第四讲 基本不等式
【考试要求】
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．
【知识梳理】
1 ab a＋b．基本不等式： ≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
(3) a＋b其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数．
2
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)b a＋ ≥2(a，b 同号)．
a b
(3)ab≤ (a b )2 (a，b∈R)．
2
a2＋b2 (a b(4) ≥ )2 (a，b∈R)．
2 2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．利用基本不等式求最值
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 p.(简记：积定和最小)
2
(2) p如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，积 xy 有最大值 .(简记：和定积最大)
4
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)x≠0时，x 1＋ ≥2.( × )
x
(2)若 a>0，则 a3 1＋ 的最小值为 2 a.( × )
a2
(3) a＋b两个不等式 a2＋b2≥2ab 与 ≥ ab成立的条件是相同的．( × )
2
(4) x>0 y>0 x y“ 且 ”是“ ＋ ≥2”的充要条件．( × )
y x
2．已知 x>2，则 x 1＋ 的最小值是( )
x－2
A．1 B．2 C．2 2 D．4
答案 D
解析 ∵x>2，
x 1 x 2 1 1∴ ＋ ＝ － ＋ ＋2≥2 x－2 ＋2＝4，
x－2 x－2 x－2
1
当且仅当 x－2＝ ，即 x＝3时，等号成立．
x－2
3．下列等式中最小值为 4的是( )
A．y＝x 4＋ B．y＝2t 1＋
x t
C y 1 1． ＝4t＋ (t>0) D．y＝t＋
t t
答案 C
解析 A中 x＝－1 1 1时，y＝－5<4，B中 t＝－1时，y＝－3<4，C中 y＝4t＋ ≥2 4t· ＝4，
t t
1
当且仅当 t＝ 时等号成立，D中 t＝－1时，y＝－2<4.故选 C.
2
4．若把总长为 20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案 25
解析 设矩形的一边为 x m，面积为 y m2，
1
则另一边为 ×(20－2x)＝(10－x)m，其中 02
x＋ 10－x
∴y＝x(10－x)≤ 2 2＝25，
当且仅当 x＝10－x，即 x＝5时，等号成立，
所以 ymax＝25，
即矩形场地的最大面积是 25 m2.
5 x．函数 y＝ (x>0)的最大值为________．
x2＋1
1
答案
2
1
解析 y x 1＝ ＝
x2＋1 x 1
≤ .
＋ 2
x
1
当且仅当 x＝ ，即 x＝1时，等号成立．
x
2
6 x．函数 y＝ (x>1)的最小值为________．
x－1
答案 4
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
x2 x2y －1＋1 x 1 1∴ ＝ ＝ ＝ ＋ ＋
x－1 x－1 x－1
(x 1) 1＝ － ＋ ＋2≥4.
x－1
x 1 1当且仅当 － ＝ ，即 x＝2时，等号成立.
x－1
【典型例题】
题型一 利用基本不等式求最值——配凑法
1．已知 09
答案
8
2x＋3－2x
1
解析 x(3－2x)＝ ·2x(3－2x) 1≤ · 2 2 9＝ ，
2 2 8
当且仅当 2x＝3－2x，
即 x 3＝ 时取等号．
4
2 x>5 1．已知 ，则 f(x)＝4x－2＋ 的最小值为________．
4 4x－5
答案 5
5
解析 ∵x> ，∴4x－5>0，
4
∴f(x)＝4x－2 1 1＋ ＝4x－5＋ ＋3≥2 1＋3＝5.
4x－5 4x－5
当且仅当 4x－5 1＝ ，即 x 3＝ 时取等号．
4x－5 2
3 f(x) －x
2
．已知函数 ＝ (x<－1)，则( )
x＋1
A．f(x)有最小值 4 B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值 4 D．f(x)有最大值－4
答案 A
f(x) －x
2 －x2－1＋1
解析 ＝ ＝
x＋1 x＋1
x 1 1－1＋ x＋1＋ －2
＝－ x＋1 ＝－ x＋1
＝－(x＋1) 1＋ ＋2.
－ x＋1
因为 x<－1，所以 x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以 f(x)≥2 1＋2＝4，
当且仅当－(x＋1) 1＝ ，即 x＝－2时，等号成立．
－ x＋1
故 f(x)有最小值 4.
