝－，
∴f(x＋8)＝－＝f(x)，
∴f(n)＝f(n＋8)．
∵f(200)＝f(8×24＋8)＝f(8)，
f(201)＝f(24×8＋9)＝f(9)，
f(202)＝f(24×8＋10)＝f(10)，
f(203)＝f(8×24＋11)＝f(11)．
∴
＝＝1.
答案：1
10．(2012·咸阳调研)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1因为n∈N＋，故n＝2,3，所以该数列中有两项是负数．
(2)因为an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，
可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
11．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2013；
(3)2013是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－1.
∴an＝4n－1.
(2)a2013＝4×2013－1＝8051.
(3)令2013＝4n－1，解得n＝?N＋，
∴2013不是数列{an}中的项．
