课件24张PPT。§2 等差数列
2.1 等差数列
2.1.1 等差数列的概念学习目标
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单问题．
2．熟悉等差数列通项公式的推导过程，掌握等差数列的通项公式的推导方法． 课堂互动讲练知能优化训练2.1.1
等
差
数
列
的
概
念课前自主学案课前自主学案1．如果数列{an}的________与______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列{an}的通项公式．
2．从函数的观点看，数列的表示方法有_______ ， _______， ___________．第n项an序号n列表法图像法通项公式法1．等差数列的概念
如果一个数列从_______起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的公差，通常用字母___表示．
2．等差数列的通项公式
若{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则{an}的通项公式为_________________.第二项同一个常数常数dan＝a1＋(n－1)d1．等差数列的定义中为什么要强调“从第2项起”和“差是同一个常数”这两点？
提示：通过列举反例来分析．我们知道一个数列的第1项没有前一项，所以强调“从第2项起”；“差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2－a1＝5－1＝4＝常数，a3－a2＝3－5＝－2＝常数，a4－a3＝7－3＝4＝常数，差都是常数，但是很明显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一个常数”，这是等差数列定义的核心．2．求等差数列的通项公式除课本的归纳法外,你还知道哪些方法？
提示：除课本上用归纳法得到通项公式外，还有以下几种方法推出等差数列的通项公式，这些方法是解决问题的一些重要的常规方法，要注意体会并逐步应用．
①累加法
因为{an}为等差数列，则有
an－an－1＝d，
an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，
…
a2－a1＝d.
将以上各等式相加，得an－a1＝(n－1)d.
所以，an＝a1＋(n－1)d.
②迭代法
∵{an}是等差数列，则有an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.课堂互动讲练等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求出未知数的过程可称为“知三求一”．有时是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值，也可以求出这个等差数列其它未知数的值． (2009年高考安徽卷)已知{an}为等差数列, a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
【思路点拨】 先列方程组求出等差数列的基本量a1和d，再求a20.【答案】 B
【名师点评】 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系式列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．互动探究 在本例中，若条件改为“已知a5＝11，an＝1，d＝－2”，如何求n?判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义利用an＋1－an＝d(d为常数，n≥1)或an－an－1＝d(d为常数，n≥2)． 判断下列数列是否为等差数列．
(1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n.
【思路点拨】 利用等差数列的定义，即判断an＋1－an(n∈N＋)是否为同一个常数．【解】 (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是同一个常数，所以这个数列不是等差数列．
【名师点评】 利用定义法判断时，关键的是用an＋1－an得到的结论看是否是一个与n无关的常数，如果是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．在应用等差数列的通项公式时要注意方程思想的应用，其最终结果一般写成n的一次函数形式；另外，等差数列的变形为am＝an＋(m－n)d(m，n∈N＋)，应注意掌握． 在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，且通项公式是项数的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式，并求a2011；
(2)若bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式．
【思路点拨】 设出通项公式的一般形式，求出待定系数即可．【误区警示】 本题易出现不经证明而直接利用{an}是等差数列由已知条件求出公差d，进而求通项公式的错误，出错的原因在于曲解了题意．自我挑战 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d且a5＝10，a12＝31，求数列的通项公式.1．关于等差数列的通项公式的理解
等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，要理解公式中an，a1，n，d的含义并掌握以下几点:
(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．
(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解第四个量，即知三求一．
(3)等差数列与一次函数的异同点2.等差数列的判定
(1)判定一个数列为等差数列的常用方法有：
①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)?{an}为等差数列．
②通项法：an为n的一次函数?{an}为等差数列.
(2)判定一个数列不是等差数列只须证明2a2≠a1＋a3..课件32张PPT。2.1.2 等差数列的性质学习目标
1．进一步巩固等差数列的概念和通项公式，掌握等差数列的性质和等差中项．
2．理解等差数列的公差与一次函数斜率的关系． 课堂互动讲练知能优化训练2.1.2
等
差
数
列
的
性
质课前自主学案课前自主学案1．数列{an}为等差数列?_________________
________
2．等差数列的通项公式_________________
________．1．等差数列的项与序号的关系am＋an(n－m)d等差数列前一项后一项3．等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列;
②{c·an}(c为任一常数)是公差为___的等差数列;
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为___ 的等差数列；
④数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为___的等差数列；cdd2dλd⑤下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为___的等差数列．
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为_________的等差数列；
(3)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…;mdpd1＋qd22．能否利用等差中项说明一个数列是等差数列？
提示：可以.2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差数列．课堂互动讲练等差中项是等差数列中的一个重要概念，利用它不仅可以得到等差数列的一些重要性质，还可以判定一个数列是否是等差数列． 已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c),
b2(a＋c)，c2(a＋b)是否构成等差数列．
【思路点拨】 从a，b，c成等差数列入手，在2b＝a＋c的作用下，是否有结果a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)．等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到,而且它具有很强的灵活性，常用的等差数列的性质如下：
(1)等差数列{an}中，若公差d>0，则数列为递增数列；若d<0，则数列为递减数列；若d＝0,则数列为常数列．
(2)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. 在等差数列{an}中，
(1)(2010年高考全国卷Ⅱ改编)已知a3＋a4＋a5＝12，求a1＋a2＋…＋a7的值．
(2)(2010年高考重庆卷改编)已知a1＋a9＝10，求a5.
【思路点拨】 利用等差数列的性质求解．【解】 (1)由等差数列的性质知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12?a4＝4，
∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4
＝7a4＝28.
