第六讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【考试要求】
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
【知识梳理】
1．直线 Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
|Aa＋Bb＋C|
几何法：设圆心到直线的距离 d＝
2 2 d
rA ＋B
判定
Ax＋By＋C＝0
方法 代数法：由
x－a 2＋ y－b 2＝r2 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与 r1，r2 0≤d<|r1－r2|
d> r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|的关系 (r1≠r2)
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
Δ>0 相交
圆 C1方程 消元
――→一元二次方程 Δ＝0 内切或外切
圆 C2方程
Δ<0 内含或外离.
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( √ )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
(4)过圆 O：x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ )
2．直线 y＝x＋1与圆 x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
3．直线 l：3x－y－6＝0与圆 x2＋y2－2x－4y＝0相交于 A，B两点，则|AB|＝________.
答案 10
4．两圆 x2＋y2－2y＝0与 x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
答案 内切
5．(多选)直线 x－y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是
( )
A．0C．m<1 D．－3答案 AB
x－y＋m＝0，
解析 联立直线与圆的方程得 消去 y，得 2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，
x2＋y2－2x－1＝0，
根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16>0，得－3∵{m|0∴06．过点 A(3,5)作圆 O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________．
答案 5x－12y＋45＝0或 x－3＝0
解析 化圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径为 2，
∵|OA|＝ 3－1 2＋ 5－2 2＝ 13>2，∴点 A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线
与圆相切，即切线方程为 x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为 y－5＝k(x－3)，
|3－2k|
即 kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径 r＝2，而圆心到切线的距离 d＝ ＝2，
k2＋1
即|3－2k|＝2 k2 5＋1，∴k＝ ，
12
故所求切线方程为 5x－12y＋45＝0或 x－3＝0.
【典型例题】
题型一 直线与圆的位置关系
1．(多选)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几
个命题正确的有( )
A．直线 l恒过定点(3,1) B．直线 l与圆 C相切
C．直线 l与圆 C恒相交 D．直线 l与圆 C相离
答案 AC
解析 将直线 l的方程整理为 x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
x＋y－4＝0， x＝3，
由 解得
2x＋y－7＝0， y＝1.
则无论 m为何值，直线 l过定点(3,1)，故直线 l与圆 C恒相交，故 AC正确．
2．若圆 x2＋y2＝r2(r>0)上恒有 4个点到直线 l：x－y－2＝0的距离为 1，则实数 r的取值范围
是( )
A．( 2＋1，＋∞) B．( 2－1， 2＋1)
C．(0， 2－1) D．(0， 2＋1)
答案 A
2
解析 计算得圆心到直线 l的距离为 ＝ 2>1，如图．直线 l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与
2
l平行，且与直线 l的距离为 1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线 l2的距离 2＋1.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用 d与 r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
跟踪训练 1
3．已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1外，则直线 ax＋by＝1与圆 O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1外，
|a·0＋b·0－1| 1
所以 a2＋b2>1，而圆心 O到直线 ax＋by＝1的距离 d＝ ＝ <1.
a2＋b2 a2＋b2
所以直线与圆相交．
4．已知直线 l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆 C：x2＋y2＝r2(r>0)相交，则 r 的取值范围是
( )
A．01
答案 D
1
解析 圆心到直线的距离 d＝ ＝1，故 r>1.
cos2α＋sin2α
题型二 圆的切线、弦长问题
命题点 1 切线问题
5．与 3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
答案 B
解析 设与直线 3x＋4y＝0垂直的直线方程为 l：4x－3y＋m＝0，
直线 l与圆(x－1)2＋y2＝4 |4＋m|相切，则圆心(1,0)到直线 l的距离为半径 2，即 ＝2，
5
所以 m＝6或 m＝－14，所以 4x－3y＋6＝0，或 4x－3y－14＝0，结合选项可知 B正确．
6．(2019·浙江)已知圆 C的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2x－y＋3＝0与圆 C相切于
点 A(－2，－1)，则 m＝________，r＝________.
答案 －2 5
解析 方法一 设过点 A(－2，－1)且与直线 2x－y＋3＝0垂直的直线方程为 l：x＋2y＋t＝0，
所以－2－2＋ t＝0，所以 t＝4，所以 l：x＋2y＋4＝0，令 x＝0，得 m＝－2，则 r＝
－2－0 2＋ －1＋2 2＝ 5.
方法二 因为直线 2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为 A(－2，－1)，所以
m＋1
×2＝－1，所以 m＝－2，r＝ －2－0 2＋ －1＋2 2＝ 5.