跟踪训练 1
4．若 02
解 由 x 1－4x2＝ x2 1－4x2
1
＝ ·4x2 1－4x2
4
1 4x2 1 4x2 1 4x
2＋ 1－4x2
＝ － ≤ ·
2 2 2
1
＝ ，
4
当且仅当 4x2 1＝1－4x2，即 x2＝ ，
8
x 2＝ 时取“＝”，故 x 1－4x2 1的最大值为 .
4 4
5．当 x>1 2x 8时，求 ＋ 的最小值；
x－1
8 x－1
4
＋
解析 2x＋ ＝2 x－1 ＋2，
x－1
∵x>1，∴x－1>0，
2x 8∴ ＋ ≥2×2 4＋2＝10，
x－1
当且仅当 x 1 4－ ＝ ，即 x＝3时，取等号．
x－1
2
6 x ＋2． (x>1)的最小值为________．
x－1
答案 2＋2 3
解析 令 x－1＝t，则 x＝1＋t 且 t>0，
x2＋2 1＋t 2＋2 t2＋2t＋3
∴ ＝ ＝
x－1 t t
t 3＝ ＋ ＋2≥2 3＋2.
t
3
当且仅当 t＝ ，即 t＝ 3，
t
x＝ 3＋1时，等号成立．
题型二 利用基本不等式求最值——常数代换法
7 1 1．若正数 m，n 满足 2m＋n＝1，则 ＋ 的最小值为( )
m n
A．3＋2 2 B．3＋ 2
C．2＋2 2 D．3
答案 A
解析 因为 2m＋n＝1，
1 1
1 1 ＋
则 ＋ ＝ m n ·(2m n 2m＋n)＝3＋ ＋
m n m n
3 2 n ·2m≥ ＋ ＝3＋2 2，
m n
当且仅当 n＝ 2m m 2－ 2，即 ＝ ，n＝ 2－1时等号成立，
2
1 1
所以 ＋ 的最小值为 3＋2 2，故选 A.
m n
8．已知 x>0，y>0且 x＋y 5 1 1＝ ，则 ＋ 的最小值为________．
x＋1 y＋2
1
答案
2
解析 令 x＋1＝m，y＋2＝n，
∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，
则 m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
1 1 n m
1 1 1 1 ＋ 1 1 ＋ ＋2
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ m n × (m 1＋n)＝ m n ≥ ·(2 1＋2) 1＝ .
x＋1 y＋2 m n 8 8 8 2
n m
当且仅当 ＝ ，即 m＝n＝4时等号成立．
m n
1 1 1
∴ ＋ 的最小值为 .
x＋1 y＋2 2
跟踪训练 2
9 x>0 y>0 1 9．已知 ， ，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值．
x y
1 9
解 方法一 ∵x>0，y>0， ＋ ＝1，
x y
1 9
＋
x y x y (x y) y 9x∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋10
x y
≥6＋10＝16，
y 9x
当且仅当 ＝ ，
x y
1 9
又 ＋ ＝1，即 x＝4，y＝12时，上式取等号．
x y
故当 x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
1 9
方法二 由 ＋ ＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
x y
1 9
由 ＋ ＝1可知 x>1，y>9，
x y
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
≥2 x－1 y－9 ＋10＝16，
当且仅当 x－1＝y－9＝3，
即 x＝4，y＝12时上式取等号，
故当 x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
10 1 a．已知不等式 ( ) (x＋y)≥9对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )
x y
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
1 a 1 a
＋ ＋
解析 已知不等式(x＋y) x y ≥9对任意正实数 x，y 恒成立，只要求(x＋y) x y 的最小值
大于或等于 9，
1 a
＋
∵(x＋y) x y ＝1 a y ax＋ ＋ ＋ ≥a＋2 a＋1，
x y
当且仅当 y＝ ax 时，等号成立，
∴a＋2 a＋1≥9，
∴ a≥2或 a≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数 a 的最小值为 4，故选 B.
