第十四讲 等比数列及其前 n 项和
【考试要求】
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
【知识梳理】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为
零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义
an 1
的表达式为 ＋ ＝q(n∈N*，q为非零常数)．
an
(2)等比中项：如果在 a与 b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与 b
的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1) －通项公式：an＝a1qn 1.
(2)前 n项和公式：
na1，q＝1，
Sn＝ a1 1－qn a1－anq＝ ，q≠1.
1－q 1－q
3．等比数列的性质
(1) －通项公式的推广：an＝am·qn m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数 m，n，p，t，若 m＋n＝p＋t，则 am·an＝ap·at.
特别地，若 m＋n＝2p，则 am·an＝a2p.
(3)若等比数列前 n项和为 Sn，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且 q＝－1除
外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…
为等比数列，公比为 qk.
a1>0， a1<0，(5)若 或 则等比数列{an}递增．
q>1 0
a1>0， a1<0，
若 或 则等比数列{an}递减．
01，
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列{an}的公比 q>1，则该数列单调递增．( × )
(2)三个数 a，b，c成等比数列的充要条件是 b2＝ac.( × )
(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( √ )
n
(4) a 1－a 数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n项和为 Sn＝ .( × )
1－a
2 S10－S5 1．已知等比数列的首项为－1，前 n项和为 Sn，若 ＝ ，则 q的值为( )
S5 32
A 1 1．－ B. C．2 D．－2
2 2
答案 B
q 1 S10－S5 1 1解析 当 ＝ 时， ＝ ≠ ，∴q≠1.
S5 32
q 1 S10－S5 a6＋a7＋a8＋a9＋a10 1当 ≠ 时， ＝ ＝q5＝ ，
S5 a1＋a2＋a3＋a4＋a5 32
∴q 1＝ .故选 B.
2
3．已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则 a4＝________.
答案 54或 24
a1·q＝6， q＝3， q＝2，
解析 由 解得 或
6a1＋a1·q2＝30， a1＝2 a1＝3，
a4＝a1·q3＝2×33＝54或 a4＝3×23＝3×8＝24.
4．已知三个数成等比数列，若它们的和等于 13，积等于 27，则这三个数为_______．
答案 1,3,9或 9,3,1
a a＋ ＋aq＝13，
a q
解析 设这三个数为 ，a，aq，则
q a·a·aq＝27，
q
a＝3，
a＝3，
解得 q 1 或＝
3 q＝3，
∴这三个数为 1,3,9或 9,3,1.
5．(多选)若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列，记 Sn为{an}的前 n项和，则下列说法正确的是
( )
A．若 a1>0,0C．若 q>0，则 S4＋S6>2S5 D．若 b
1
n＝ ，则{bn}是等比数列
an
答案 ABD
解析 A，B显然是正确的；
C中，若 a1＝1 q
1
， ＝ ，则 a62
D bn 1 an 1中， ＋ ＝ ＝ (q≠0)，
bn an＋1 q
∴{bn}是等比数列．
故选 ABD.
6．已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则 a5等于( )
A 1．－2 B．±2 C．2 D．±
2
答案 C
解析 ∵a2·a3·a4＝1，∴a3＝1，
∵a6·a7·a8＝64，∴a7＝4，
又 a25＝a3·a7＝4，a5与 a3同号，
∴a5＝2.故选 C.
【典型例题】
题型一 等比数列基本量的运算
1．(2020· S全国Ⅱ)记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 a5－a3＝12，a6－a4＝24，则 n等于( )
an
A．2n－1 B．2 21－－ n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案 B
解析 方法一 设等比数列{an}的公比为 q，
q a6－a4 24则 ＝ ＝ ＝2.
a5－a3 12
由 a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得 a1＝1.
a a qn－1 2n－1 S a1 1－q
n
所以 n＝ 1 ＝ ， n＝ ＝2n－1，
1－q
S 2nn －1所以 ＝ ＝2－21－n.
a 2n－n 1
方法二 设等比数列{an}的公比为 q，
a3q2－a3＝12，①
则
a4q2－a4＝24，②
② a
得 4＝q＝2.
