四省八校2022届高三下学期5月模拟冲刺考试文科数学试题（Word版含答案）

“四省八校”2022届高三第二学期模拟冲刺考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，则在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．2022年北京冬季奥运会新增7个小项，女子单人雪车为其中之一．下表是某国家女子单人雪车集训队甲、乙两位队员十轮比赛成绩，则下列说法正确的是（ ）
队员 比赛成绩
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 第七轮 第八轮 第九轮 第十轮
甲 1分51秒74 1分51秒72 1分51秒75 1分51秒80 1分51秒90 1分51秒81 1分51秒72 1分51秒94 1分51秒74 1分51秒71
乙 1分51秒70 1分51秒80 1分51秒83 1分51秒83 1分51秒80 1分51秒84 1分51秒90 1分51秒72 1分51秒90 1分51秒91
A．估计甲队员的比赛成绩的方差小于乙队员的比赛成绩的方差
B．估计甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数
C．估计甲队员的比赛成绩的平均数大于乙队员的比赛成绩的平均数
D．估计甲队员的比赛成绩的中位数大于乙队员的比赛成绩的中位数
4．在边长为2的正三角形中，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．底面半径为2，高为3的封闭圆柱内有一个表面积的球，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
9．设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（ ）
A．数列的公比为 B．
C．存在最大值，但无最小值 D．
10．已知函数方程的不等实根个数不可能是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
11．对于正数，，抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，线段与两个抛物线的交点分别为，．若，，则的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．
12．已知正整数有序数对满足：
①；
②．
则满足条件的正整数有序数对共有______组．（ ）
A．24 B．12 C．9 D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知为奇函数，则______．
14．若点不在平面区域内，则实数的取值范围为______．
15．若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．
16．设数列，满足，，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列．在和中插入个数构成一个新数列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前20项和______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国，国家相关政策号召和鼓励中国汽车生产企业往新能源汽车方向发展，带动电动车市场的发展，贯彻落实我国低碳环保的理念．为了预计未来新能源汽车市场的保有量，现统计了中国自2015-2021年新能源汽车的保有量统计情况如下表：
时间 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
序号 1 2 3 4 5 6 7
保有量（万） 40 90 150 250 370 480 650
（1）若上述数据近五年新能源汽车保有量与序号有线性关系，求其回归方程，并预测2025年新能源汽车的保有量；
（2）为了了解新能源汽车中纯电动汽车和非纯电动汽车的平均能耗情况，现3台纯电动汽车和4台非纯电动汽车中任取2台，求恰好抽到1台纯电动汽车的概率．
附：线性回归方程：，其中，．
18．（12分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分．
已知的内角，，的对边分别为，，，且______
（1）求；
（2）的最大值．
19．（12分）
设函数，其中，为常数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有且仅有3个零点，求的取值范围．
20．（12分）
已知椭圆的右焦点为，，为上不同的两点，且，．
（1）证明：，，成等差数列；
（2）试问：轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
如图1，在矩形中，B，C分别为，的中点，且，现将矩形沿翻折，得到如图2所示的多面体．
（1）当二面角的大小为60°时，证明：多面体为正三棱柱；
（2）设点关于平面的对称点为，当该多面体的体积最大时，求三棱锥的体积．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．
（1）写出曲线的普通方程；
（2）设为曲线上的一点，将绕原点逆时针旋转得到．当运动时，求的轨迹．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，，均为正实数，且．证明：
（1）；
（2）．
“四省八校”2022届高三第二学期模拟冲刺考试
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B A C D B A C D C B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．1589
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）
解：（1）易知，，故，
所以，．
当时，，即预计2025年新能源汽车保有量为1118万台．
（2）设纯电动汽车为，，，非纯电动汽车为，，，．
则有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计21种，
满足条件的有12种，所求概率为．
18．（12分）
解：选择①：∵，∴，解得；
选择②：，又∵，解得，；
选择③：．
（2）由（1）可知，，由正弦定理可得，，
∴，由余弦定理可得，
由基本不等式（当且仅当时取等号）可得，
∴．
19．（12分）
解：（1）．
当时，，或；，．
当时，，或；，．
当时，．
综上，当时，在，上单调递增，上单调递减；当时，在和上单调递增，上单调递减；当时，在上单调递增．
（2）由（1）可知，有3个零点，则且．
∴．∴．
20．（12分）
（1）证明：当直线斜率不存在时，．
不如令，，则，．
∴，，，∴，，成等差数列；
当直线的斜率存在时，设．
由得，∴．
∵，，
∴，∴，，成等差数列．
（2）解：设，的中点为．
∵，∴．
∵∴
∴，∴，即，∴．
由（1）知，∴，∴，
∴，∴存在点，使得．
21．（12分）
（1）证明：∵二面角的大小为60°，∴．
又，∴为等边三角形．
又∵，∴平面．同理平面．
又∵，∴平面平面．
又，，，，
∴平面，∴多面体为正三棱柱．
（2）解：∵多面体为正三棱柱，
∴
，
当时，．
设与平面交于点，过点作平面于点，连接，，相交于点，则是的中点，．
∴，∴．
根据题意易知三棱锥为正三棱锥，
∴是的重心，，，三点共线，∴，
∴，∴．
22．（10分）
解：（1）∵，
∴曲线的普通方程为．
（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设，则，
∴
∴，∴，
即，∴点的轨迹方程为．
23．（10分）
证明：（1）∵，，都为正整数，且．
∴，
当且仅当时“=”成立．
（2）法一：由题意，得
①+②+③，得，
当且仅当时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得．
令，则．
令，则在上单调递增．
∴，即．