0－ －2
命题点 2 弦长问题
7．(多选)已知圆 M的一般方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆 M的圆心为(4，－3)
B．圆 M被 x轴截得的弦长为 8
C．过原点的最短弦长为 8
D．圆 M被 y轴截得的弦长为 6
答案 ABD
解析 圆 M的一般方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0，
则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为 5.过原点的最短弦长为 6，选项 C
不正确．ABD均正确．
8．过点 P(0,2)引一条直线 l交圆(x－1)2＋y2＝4于 A，B两点，若|AB|＝2 3，则直线 l的方程
为________．
答案 x＝0或 3x＋4y－8＝0
解析 当直线 l的斜率不存在时，其方程为 x＝0，可求出它与圆(x－1)2＋y2＝4的两交点坐标
分别为(0， 3)，(0，－ 3)，所以弦长|AB|＝2 3，满足题意．当直线 l的斜率存在时，设直
线 l的方程为 y＝kx＋2，即 kx－y＋2＝0.
如图，设圆心为 C，点 D是弦 AB的中点，连接 CD，AC，
则 CD⊥AB.在 Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|AC|＝r＝2，|AD| 1＝ |AB|＝ 3，
2
|k＋2|
故|CD|＝ |AC|2－|AD|2＝ 4 3－3＝1，即 ＝1，解得 k＝－ ，
1＋k2 4
这时直线 l的方程为 3x＋4y－8＝0.
故所求直线方程为 x＝0或 3x＋4y－8＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
跟踪训练 2
9．已知过原点的直线 l与圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点 A，B，且线段 AB的中
点坐标为 D(2， 2)，则弦长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 将圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆 C的圆心坐
标为(3,0)，半径为 2.因为线段 AB的中点坐标为 D(2， 2)，所以|CD|＝ 1＋2＝ 3，所以|AB|
＝2 4－3＝2.
10．过直线 y＝2x＋3上的点作圆 C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0 的切线，则切线长的最小值为
( )
A. 19 B．2 5 C. 21 D. 55
5
答案 A
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线 y＝2x＋3上的点和
|2×2＋3＋3|
圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线 y＝2x＋3的距离 d，d＝
5
＝2 5，故切线长的最小值为 d2－r2＝ 19.
11．过点(2,0)引直线 l与圆 x2＋y2＝2相交于 A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最
大值时，直线 l的斜率为________．
答案 ± 3
3
解析 由题意可得，直线 l的斜率存在，设直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为 y＝k(x－2)，
即 kx－y－2k＝0，当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心 O到直线的距离为 d＝1，
|－2k| 3
由点到直线的距离公式得 d＝ ＝1 k＝± .
1＋k2 3
题型三 圆与圆的位置关系
12．已知两圆 x2＋y2－2x－6y－1＝0和 x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求 m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为 11和 61－m.
(1)当两圆外切时，
5－1 2＋ 6－3 2＝ 11＋ 61－m.
解得 m＝25＋10 11.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即 4x＋3y－23＝0.
|4＋3×3－23|
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为 2× 11 2－ 42＋32 2
＝2 7.
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之
间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2项得到．
跟踪训练 3
13．已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线 x＋y＝0所得线段的长度是 2 2，则圆 M与圆 N：
(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
答案 B
a
解析 由题意得圆 M的标准方程为 x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线 x＋y＝0的距离 d＝ ，
2
2
所以 2 a2 a－ ＝2 2，解得 a＝2，圆 M，圆 N的圆心距|MN|＝ 2小于两圆半径之和 1＋2，
2
大于两圆半径之差 1，故两圆相交．
14．若圆 x2＋y2＝a2与圆 x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为 2 3，则 a＝________.
答案 ±2
解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为 a2＋ay－6＝0.原点到 a2＋ay－6＝0的距离为 d
|6－a＝ a |.
6
∵公共弦长为 2 3，∴a2＝( 3)2＋| －aa |2，
∴a2＝4，a＝±2.
【课后作业】
1．直线 l：mx－y＋1－m＝0与圆 C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 A
|m|
解析 方法一 由题意知，圆心(0,1)到直线 l的距离 d＝ <1< 5，故直线 l与圆相交．
m2＋1
方法二 直线 l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，
因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5的内部，
所以直线 l与圆相交．
2．圆 O1：x2＋y2－2x＝0和圆 O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
答案 B
解析 圆 O1的圆心坐标为(1,0)，半径长 r1＝1，圆 O2的圆心坐标为(0,2)，半径长 r2＝2，所
以两圆的圆心距 d＝ 5，而 r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有 r2－r13．已知圆 x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线 x＋y－4＝0所得弦的长度小于 6，则实数 a的取值
范围为( )
A.(2－ 17，2＋ 17) B.(2－ 17，2)
C.(－15，＋∞) D．(－15,2)
答案 D
解析 圆心(1，－1)，半径 r＝ 2－a，2－a>0，∴a<2，
|1－1－4|
圆心到直线 x＋y－4＝0的距离 d＝ ＝2 2.