① a3
将 q＝2代入①，解得 a3＝4.
a a所以 ＝ 31 ＝1，下同方法一．
q2
2 {a } n S a 2 1 1 1 13．已知等比数列 n 的前 项和为 n，若 2＝ ， ＋ ＋ ＝ ，则 S3等于( )
3 a1 a2 a3 2
A.26 B.13 C.13 D．6
9 3 9
答案 A
解析 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，
a 2 1 1 1 13因为 2＝ ，且 ＋ ＋ ＝ ，
3 a1 a2 a3 2
a 21q＝ ，
3 a 2 a1＝2，1＝ ，
所以 1 1 1 13 解得
9 或
＋ ＋ ＝ ， q
1
＝ ，
a a q a q2 2 q＝3 31 1 1
2
2 1－3
3
a 26当 1＝ ，q＝3时，S3＝9 ＝ ；
9 1－3 9
1
1 2 1－ 3
3
a 2 q S 26当 1＝ ， ＝ 时， 3＝ 1 ＝ ，3 1－ 9
3
S 26所以 3＝ .
9
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，
次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走了 378里路，第一天健步行
走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地……则此人后
四天走的路程比前两天走的路程少( )
A．198里 B．191里
C．63里 D．48里
答案 A
解析 设每天走的路程里数为{an}，
则{a 1n}是公比为 的等比数列，
2
1 1－
a1 26
由 S6＝378，得 1 ＝378，解得 a1＝192，1－
2
1
－
∴an＝192· 2 n 1，
∴后四天走的路程为 a3＋a4＋a5＋a6，前两天走的路程为 a1＋a2，
又 a1＋a2＝192＋96＝288，且 S6＝378，
∴a3＋a4＋a5＋a6＝378－288＝90，
∴(a1＋a2)－(a3＋a4＋a5＋a6)＝288－90＝198，
故此人后四天走的路程比前两天走的路程少 198里，故选 A.
4．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋…＋ak 15 5＋10＝2 －2 ，则 k
等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 a1＝2，am＋n＝aman，
令 m＝1，则 an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以 a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，
－
∴an＝2×2n 1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
2k＋1 1－210
∴ ＝215－25，
1－2
即 2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
思维升华 (1)等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)
便可迎刃而解．
(2)等比数列的前 n项和公式涉及对公比 q的分类讨论，当 q＝1时，{an}的前 n项和 Sn＝na1；
n
当 q≠1时，{an}的前 n项和 S
a1 1－q a1－anq
n＝ ＝ .
1－q 1－q
题型二 等比数列的判定与证明
5．已知各项都为正数的数列{an}满足 an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若 a 11＝ ，a
3
2＝ ，求{an}的通项公式．
2 2
(1)证明 an＋2＝2an＋1＋3an，
所以 an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
a a >0 an＋2＋an＋1所以 n＋1＋ n ，所以 ＝3，
an＋1＋an
所以数列{an＋an＋1}是公比为 3的等比数列．
(2)解 由题意知 an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为 an＋2＝2an＋1＋3an，
所以 an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以 a2－3a1＝0，所以 an＋1－3an＝0，
故 an＋1＝3an，
所以 4an＝2×3n－1，a 1＝ 3n－n × 1.
2
思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1) an 1定义法：若 ＋ ＝q(q an为非零常数，n∈N*)或 ＝q(q为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}
an an－1
是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前 n项和公式法：若数列{an}的前 n项和 Sn＝k·qn－k(k为常数且 k≠0，q≠0,1)，则 {an}
是等比数列．
跟踪训练 1
6．已知数列{an}，{cn}满足 cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等
比数列，并说明理由．
解 设等比数列{an}的公比为 q，
则 cn＝2an＋1＋an＝2anq＋an＝(2q＋1)an，
当 q 1＝－ 时，cn＝0，数列{cn}不是等比数列；
2
q 1当 ≠－ 时，因为 cn≠0，
2
cn＋1 2q＋1 an＋1所以 ＝ ＝q，
cn 2q＋1 an
所以数列{cn}是等比数列．
题型三 等比数列性质的应用
7．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前 n项和，若 a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则 S12等
于( )
A．40 B．60 C．32 D．50
答案 B
解析 数列 S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即 4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
8．已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则 a8＝_____.