题型三 基本不等式的实际应用
11．小王于年初用 50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 6万元，从第二年
起，每年都比上一年增加支出 2万元，假定该车每年的运输收入均为 25万元．小王在该车运
输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x 年年底出售，其销
售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为 10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收
入－总支出)
解 (1)设大货车运输到第 x 年年底，
该车运输累计收入与总支出的差为 y 万元，
则 y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(0由－x2＋20x－50>0，
可得 10－5 2因为 2<10－5 2<3，
所以大货车运输到第 3年年底该车运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，
所以二手车出售后，
y＋ 25－x x
25
＋
小王的年平均利润为 ＝19－ x ≤19－2 25＝9，
x
25
当且仅当 x＝ ，即 x＝5时，等号成立，
x
所以小王应当在第 5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．
素养提升 (1)利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满
足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)构建数学模型，提升数学建模核心素养．
跟踪训练 3
12．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方
向．某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019年 1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的
销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元
2
之间满足函数关系式 x＝3－ .已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1
t＋1
万件进货价格为 32万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实
体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元．
答案 37.5
32 t2 ×150%＋
解析 由题意知 t＝ －1(13－x
16 3 1－x ＋
－32x－3－t 16x t＝ － －3＝16x 1 1－ ＋ －3＝45.5－ 3－x ≤45.5－2 16＝37.5，
2 3－x 2
当且仅当 x 11＝ 时取等号，即最大月利润为 37.5万元．
4
【课堂小测】
1．下列不等式正确的是( )
1 1A．a＋ ≥2 B．(－a)＋ ( )≤－2
a a
C a2 1
1
． ＋ ≥2 D．(－a)2＋ ( )2 ≤－2
a2 a
答案 C
a2>0 a2 1解析 ∵ ，故 ＋ ≥2成立．
a2
2．已知 a>0，且 b>0，若 2a＋b＝4，则 ab 的最大值为( )
A.1 B 1．4 C. D．2
4 2
答案 D
解析 4＝2a＋b≥2 2ab，
即 2≥ 2ab，两边平方得 4≥2ab，
∴ab≤2，当且仅当 a＝1，b＝2时，等号成立，
∴ab 的最大值为 2.
3．(多选)设 a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b 1＋ ≥2 2 B. 2ab ≥ ab
ab a＋b
a2＋b2
C. a 1 1≥ ＋b D．(a＋b) ( )≥4
ab a b
答案 ACD
解析 ∵a>0，b>0，
∴a＋b 1＋ ≥2 ab 1＋ ≥2 2，
ab ab
1
当且仅当 a＝b 且 2 ab＝ ，即 a b 2＝ ＝ 时取等号，
ab 2
故 A一定成立；
∵a＋b≥2 ab>0，
2ab 2ab
∴ ≤ ＝ ab，当且仅当 a＝b 时取等号，
a＋b 2 ab
2ab
∴ ≥ ab不一定成立，故 B不一定成立；
a＋b
2ab 2ab
∵ ≤ ＝ ab，当且仅当 a＝b 时取等号，
a＋b 2 ab
a2＋b2 a＋b 2－2ab
＝ ＝a 2ab＋b－ ≥2 ab－ ab＝ ab，
a＋b a＋b a＋b
当且仅当 a＝b 时取等号，
a2＋b2 a2＋b2
∴ ≥ ab，∴ ≥a＋b，故 C一定成立；
a＋b ab
1 1
∵(a b a＋b) ( )＝2＋ ＋ ≥4，
a b a b
当且仅当 a＝b 时取等号，故 D一定成立．
4．若 a，b 都是正数，且 a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为________．
9
答案
4
a＋1 ＋ b＋1
解析 (a＋1)(b＋1)≤ 2 2 9＝ ，
4
当且仅当 a＋1＝b 1 a b 1＋ ，即 ＝ ＝ 时取等号，
2
故(a＋1)(b＋1) 9的最大值为 .
4
5．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润 y(单位：
10万元)与营运年数 x(x∈N*)满足关系 y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年
平均利润最大．
答案 5
解析 ∵y＝－x2＋12x－25，
y －x2＋12x－25
∴年平均利润为 ＝
x x
x 25＋
＝－ x ＋12≤－2 x·25＋12＝2，
x
x 25当且仅当 ＝ ，即 x＝5时，等号成立．
x
6．已知 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy，求：
(1)xy 的最小值；
(2)x＋y 的最小值．
解 (1)∵xy＝2x＋8y≥2 2x·8y，
即 xy≥8 xy，即 xy≥64，
当且仅当 2x＝8y，即 x＝16，y＝4时，等号成立，
∴xy 的最小值为 64.