2
则弦长为 2 2－a 2－ 2 2 2＝2 －a－6<6.
解得 a>－15，故－154．已知圆 C与直线 x－y＝0及 x－y－4＝0都相切，圆心在直线 x＋y＝0上，则圆 C的方程
为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 方法一 设圆心坐标为(a，－a)，由圆 C与直线 x－y＝0及 x y 4 0 |2a|－ － ＝ 都相切可得
2
|2a－4|
＝ ，解得 a＝1，所以半径 r＝ 2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
2
方法二 圆心在 x＋y＝0上，可排除选项 C，D，再结合图象，或者验证选项 A，B中圆心到
两直线的距离等于半径 2，可知 B正确．
5．(多选)若直线 x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为 2 2，则实数 a的值为( )
A．0 B．4 C．－2 D．6
答案 AB
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径 r＝2.又直线被圆截得的弦长为 2 2，所以圆
2 2
22 2 2 |a－2|心到直线的距离 d＝ － 2 ＝ .又 d＝ ，所以|a－2|＝2，解得 a＝4或 a＝0.
2
6．(多选)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝12上恰有三个点到直线 l：kx＋y＝0的距离等于 3，则直
线 l的斜率为( )
A．2＋ 6 B．－2＋ 6
C．－ 6＋2 D．－ 6－2
答案 AC
|2k－1|
解析 由题意，圆心到直线 l的距离等于半径的一半，所以 ＝ 3，解得 k＝2± 6.
k2＋1
7．与直线 y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程为____________．
答案 x－y＋5＝0或 x－y－3＝0
解析 设直线的方程为 y＝x＋m，即 x－y＋m＝0.圆(x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，
2 |2－3＋m|半径为 2 ，由 ＝2 2，解得 m＝5或 m＝－3.故所求直线方程为 y＝x＋5或 y＝x－
2
3，即 x－y＋5＝0或 x－y－3＝0.
8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
答案 2 2
解析 设 P(3,1)，圆心 C(2,2)，则|PC|＝ 2，半径 r＝2.由题意知最短的弦过 P(3,1)且与 PC垂
直，所以最短弦长为 2 22－ 2 2＝2 2.
9．若 A为圆 C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆 C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段 AB
长度的最大值是______．
答案 8
解析 圆 C1：x2＋y2＝1的圆心为 C1(0,0)，半径 r1＝1，
圆 C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为 C2(3，－4)，半径 r2＝2，
∴|C1C2|＝5.又 A为圆 C1上的动点，B为圆 C2上的动点，
∴线段 AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
10．(2021·石家庄质检)已知直线 x－2y＋a＝0与圆 O：x2＋y2＝2相交于 A，B两点(O为坐标
原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数 a的值为________．
答案 5或－ 5
解析 因为直线 x－2y＋a＝0与圆 O：x2＋y2＝2相交于 A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB
|a|
为等腰直角三角形，所以 O到直线 AB的距离为 1，由点到直线的距离公式可得 ＝
12＋ －2 2
1，所以 a＝± 5.
11．已知圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线 l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线 l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点 A(4，－1)．
解 (1)设切线方程为 x＋y＋b＝0(b≠－4)，
|1－2＋b|
则 ＝ 10，∴b＝1±2 5，
2
∴切线方程为 x＋y＋1±2 5＝0.
(2)设切线方程为 2x＋y＋m＝0，
|2－2＋m|
则 ＝ 10，∴m＝±5 2，
5
∴切线方程为 2x＋y±5 2＝0.
(3)∵k －2＋1 1AC＝ ＝ ，∴过切点 A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点 A(4，－1)的切线方程
1－4 3
为 y＋1＝－3(x－4)，即 3x＋y－11＝0.
12．已知一个圆与 y轴相切，圆心在直线 x－3y＝0上，且被直线 y＝x所截得的弦长为 2 7，
求该圆的方程．
解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线 x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与 y轴相切，∴半径 r＝3|a|，
又所求圆在直线 y＝x上截得的弦长为 2 7，
(3a a) y x d |2a|圆心 ， 到直线 ＝ 的距离 ＝ ，
2
∴d2＋( 7)2＝r2，即 2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即 x2＋y2－6x－2y＋1＝0或 x2
＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
|a－b|
则圆心(a，b)到直线 y＝x的距离为 ，
2
r2 a－b
2
∴ ＝ ＋7，即 2r2＝(a－b)2＋14.①
2
由于所求圆与 y轴相切，∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线 x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③
a＝3， a＝－3，
联立①②③，解得 b＝1， 或 b＝－1，
r2＝9 r2＝9.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即 x2＋y2－6x－2y＋1＝0或 x2
＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法三 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
D E
－ ，－
则圆心坐标为 2 2 ，
r 1半径 ＝ D2＋E2－4F.