答案 2
解析 由已知得，2S9＝S3＋S6，∴q≠1，
2 a1 1－q
9 a1 1－q3 a1 1－q6
则有 × ＝ ＋ ，
1－q 1－q 1－q
q3 1解得 ＝－ ，
2
又 a2＋a5＝a2(1＋q3)＝4，
1
∴a2＝8，∴a8＝a2·q6＝8× ＝2.
4
思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，
三是前 n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问
题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练 2
9．已知数列{an}为等比数列，且 a2a6＋2a24＝π，则 tan(a3·a5)等于( )
A. 3 B 3．－ 3 C．－ D．± 3
3
答案 A
π
解析 由已知得 a24＋2a24＝π，∴a24＝ ，
3
又 a3·a
π
5＝a24＝ ，∴tan(a3·a5)＝ 3.
3
10．(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且 a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则 a6＋a7＋a8等于
( )
A．12 B．24 C．30 D．32
答案 D
解析 设等比数列{an}的公比为 q，
q a2＋a3＋a4 2则 ＝ ＝ ＝2，
a1＋a2＋a3 1
所以 a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.
【课后作业】
1．在正项等比数列{an}中，a3＝2，a4·a6＝64
a5＋a6
，则 的值是( )
a1＋a2
A．4 B．8 C．16 D．64
答案 C
解析 设正项等比数列{an}的公比为 q，
∵a3＝2，a4·a6＝64，
∴a1q2＝2，a21q8＝64，
解得 q2 4 a5＋a6＝ ，则 ＝42＝16.
a1＋a2
2．设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S3＝S1＋2S2，且 a2＝3，则 a5等于( )
A．3 B．12 C．24 D．48
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为 q，
∵S3＝S1＋2S2，a2＝3，
a3＝2a1＋a2， a1q2＝2a1＋a1q，
∴
a2＝3 a1q＝3，
q＝2，
q＝－1，
解得 (舍)或 3
a1＝－3 a1＝ ，2
∴a5＝a1q4 3＝ ×24＝24.
2
3 a an．已知数列 a1，2，…， ，…是首项为 1，公比为 2的等比数列，则 log2an等于( )
a1 an－1
A n(n 1) B.n n－1 C.n n＋1 D.n n－1 ． ＋
4 2 2
答案 D
an
解析 由题设有 ＝1 2n－× 1＝2n－1(n≥2)，
an－1
而 a ＝a a× 2 a× 3 ann 1 ×…×
a1 a2 an－1
＝1×21＋2＋…＋n－1
n(n-1)
＝ 2 2 (n≥2)，
n(n-1)
当 n＝1时，a1＝1也满足该式，故 an＝ 2 2 (n≥1)，
log a n n－1 所以 2 n＝ .
2
4 an 2．在数列{an}中，a1＝1，a ＋2＝3，且 ＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前 n项和，则
an
S100等于( )
350A. －1 50 B.3 1－3
50
＋ ＋50
2 2
C.3 3
50－1 50 D.3 3
100－1
＋ ＋50
2 2
答案 C
an
解析 由题意 ＋
2
＝2＋(－1)n(n∈N*)，
an
n an 2当 为偶数时，可得 ＋ ＝3；
an
当 n an 2为奇数时，可得 ＋ ＝1，
an
即数列的偶数项成公比为 3的等比数列，奇数项都为 1，
50 50
由求和公式可得 S 3 3 －1 3 3 －1 100＝ ＋50＝ ＋50.
3－1 2
5．(多选)已知等比数列{an}的公比为 q，前 4项的和为 a1＋14，且 a2，a3＋1，a4成等差数列，
则 q的值可能为( )
A.1 B．1 C．2 D．3
2
答案 AC
解析 因为 a2，a3＋1，a4成等差数列，
所以 a2＋a4＝2(a3＋1)，
因此 a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋3a3＋2＝a1＋14，故 a3＝4.
又{an}是公比为 q的等比数列，
所以由 a2＋a4＝2(a3＋1)，
q 1＋
得 a3 q ＝2(a
1 5
3＋1)，即 q＋ ＝ ，
q 2
1
解得 q＝2或 .
2
故选 AC.