(2)由 2x＋8y＝xy 8 2，得 ＋ ＝1，
x y
8 2
＋
则 x＋y＝ x y (x＋y)
10 2x 8y 10 2 2x·8y＝ ＋ ＋ ≥ ＋ ＝18.
y x y x
2x 8y
当且仅当 ＝ ，即 x＝12，y＝6时等号成立，
y x
所以 x＋y 的最小值为 18.
【课后作业】
1．已知 a>0，b>0，且 ab＝2，那么( )
A．a＋b≥4 B．a＋b≤4
C．a2＋b2≥4 D．a2＋b2≤4
答案 C
解析 ∵a>0，b>0，
∴a＋b≥2 ab＝2 2，故 A，B均错误．
a2＋b2≥2ab＝4，故选 C.
2．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800元．若每批生产 x 件，则平均
x
仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与
8
仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
答案 B
x 800 x解析 若每批生产 件产品，则每件产品的生产准备费用是 元，仓储费用是 元，总的费
x 8
800 x 2 800·x 20 800 x用是 ＋ ≥ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 x＝80时取等号．
x 8 x 8 x 8
3 2 1．已知正数 a，b 满足 a＋2b＝2，则 ＋ 的最小值为________．
a b
答案 4
2 1
2 1 ＋a b 1解析 ＋ ＝ × (a＋2b)
a b 2
4 a 4b1 ＋ ＋
＝ b a
2
1
≥ (4＋2 4)＝4.
2
a 4b 1
当且仅当 ＝ ，即 a＝1，b＝ 时等号成立，
b a 2
2 1
∴ ＋ 的最小值为 4.
a b
4．设 a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2
1 1
＋1>a； ② (a )(b )≥4；
a b
③(a b) (1 1＋ )≥4； ④a2＋9>6a.
a b
其中恒成立的是________．(填序号)
答案 ①②③
a 1
解析 由于 a2
－
＋1－a＝ 2 2 3＋ >0，故①恒成立；
4
ab 1＝ ，
a 1 b 1＋ ＋ ab
由于 a b ＝ab 1 b a 2 ab· 1 b＋ ＋ ＋ ≥ ＋2 ·a＝4.当且仅当 即 a＝b
ab a b ab a b b a＝ ，
a b
＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
1 1
＋
由于(a b) a b 2 b a 2 2 b·a 4. a b＋ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋ ＝ 当且仅当 ＝ ，即 a＝b 时，“＝”成立，故③
a b a b b a
恒成立；
当 a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，恒成立的是①②③.
5．命题“ x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0”为真命题，则实数 a 的取值范围是________．
答案 (－∞，2 3＋2)
解析 依题意 x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0恒成立，
2
即 a(x－1)x－1
x2＋2 x2－2x＋1 ＋ 2x－2 ＋3
∵ ＝
x－1 x－1
x－1 2＋2 x－1 ＋3
＝
x－1
＝(x－1) 3＋ ＋2≥2 3＋2.
x－1
3
当且仅当 x－1＝ ，即 x＝ 3＋1时，等号成立．
x－1
∴a<2 3＋2.
6．运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130千米，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：
x2
千米/时)．假设汽油的价格是每升 2元，而汽车每小时耗油 (2 )升，司机的工资是每小
360
时 14元．
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．
解 (1) 130所用时间为 t＝ (h)，
x
x2
130 2＋y＝ ×2× 360 14 130＋ × ，x∈[50,100]．
x x
130×18 2×130
所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y＝ ＋ x，x∈[50,100]
x 360
( y 2 340 13或 ＝ ＋ x，x∈[50,100])．
x 18
(2)y 130×18 2×130＝ ＋ x≥26 10，
x 360
130×18 2×130
当且仅当 ＝ x，
x 360
即 x＝18 10时等号成立．
故当 x＝18 10时，这次行车的总费用最低，最低费用为 26 10元．第四讲 基本不等式
【考试要求】
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．
【知识梳理】
1．基本不等式： .
(1)基本不等式成立的条件： .
