课件33张PPT。3.2 等比数列的前n项和学习目标
1．理解“错位相减法”求等比数列的前n项和公式，掌握等比数列求和公式，并能应用公式解决有关问题．
2．灵活运用等比数列前n项和的性质，进一步理解等比数列的性质． 课堂互动讲练知能优化训练3.2
等比数列的
前n项和课前自主学案课前自主学案1．等比数列的前n项和公式2.等比数列前n项和的性质
(1)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列．(注意：这连续m项的和必须非零才能成立．)
(2){an}为公比不为1的等比数列?Sn＝Aqn＋B(A＋B＝0)．
(3)Sn＋m＝Sm＋qmSn(q为公比)．1．如何从函数的观点看等比数列前n项和与n之间的函数关系？提示：在计算等比数列的前n项和时，总是忘记公比q＝1的情形．其突破方法是明确等比数列的前n项和公式的推导过程，再就是注意经验的积累．
在推导等比数列{an}的前n项和公式过程中，
Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1，当等式两边同乘以q后，得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn.
当q＝1时，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn与Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1是同一个等式，
它们相减后得到0＝0，没有什么意义，
因此当q≠1时，它们相减后得到的等式(1－q)Sn＝a1－a1qn才具有意义．当q＝1时，等比数列{an}是常数列，则Sn＝na1.
因此等比数列的前n项和公式要分类讨论．
根据解题经验，在计算等比数列的前n项和时，首先考虑公比等于1的情形，否则易出错．课堂互动讲练【答案】 C
【误区警示】 运用等比数列的前n项和公式时，必须注意公比q是否为1，并且常用到等式两边约分或两式相除的办法进行化简或消元．在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质，与等比数列前n项和有关的性质有：①项数相同，对应项的下标差相等，则这些项的和成等比数列；②连续m项和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(注意此连续m项的和必须非零才成立)；③{an}为等比数列，且q≠1?Sn＝Aqn－A(A≠0)． 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S10＝5，S20＝15.
(1)求S30；
(2)S10，S20－S10，S30－S20是否是等比数列？
(3)求证：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比数列．
【思路点拨】 灵活应用等比数列的前n项和公式，紧扣定义解答．(2)∵S10＝5，S20－S10＝10，S30－S20＝20.
且(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)．
∴S10，S20－S10，S30－S20是等比数列．
(3)证明：∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1(1＋q＋…＋qn－1)，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋1q＋a2n＋1q2＋…＋a2n＋1qn－1
＝a2n＋1(1＋q＋…＋qn－1)，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋1q＋an＋1q2＋…＋an＋1qn－1
＝an＋1(1＋q＋…＋qn－1)，而a1，an＋1，a2n＋1是等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比数列．
【名师点评】 在解题时，选择适当方法可以提高解题速度，减少解题时间，本题结论很重要，是等比数列较常用的性质之一．互动探究 若将本例条件变为：各项均为正数的等比数列{an}中，S10＝10，S30＝70，求S40.所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数列求和问题．此种方法一般应用于形如数列{anbn}的求和，其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列． (2010年高考四川卷)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.
【思路点拨】 由题意列方程组可求出an；将an代入bn可知数列{bn}的各项由两部分组成，一部分是等差数列，另一部分成等比数列，故考虑用错位相减法求和．(2)由(1)的解答可得，bn＝n·qn－1，于是
Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘以q，有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.【名师点评】一般地，若数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列且公比为q(q≠1)，求{an·bn}的前n项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和．在写出“Sn”与“q·Sn”时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便进一步地写出“Sn－qSn”的表达式，最后求和．特别注意公比是否为1，若不确定，必须对q＝1和q≠1加以讨论．这种求和的方法在高考中经常考查，且要求较高．1．在等比数列前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分q＝1和q≠1讨论，采用不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．2．等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且公比q≠1，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用“乘公比，错位相减法”求和．
1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：选A.S5＝，
∴44＝，
∴a1＝4，故选A.
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．3
解析：选B.由题意知＝
＝＝1＋q3＝3，∴q3＝2.
∴＝＝＝＝＝.
3．(2010·高考福建卷)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
解析：∵S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21a1＝21，
∴a1＝1.∴an＝1·4n－1＝4n－1.
答案：4n－1
4．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝________.
解析：当q＝1时，Sn＝na1，此时{Sn}是等差数列，满足题意．
当q≠1时，Sn＝＝－·qn＋，此时Sn并不是关于n的一次函数．不满足题意，综上，q＝1.