(2)依题意a1＋a9＝2a5＝10，∴a5＝5.【误区警示】 在利用性质am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N＋)时，应注意等式两边项数相同，例如a7＋a3＝a10是不正确的．自我挑战1 在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解：法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48,
即4(a1＋12d)＝48，
∴4a13＝48，
∴a13＝12.利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． (1)若三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)若四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两数的积为－8，求这四个数．
【思路点拨】 本题可以利用三个数和四个数成等差数列设项技巧，也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解.【解】 (1)法一：设等差数列的等差中项为a,公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4.
故所求的三个数依次为－2,2,6或6,2，－2.
法二：设首项为a，公差为d，
则这三个数分别为a，a＋d，a＋2d.
依题意，3a＋3d＝6，且a(a＋d)(a＋2d)＝－24,所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4.
故所求的三个数依次为－2,2,6或6,2，－2.
(2)法一：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.【规律小结】 三个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d，公差为d；四个数成等差数列,常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d；五个数成等差数列，常设成a－2d，a－d, a，a＋d，a＋2d，公差为d.自我挑战2 若成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.2．等差数列的性质
熟练掌握并灵活应用等差数列的性质解决问题，能起到事半功倍的效果，常用的性质有：
(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m,
n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an；
(2)下标构成等差数列的项，按照原来的顺序也构成等差数列，即若{an}为等差数列，下标为等差数列且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列.
1．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝5，如果an＝2013，则序号n等于( )
A．400 B．401
C．402 D．403
解析：选D.由a1＝3，d＝5可得通项公式an＝a1＋(n－1)d＝3＋5(n－1)＝5n－2，由5n－2＝2013，得n＝403，故选D.
2．已知{an}为等差数列，且a2＋a8＝12，则a5＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C.∵a2＋a8＝2a5，∴2a5＝12，∴a5＝6，故选C.
3．(2012·安庆高二检测)已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
解析：∵n≥2时，an－an－1＝3，∴{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
答案：3n
4．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项是__________．
解析：∵a＋b＝＋
＝(－)＋(＋)＝2.
∴a、b的等差中项为＝＝.
答案：
[A级 基础达标]
1．下面数列中，是等差数列的有( )
①4,5,6,7,8，… ②3,0，－3,0，－6，… ③0,0,0,0，…
④，，，，…
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列．
2．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
解析：选D.∵2an＋1＝2an＋1，∴an＋1－an＝，
∴{an}是以a1＝2为首项，公差d＝的等差数列．
∴an＝2＋(n－1)＝n＋，
∴a101＝×101＋＝52，故选D.
3．(2011·高考重庆卷)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝( )
A．12 B．14
C．16 D．18
解析：选D.∵d＝a3－a2＝4－2＝2，
∴a10＝a2＋8d＝2＋2×8＝18，故选D.
4．(2012·西安调研)若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其他两角分别为________．
解析：不妨设三个角为A，B，C，
则，可得B＝60°，
由其中一个角为28°，不妨设A＝28°，则C＝180°－(60°＋28°)＝92°.
答案：60°，92°
5．将正偶数按下表排成5列：
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
…
…
28
26
那么2012应该在第________行，第________列．
解析：由2012是正偶数列中第1006项，每一行4项，故在第252行中的第2个数，而第252行是从右向左排，且从第4列开始排，故2012为第252行第3列．
答案：252 3
6．已知(5,16)，(16,5)是等差数列{an}图像上的两个点．
(1)画出这个数列的图像，并求a21；
(2)判断这个数列的单调性．
解：(1)
由图像可知，(5,16)，(16,5)，(21，y)三点共线，
可得d＝k＝＝，
解得y＝0，即a21＝0.
(2)由(1)得d＝k＝－1，所以这个数列单调递减．
[B级 能力提升]
7．(2012·淮北质检)一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∴a＝，b＝x.∴＝.故选C.
8．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )
A．20 B．30
C．40 D．50
解析：选C.由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝(2a7)×2＋a7＝5a7，可得a7＝20.
所以3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40，故选C.
9．一个等差数列由三个数组成，三个数之和为9，三个数的平方和为35，则该数列为__________．
解析：设这三个数列为a－d，a，a＋d，则：
，解得.
∴这三个数为1,3,5或5,3,1.
答案：1,3,5或5,3,1
10．已知{an}是等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入3个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：
(1)原数列的第12项是新数列的第几项？
(2)新数列的第29项是原数列的第几项？
解：∵数列{an}中，a1＝2，a2＝3，d＝a2－a1＝3－2＝1，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
设新数列为{bn}，公差为d′，据题意知b1＝2，b5＝3，
则d′＝＝＝，
∴bn＝2＋(n－1)×＝＋.
(1)a12＝12＋1＝13，
令＋＝13，得n＝45，
故原数列的第12项是新数列的第45项．
(2)b29＝＋＝9，
令n＋1＝9，得n＝8，
故新数列的第29项是原数列的第8项．
11．(创新题)是否存在数列{an}同时满足下列条件：
(1){an}是等差数列且公差不为0；
(2)数列{}也是等差数列．
解：设符合条件的数列{an}存在，
其首项为a1，公差d≠0，
则有an＝a1＋(n－1)d.
又因为数列{}也是等差数列，
所以－＝－，
即＝，
所以＝.
所以a1＋2d＝a1，所以d＝0，与条件(1)矛盾，
所以，不存在符合条件的数列{an}．