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
(3) a＋b其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数．
2
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
(2)b a＋ ≥ (a，b 同号)．
a b
(3)ab (a b )2 (a，b∈R)．
2
2
(4)a ＋b
2
(a b )2 (a，b∈R)．
2 2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．利用基本不等式求最值
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 时，和 x＋y 有最 值 2 p.(简记：积定和最小)
2
(2) p如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 时，积 xy 有最 值 .(简记：和定积最大)
4
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)x≠0 1时，x＋ ≥2.( )
x
(2)若 a>0 a3 1，则 ＋ 的最小值为 2 a.( )
a2
(3)两个不等式 a2＋b2≥2ab a＋b与 ≥ ab成立的条件是相同的．( )
2
(4)“x>0且 y>0 x y”是“ ＋ ≥2”的充要条件．( )
y x
2．已知 x>2，则 x 1＋ 的最小值是( )
x－2
A．1 B．2 C．2 2 D．4
3．下列等式中最小值为 4的是( )
A 4 1．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t 1＋ (t>0) D．y 1＝t＋
x t t t
4．若把总长为 20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
5 x．函数 y＝ (x>0)的最大值为________．
x2＋1
2
6．函数 y x＝ (x>1)的最小值为________．
x－1
【典型例题】
题型一 利用基本不等式求最值——配凑法
1．已知 02 x>5 f(x) 4x 2 1．已知 ，则 ＝ － ＋ 的最小值为________．
4 4x－5
2
3 －x．已知函数 f(x)＝ (x<－1)，则( )
x＋1
A．f(x)有最小值 4 B．f(x)有最小值－4 C．f(x)有最大值 4 D．f(x)有最大值－4
跟踪训练 1
4．若 02
5．当 x>1时，求 2x 8＋ 的最小值；
x－1
x26 ＋2． (x>1)的最小值为________．
x－1
题型二 利用基本不等式求最值——常数代换法
7 1 1．若正数 m，n 满足 2m＋n＝1，则 ＋ 的最小值为( )
m n
A．3＋2 2 B．3＋ 2 C．2＋2 2 D．3
8．已知 x>0，y>0且 x＋y 5 1 1＝ ，则 ＋ 的最小值为________．
x＋1 y＋2
跟踪训练 2
9．已知 x>0 y>0 1 9， ，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值．
x y
10 (1 a．已知不等式 ) (x＋y)≥9对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )
x y
A．2 B．4 C．6 D．8
题型三 基本不等式的实际应用
11．小王于年初用 50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 6万元，从第二年
起，每年都比上一年增加支出 2万元，假定该车每年的运输收入均为 25万元．小王在该车运
输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x 年年底出售，其销
售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为 10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收
入－总支出)
跟踪训练 3
12．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方
向．某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019年 1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的
销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元
之间满足函数关系式 x＝3 2－ .已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1
t＋1
万件进货价格为 32万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实
体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元．
【课堂小测】
1．下列不等式正确的是( )
1
A．a 1＋ ≥2 B．(－a)＋ ( )≤－2
a a
C．a2 1
1
＋ ≥2 D．(－a)2＋ ( )2 ≤－2
a2 a
2．已知 a>0，且 b>0，若 2a＋b＝4，则 ab 的最大值为( )
A.1 B．4 C.1 D．2
4 2
3．(多选)设 a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A a b 1 2 2 B. 2ab ab
a2＋b2 1 1
． ＋ ＋ ≥ ≥ C. ≥a＋b D．(a＋b) ( )≥4
ab a＋b ab a b
4．若 a，b 都是正数，且 a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为________．
5．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润 y(单位：
10万元)与营运年数 x(x∈N*)满足关系 y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年
平均利润最大．
6．已知 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy，求：
(1)xy 的最小值；
(2)x＋y 的最小值．
【课后作业】
1．已知 a>0，b>0，且 ab＝2，那么( )
A．a＋b≥4 B．a＋b≤4 C．a2＋b2≥4 D．a2＋b2≤4
2．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800元．若每批生产 x 件，则平均
x
仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与
8
仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
3 2 1．已知正数 a，b 满足 a＋2b＝2，则 ＋ 的最小值为________．
a b
4．设 a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a 1； ② (a )(b 1 )≥4；③(a＋b) (1 1 )≥4； ④a2＋9>6a.
a b a b
其中恒成立的是________．(填序号)
5．命题“ x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0”为真命题，则实数 a 的取值范围是________．
6．运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130千米，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：
2
千米/时) x．假设汽油的价格是每升 2元，而汽车每小时耗油 (2 )升，司机的工资是每小
360
时 14元．
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．