6．(多选)数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有( )
A．S －n＝3n 1 B．{Sn}为等比数列
1，n＝1，
C．an＝2·3n－1 D．an＝
2·3n－2，n≥2
答案 ABD
解析 由题意，数列{an}的前 n项和满足 an＋1＝2Sn(n∈N*)，
当 n≥2时，an＝2Sn－1，
两式相减，可得 an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
a an 1可得 n＋1＝3a ＋n，即 ＝3(n≥2)，
an
又由 a1＝1，当 n＝1时，a2＝2S1＝2a
a
1＝2，所以 2＝2，
a1
1，n＝1，
所以数列的通项公式为 an＝
2·3n－2，n≥2；
a n－n 1
当 n≥2时，S ＝ ＋1 2·3n ＝ ＝3n－1，
2 2
又由 n＝1时，S1＝a1＝1，适合上式，
所以数列{an}的前 n项和为 Sn＝3n－1；
Sn n
又由 ＋
1 3
＝ ＝3，
S －n 3n 1
所以数列{Sn}为公比为 3的等比数列，
综上可得选项 ABD是正确的．
7．记 Sn为等比数列{an}的前 n项和，a1＝1，且 S4＝a5－1，则公比 q＝________.
答案 2或－1
4
解析 若 q＝1，则 S4＝4，a5－1＝0，等式 S4＝a5－1不成立，所以 q≠1.由 S4＝a5－1
a1 1－q
，得
1－q
＝a1q4－1，结合 a1＝1整理，得(q4－1)(2－q)＝0.又 q≠1，
所以 q＝2或 q＝－1.
8 a．已知在递增的等比数列{an}中，a 132＋a8＝3，a3·a7＝2，则 ＝________.
a10
答案 2
解析 因为数列{an}为等比数列，且 a3·a7＝2，
所以 a2·a8＝2，
因为数列{an}为递增等比数列，
a2＋a8＝3， a2＝1，
所以由 得
a2a8＝2， a8＝2，
设等比数列{an}的公比为 q(q>0)，
a1q＝1，
则 得 q6＝2，q3＝ 2，
a1q7＝2，
a
所以 13＝q3＝ 2.
a10
9．(2021·安庆模拟)已知公比不为 1的等比数列{an}，且 a23＝a7，a6＋2a4＝3a5，则数列的通
项公式 an＝________.
答案 2n＋1
解析 设等比数列{an}的公比为 q，
则 q≠1，由 a23＝a7，a6＋2a4＝3a5，
a1q2 2＝a1q6，
得 解得 a1＝4，q＝2，
a1q5＋2a1q3＝3a1q4，
∴数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1＝4×2n－1＝2n＋1.
an2 a2 a3
10．已知数列{an}与 n 均为等差数列(n∈N*)，且 a1＝2，则 an＝________，a1＋ 2 2＋ 3 3
an
＋…＋ n n＝________.
答案 2n 2n＋1－2
2 2
a 2 (n 1)d an [2＋ n－1 d] d
2n2＋ 4d－2d2 n＋ d－2 2
解析 设 n＝ ＋ － ，所以 ＝ ＝ ，
n n n
an2
由于 n 为等差数列，
所以其通项是一个关于 n的一次函数或常数函数，
所以(d－2)2＝0，∴d＝2，
a 2n
所以 a nn＝2＋2(n－1)＝2n，∴ ＝ ＝2，
n n
a2 a3 an
所以 a1＋ 2 2＋ 3 3＋…＋ n n
2 1－2n
＝21＋22＋…＋2n＝ ＝2n＋1－2.
1－2
11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 b
an
n＝ .
n
(1)求 b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
解 (1)由条件可得 a 2 n＋1 n＋1＝ an，
n
将 n＝1代入得，a2＝4a1，而 a1＝1，所以 a2＝4.
将 n＝2代入得，a3＝3a2，所以 a3＝12.
从而 b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为 1，公比为 2的等比数列．理由如下：
an 1 2a
由条件可得 ＋ ＝ n，即 bn＋1＝2bn，
n＋1 n
又 b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2的等比数列．
(3)由(2) a可得 n＝2n－1，所以 a －n＝n·2n 1.
n
12．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
a 1n－
(1)求证：数列 2 为等比数列；
(2)求数列{an－1}的前 n项和 Tn.