2
在圆的方程中，令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与 y轴相切，∴Δ＝0，则 E2＝4F.①
D E D E－ ＋
－ ，－ | 2 2|
圆心 2 2 到直线 y＝x的距离为 d＝ ，
2
由已知得 d2＋( 7)2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
D E
－ ，－
又圆心 2 2 在直线 x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.③
D＝－6， D＝6，
联立①②③，解得 E＝－2， 或 E＝2，
F＝1 F＝1.
故所求圆的方程为 x2＋y2－6x－2y＋1＝0或 x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.第六讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识梳理】
1．直线 Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
|Aa＋Bb＋C|
几何法：设圆心到直线的距离 d＝
A2＋B2
判定
Ax By C 0
方法 代数法：由
(x a)
2 (y b)2 r 2
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与 r1，r2
的关系
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
0 相交
圆C1的方程
消 元 一元二次方程 0 内切或外切
圆C2的方程
0 内含或外离
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(4)过圆 O：x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( )
1
2．直线 y＝x＋1与圆 x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
3．直线 l：3x－y－6＝0与圆 x2＋y2－2x－4y＝0相交于 A，B两点，则|AB|＝________.
4．两圆 x2＋y2－2y＝0与 x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
5．(多选)直线 x－y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是
( )
A．06．过点 A(3,5)作圆 O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________．
【典型例题】
题型一 直线与圆的位置关系
1．(多选)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几
个命题正确的有( )
A．直线 l恒过定点(3,1) B．直线 l与圆 C相切
C．直线 l与圆 C恒相交 D．直线 l与圆 C相离
2．若圆 x2＋y2＝r2(r>0)上恒有 4个点到直线 l：x－y－2＝0的距离为 1，则实数 r的取值范围
是( )
A．( 2＋1，＋∞) B．( 2－1， 2＋1) C．(0， 2－1) D．(0， 2＋1)
练习 1
3．已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1外，则直线 ax＋by＝1与圆 O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
4．已知直线 l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆 C：x2＋y2＝r2(r>0)相交，则 r的取值范围是
( )
A．01
2
题型二 圆的切线、弦长问题
5．与 3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6 C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
6．(2019·浙江)已知圆 C的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2x－y＋3＝0与圆 C相切于
点 A(－2，－1)，则 m＝________，r＝________.
7．(多选)已知圆 M的一般方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆 M的圆心为(4，－3) B．圆 M被 x轴截得的弦长为 8
C．过原点的最短弦长为 8 D．圆 M被 y轴截得的弦长为 6
8．过点 P(0,2)引一条直线 l交圆(x－1)2＋y2＝4于 A，B两点，若|AB|＝2 3，则直线 l的方程
为________．
练习 2
9．已知过原点的直线 l与圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点 A，B，且线段 AB的中
点坐标为 D(2， 2)，则弦长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．过直线 y＝2x＋3上的点作圆 C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0 的切线，则切线长的最小值为
( )
A. 19 B．2 5 C. 21 D. 55
5
3
11．过点(2,0)引直线 l与圆 x2＋y2＝2相交于 A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最
大值时，直线 l的斜率为________．
题型三 圆与圆的位置关系
12．已知两圆 x2＋y2－2x－6y－1＝0和 x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求 m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
练习 3
13．已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线 x＋y＝0所得线段的长度是 2 2，则圆 M与圆 N：
(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
14．若圆 x2＋y2＝a2与圆 x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为 2 3，则 a＝________.
4
【课后作业】
1．直线 l：mx－y＋1－m＝0与圆 C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．圆 O1：x2＋y2－2x＝0和圆 O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
3．已知圆 x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线 x＋y－4＝0所得弦的长度小于 6，则实数 a的取值
范围为( )
A.(2－ 17，2＋ 17) B.(2－ 17，2) C.(－15，＋∞) D．(－15,2)
4．已知圆 C与直线 x－y＝0及 x－y－4＝0都相切，圆心在直线 x＋y＝0上，则圆 C的方程
为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
5．(多选)若直线 x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为 2 2，则实数 a的值为( )
A．0 B．4 C．－2 D．6
6．(多选)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝12上恰有三个点到直线 l：kx＋y＝0的距离等于 3，则直
线 l的斜率为( )
A．2＋ 6 B．－2＋ 6 C．－ 6＋2 D．－ 6－2
7．与直线 y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程为____________．
8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
9．若 A为圆 C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆 C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段 AB
长度的最大值是______．
10．已知直线 x－2y＋a＝0与圆 O：x2＋y2＝2 相交于 A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB
为等腰直角三角形，则实数 a的值为________．
11．已知圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线 l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线 l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点 A(4，－1)．
5
12．已知一个圆与 y轴相切，圆心在直线 x－3y＝0上，且被直线 y＝x所截得的弦长为 2 7，
求该圆的方程．
6