第十讲 对数与对数函数概念
【知识梳理】
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 ，其
中 叫做对数的底数， 叫做真数．
以 为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.
以 为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1 log Na ＝ ，logaa＝ ， a a (a>0，且 a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝ ；
②log Ma ＝ ；
N
③logaMn＝ (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝ (a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)．
(4)对数换底公式的重要推论：
①log 1aN＝ (N>0，且 N≠1；a>0，且 a≠1)；
logN a
② log bm mn ＝ logab(a>0，且 a≠1，b>0)；a n
3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0
图象
定义域
值域
过定点 ，即 x＝ 时，y＝ .
当 x>1时， ； 当 x>1时， ；
性质
当 0在(0，＋∞)上是 . 在(0，＋∞)上是 .
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)函数 y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．( )
(4)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1,0) (a,1) (
1
，且过点 ， , 1) .( )
a
2．计算 log510－log52________.
3．函数 y＝logax＋1过定点________．
4．已知 f(x)＝log2x，若 f(x)<0，则 x 的取值范围是________．
5．已知 b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c
6．当 a>1时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x与 y＝logax 的图象为( )
【典型例题】
题型一 对数式的运算
1．计算下列各式：
3
(1)log5 625； (2)log2(32×42)；
(3)log535－2log 7 95 ＋log57－log5 . (4)lg 25＋lg 50＋lg 2 lg 500＋(lg 2)2.
3 5
2．(1)计算：(log43＋log83)log32＝________.
(2)已知 log189＝a,18b＝5，求 log3645.(用 a，b 表示)
练习 1
3．计算下列各式的值：
lg 3 2＋ lg 9 3－ lg 27
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2) 5 5 .
lg 81－lg 27
4．计算
log5 2 log79
(1)(log29) (log34) (2) 3 .
log 15 log7 4
3
题型二 与对数函数有关的定义域
5．求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x)；
(3)y＝log1－x5.
练习 2
6．求下列函数的定义域．
2
(1)y x －4＝ ； (2)y 1＝ ＋ln(x＋1)．
lg x＋3 2－x
题型三 对数函数的图象问题
7．函数 y＝x＋a 与 y＝logax 的图象可能是下图中的( )
8．函数 y＝loga(x＋2)＋3(a>0且 a≠1)的图象过定点________．
9．已知 f(x)＝loga|x|满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图象．
练习 3
10．如图，若 C1，C2分别为函数 y＝logax 和 y＝logbx 的图象，则( )
A．0b>1 D．b>a>1
11．函数 f(x)＝loga|x|＋1(012．画出函数 y＝|lg(x－1)|的图象．
【课堂小测】
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
1
A 1 1 1．e0＝1与 ln 1＝0 B．8 3 ＝ 与 log8 ＝－
2 2 3
1
C．log39＝2与92 ＝3 D．log77＝1与 71＝7
2．已知函数 f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则 f(2)的值为( )
A．－2 B．2 C.1 D 1．－
2 2
3．(多选)已知函数 f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数 f(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于 y 轴对称
C．f(x)的最大值为 0 D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增
4．若 f(x)＝logax＋a2－4a－5是对数函数，则 a＝________.
5．若对数 log(x－1)(2x－3)有意义，则 x 的取值范围是 ．
6．计算下列各式的值：
(1)log535＋2 log1 2 －log
1
5 －log514； (2)[(1－log63)2＋log62 log618]÷log64；
50
2
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．
【课后作业】
1．给出下列函数：
①y＝ log 22 x ；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.其中是对数函数的有( )
3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若 0A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 loga3＝m，loga5＝n，则 a2m＋n的值是( )
A．15 B．75 C．45 D．225
4．已知函数 y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是________．
5．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(3－x) (2)f(x)
2x＋3
； ＝ ＋log2(3x－1)．
x－1
6．已知 log23＝a，log37＝b，用 a，b 表示 log4256.第十讲 对数与对数函数概念
【考试要求】
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象.
【知识梳理】
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝logaN，其中
a叫做对数的底数，N叫做真数．
以 10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.
以 e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1 0 log Na ＝ ，logaa＝1， a a N (a>0，且 a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②log Ma ＝logaM－logaN；
N
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3) log b logcb换底公式： a ＝ (a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)．
logca
(4)对数换底公式的重要推论：
①logaN
1
＝ (N>0，且 N≠1；a>0，且 a≠1)；
logN a
② log bm mn ＝ logab(a>0，且 a≠1，b>0)；a n
3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即 x＝1时，y＝0
当 x>1时，y>0； 当 x>1时，y<0；
当 00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )
(2)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(3)函数 y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．( × )
(4)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)
1
的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)， ( , 1) .( √ )
a
2．计算 log510－log52________.