答案：1
[A级 基础达标]
1．下列各式中正确的为( )
A．1－2＋4－8＋…＋(－2)n－1＝
B．1＋2＋22＋23＋…＋2n＝
C．若c≠0且c≠1，则c2＋c4＋c6＋c2n＝
D．2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1＝
解析：选C.A中：1－2＋4－8＋…＋(－2)n－1＝，故A是错误的；
B中：1＋2＋22＋23＋…＋2n＝，故B错误；
C中：c2＋c4＋c6＋…＋c2n＝，故C正确；
D中：2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1＝3n－1，故D错误．
综上可知只有C选项正确．
2．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Ⅱn＝a1a2…an表示它的前n项之积，则Ⅱ1，Ⅱ2，…中最大的是( )
A．Ⅱ11 B．Ⅱ10
C．Ⅱ9 D．Ⅱ8
解析：选C.∵an＝a1·qn－1，∴Ⅱn＝a1·(a1q)·(a1q2)…(a1qn－1)＝a·q1＋2＋…＋(n－1)
＝(512)n·(－)＝(－1) ·29n·2－
＝(－1)·2－(n2－19n)，
∴当n＝9时，(Ⅱn)max，故选C.
3．(2012·宿州调研)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知＝3，则2a2－a4的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.设{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)，
∴＝3×，
∴q2＝2，
∴2a2－a4＝2a2－a2q2＝2a2－2a2＝0，故选A.
4．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则a5＝__________，前8项的和S8＝______.(用数字作答)
解析：∵an＋1＝2an，∴＝2.∴数列{an}是等比数列．
∴an＝2n－1.∴a5＝24＝16，S8＝＝255.
答案：16 255
5．电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：
十进制
1
2
3
4
5
6
7
8
…
二进制
1
10
11
100
101
110
111
1000
…
观察二进制为1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是________．
解析：能表示十进制中的最大数是：20＋21＋22＋…＋25＝＝63.
答案：63
6．等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．
解：(1)∵a3a4＝a1a6＝，
∴解得或
∵q∈(0,1)，∴∴q5＝＝，∴q＝，
∴an＝×()n－1.
(2)由(1)知等比数列{an}中a1＝，q＝，
所以Sn＝＝[1－()n]，
当Sn＝21时，[1－()n]＝21，
∴()n＝，∴n＝6.
[B级 能力提升]
7．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和为( )
A．50 B．70
C．80 D．90
解析：选B.S3＝a1＋a2＋a3＝40，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝20，S9－S6＝S9－60，∵(S6－S3)2＝S3(S9－60)，即202＝40×(S9－60)，解得S9＝70.
8．(2012·西安质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.等比数列{an}满足8a2＋a5＝0，即a2(8＋q3)＝0，∴q＝－2，∴＝q2＝4，＝q＝－2，＝＝＝，都是确定的数值，但＝的值随n的变化而变化，故选D.
9．(2011·高考北京卷)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
解析：由a4＝a1q3＝q3＝－4，可得q＝－2，因此，数列{|an|}是首项为，公比为2的等比数列，所以|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.
答案：－2 2n－1－
10．设数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n≥2，且n∈N＋)，试判断{an}是不是等比数列．
解：∵当n≥2时，Sn＋1－3Sn＋2Sn－1
＝(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝an＋1－2an.
∴当n≥2时，an＋1－2an＝0，
∴当n≥2时，＝2，
又∵a2＝S2－S1＝2－1＝1，∴＝＝1≠2，
∴{an}不是等比数列．
11．(创新题)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝，且[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N＋，
(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n－1·a2n，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)经计算：a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝，
当n为奇数时，an＋2＝an＋2，
即数列{an}的奇数项成等差数列，
∴a2n－1＝a1＋(n－1)×2＝2n－1，
当n为偶数时，an＋2＝an，
即数列{an}的偶数项成等比数列．
∴a2n＝a2·()n－1＝()n，
因此，数列{an}的通项公式为an＝
(2)∵bn＝(2n－1)×，
∴Sn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×， ①
Sn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×. ②
用①－②得，Sn＝1×＋2[()2＋()3＋…＋()n]－(2n－1)×
＝＋－(2n－1)×
＝－(2n＋3)×.
∴Sn＝3－(2n＋3)×.