答案 1
3．函数 y＝logax＋1过定点________．
答案 (1,1)
4．已知 f(x)＝log2x，若 f(x)<0，则 x的取值范围是________．
答案 (0,1)
5．已知 b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
6．当 a>1 －时，在同一坐标系中，函数 y＝a x与 y＝logax的图象为( )
答案 C
1
解析 y＝a－x＝ a x，∵a>1，∴0<1<1，
a
则 y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；
对数函数 y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选 C.
【典型例题】
题型一 对数式的运算
1.计算下列各式：
3
(1)log5 625；
(2)log2(32×42)；
(3)log 35 2log 7 95 － 5 ＋log57－log5 .
3 5
(4)lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2.
解 (1) 1原式＝ log5625
1
＝ log 4554＝ .
3 3 3
(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log
9
5
5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
(4)原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题
的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
2.(1)计算：(log43＋log83)log32＝________.
5
答案
6
1 1
＋
解析 原式＝ log34 log38 log32
1 1
＋
＝ 2log32 3log32 log32
1 1 5
＝ ＋ ＝ .
2 3 6
(2)已知 log189＝a,18b＝5，求 log3645.(用 a，b表示)
解 因为 18b＝5，所以 b＝log185.
log 45 log1845 log18 5×9 所以 36 ＝ ＝
log1836 log18 2×18
log185＋log189
＝
log182＋log1818
a＋b a＋b
＝ ＝
1＋log182 1 log 18＋ 18
9
a＋b a＋b
＝ ＝ .
2－log189 2－a
练习 1
3.计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
lg 3 2lg 9 3＋ － lg 27
(2) 5 5 .
lg 81－lg 27
解 (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5－lg 2＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
lg 3 4＋ lg 3 9－ lg 3
(2)原式＝ 5 10
4lg 3－3lg 3
1 4 9＋ －
5 10 lg 3
＝
4－3 lg 3
9
＝ .
10
4．计算
(1)(log29)·(log34)
答案 4
(log 9)·(log 4) lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2解析 2 3 ＝ × ＝ × ＝4.
lg 2 lg 3 lg 2 lg 3
log5 2·log79
(2) 3 .
log 15 ·log7 4
3
log5 2 log79
解 原式＝ · 3
log 15
3 log7 4
1
log1 2 log 3 9 log1 2 2 3log
2
4 22
3
3 3
1 3
＝－ ·log32·3log23＝－ .
2 2
(2) 1计算：log535＋ 2log1 2－log5 －log514＝________.50
2
答案 2
1
解析 原式＝log535－log5 －log514＋ log1 ( 2)
2
50
2
35
＝log5 1 ＋ log 1 2
×14
50 2
＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.
题型二 与对数函数有关的定义域
5.求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)；
(3)y＝log1－x5.
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
3－x>0，
解 (1)由 得－33＋x>0，
∴函数的定义域是(－3,3)．
(2)由 16－4x>0，得 4x<16＝42，
由指数函数的单调性得 x<2，
∴函数 y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2)．
1－x>0，
(3)依题意知 得 x<1且 x≠0，
1－x≠1，
∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．
反思感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于 0，底数大于 0且不为 1.如需对函数式
变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变．
练习 2
6.求下列函数的定义域．
2
(1)y x －4＝ ；
lg x＋3
1
(2)y＝ ＋ln(x＋1)．
2－x
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
x2－4≥0，
解 (1)要使函数有意义，需 x＋3>0，
x＋3≠1，
x≤－2或 x≥2，
即 x>－3， 即－3x≠－2，
故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
2－x>0，
(2)要使函数有意义，需
x＋1>0，
x<2，
即 ∴－1x>－1，
故所求函数的定义域为(－1,2)．
题型三 对数函数的图象问题
7.函数 y＝x＋a与 y＝logax的图象可能是下图中的( )
答案 C
8.函数 y＝loga(x＋2)＋3(a>0且 a≠1)的图象过定点________．
答案 (－1,3)
解析 令 x＋2＝1，所以 x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．
9.已知 f(x)＝loga|x|满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图象．
解 因为 f(－5)＝1，所以 loga5＝1，即 a＝5，
log5x，x>0，
故 f(x)＝log5|x|＝
log5 －x ，x<0.
所以函数 y＝log5|x|的图象如图所示．
延伸探究
在本例中，若条件不变，试画出函数 g(x)＝loga|x－1|的图象．
解 因为 f(x)＝log5|x|，
所以 g(x)＝log5|x－1|，
如图，g(x)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1个单位长度得到．
反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要
掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
练习 3
10.如图，若 C1，C2分别为函数 y＝logax和 y＝logbx的图象，则( )
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
答案 B
解析 作直线 y＝1，则直线与 C1，C2的交点的横坐标分别为 a，b，易知 011.函数 f(x)＝loga|x|＋1(0答案 A
解析 由函数 f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于 y轴对称．设 g(x)＝loga|x|，先
画出 x>0时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y轴对称画出 x<0时 g(x)的图象，最后由
函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得 f(x)的图象，结合图象知选 A.
12.画出函数 y＝|lg(x－1)|的图象．
考点 对数函数的图象
题点 含绝对值的对数函数的图象
解 ①先画出函数 y＝lg x的图象(如图)．
②再画出函数 y＝lg(x－1)的图象(如图)．
③最后画出函数 y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．
【课堂小测】
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与 ln 1＝0
1
B．8 3 1＝ 与 log 1 18 ＝－
2 2 3
1
C．log39＝2与92 ＝3
D．log77＝1与 71＝7
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案 C
2．已知函数 f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则 f(2)的值为( )
A 1 1．－2 B．2 C. D．－
2 2
考点 对数函数的性质
题点 对数函数图象过定点问题
答案 B
解析 代入(6,3)，得 3＝loga(6＋2)＝loga8，
即 a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
3．(多选)已知函数 f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数 f(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于 y轴对称
C．f(x)的最大值为 0
D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增
答案 BC
解析 f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，
∴A错误，B正确；
根据 f(x)的图象(图略)可知 D错误；
∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故 C正确．
4．若 f(x)＝logax＋a2－4a－5是对数函数，则 a＝________.
答案 5
解析 由对数函数的定义可知，
a2－4a－5＝0，
a>0， 解得 a＝5.
a≠1，
5．若对数 log(x－1)(2x－3)有意义，则 x的取值范围是 ．
3
，2
答案 2 ∪(2，＋∞)
x>1，
x－1>0，
x≠2，
解析 由 x－1≠1， 得
3
2x－3>0， x> ，2
得 x>3且 x≠2.
2
6．计算下列各式的值：
(1)log535＋2 log 1 2 －log
1
5 －log514；
50
2
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64；
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．
1
解 (1)原式＝log535＋log550－log514＋2 log 221
2
＝log 35×505 ＋ log 2
14 12
＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64
log 66
＝ 3 2＋log62· log62＋log632 ÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)
lg 3 lg 3 lg 2 lg 2
＋ ＋
＝ lg 4 lg 8 lg 3 lg 9
lg 3 lg 3 lg 2 lg 2
＋ ＋
＝ 2lg 2 3lg 2 lg 3 2lg 3
5lg 3 3lg 2 5
＝ × ＝ .
6lg 2 2lg 3 4
【课后作业】
1．给出下列函数：
①y＝ log x22 ；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
3
其中是对数函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 对数函数的概念
题点 对数函数的概念
答案 A
解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量 x；③不是对数函数，因为对数
的底数不是常数；④是对数函数．
2．若 0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 ∵y＝loga(x＋5)过定点(－4,0)且单调递减，
∴函数图象不过第一象限，故选 A.
3．若 loga3＝m，loga5 ＋＝n，则 a2m n的值是( )
A．15 B．75 C．45 D．225
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
解析 由 loga3＝m，得 am＝3，由 loga5＝n，得 an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
4．已知函数 y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点 P，则点 P的坐标是________．
答案 (4，－1)
解析 令 x－3＝1，则 x＝4，
∴y＝loga1－1＝－1，
故点 P坐标为(4，－1)．
5．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)；
(2)f(x) 2x＋3＝ ＋log2(3x－1)．
x－1
3－x>0，
解 (1)由题意知 x－1>0， 解得 1x－1≠1，
故 f(x)的定义域是(1,2)∪(2,3)．
2x＋3≥0，
(2) 1由题意知 x－1≠0， 解得 x> ，且 x≠1.3
3x－1>0，
1
，1
故 f(x)的定义域是 3 ∪(1，＋∞)．
6．已知 log23＝a，log37＝b，用 a，b表示 log4256.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 ∵log 123＝a，则 ＝log32，又∵log37＝b，
a
log 56 log356 log37＋3log32 ab＋3∴ 42 ＝ ＝ ＝ .
log342 log37＋log32＋1 ab＋a＋1