(1)证明 2Sn＝－an＋n，
当 n≥2时，2Sn－1＝－an－1＋n－1，
1 1
两式相减，得 2an＝－an＋an－1＋1，即 an＝ an－1＋ .3 3
a 1n 1－
∴a 1 1 －n－ ＝ 2 ，
2 3
a 1n－
∴数列 2 为等比数列．
(2) 1解 由 2S1＝－a1＋1，得 a1＝ ，
3
a 1n－
由(1)知，数列 2 1 1是以－ 为首项， 为公比的等比数列．
6 3
1 1
1 1 1
∴an－ ＝－ 3 n－1＝－ 3 n，
2 6 2
1
∴a 1 1n＝－ 3 n＋ ，
2 2
1
∴a 1n－1＝－ 3 n
1
－ ，
2 2
1
1
－ 1－ 3 n 1
T 6 n 1 n n∴ n＝ － ＝ 3 －1 － .
1 2 4 21－
3第十四讲 等比数列及其前 n 项和
【知识梳理】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 (不
为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 q表示，
an 1
定义的表达式为 ＋ ＝q(n∈N*，q为非零常数)．
an
(2)等比中项：如果在 a与 b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 叫做 a与
b的等比中项，此时，G2＝ .
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .
(2)前 n项和公式： .
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广： an am q
n m (m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数 m，n，p，t，若 m＋n＝p＋t，则 ＝ .
特别地，若 m＋n＝2p，则 .
(3)若等比数列前 n项和为 Sn，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且 q＝－1除
外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…
为等比数列，公比为 .
a1 0 a 0(5) 1若 或 则等比数列{an}递增．
q 1 0 q 1
a1 0 a1 0
若 或 则等比数列{an}递减．
0 q 1 q 1
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列{an}的公比 q>1，则该数列单调递增．( )
(2)三个数 a，b，c成等比数列的充要条件是 b2＝ac.( )
(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )
n
(4)数列{an}的通项公式是 a an
a 1－a
n＝ ，则其前 n项和为 Sn＝ .( )
1－a
1
2 1 n S S10－S5 1．已知等比数列的首项为－ ，前 项和为 n，若 ＝ ，则 q的值为( )
S5 32
A 1 1．－ B. C．2 D．－2
2 2
3．已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则 a4＝________.
4．已知三个数成等比数列，若它们的和等于 13，积等于 27，则这三个数为_______．
5．(多选)若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列，记 Sn为{an}的前 n项和，则下列说法正确的是
( )
A．若 a1>0,0C 1．若 q>0，则 S4＋S6>2S5 D．若 bn＝ ，则{bn}是等比数列
an
6．已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则 a5等于( )
A．－2 B．±2 C．2 D 1．±
2
【典型例题】
题型一 等比数列基本量的运算
1．(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 a5－a3＝12，a Sn6－a4＝24，则 等于( )
an
A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1
2
2．已知等比数列{an} n 2 1 1 1 13的前 项和为 Sn，若 a2＝ ， ＋ ＋ ＝ ，则 S3等于( )
3 a1 a2 a3 2
A.26 B.13 C.13 D．6
9 3 9
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，
次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走了 378里路，第一天健步行
走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地……则此人后
四天走的路程比前两天走的路程少( )
A．198里 B．191里 C．63里 D．48里
4．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋…＋ak 15 5＋10＝2 －2 ，则 k等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二 等比数列的判定与证明
5．已知各项都为正数的数列{an}满足 an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2) a 1 a 3若 1＝ ， 2＝ ，求{an}的通项公式．
2 2
3
练习 1
6．已知数列{an}，{cn}满足 cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等
比数列，并说明理由．
题型三 等比数列性质的应用
7．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前 n项和，若 a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则 S12等
于( )
A．40 B．60 C．32 D．50
8．已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则 a8＝_____.
练习 2
9．已知数列{an}为等比数列，且 a2a6＋2a42＝π，则 tan(a3·a5)等于( )
A. 3 B 3．－ 3 C．－ D．± 3
3
10．(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且 a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则 a6＋a7＋a8等于
( )
A．12 B．24 C．30 D．32
4
【课后作业】
1．在正项等比数列{an}中，a3＝2 a ·a 64
a5＋a6
， 4 6＝ ，则 的值是( )
a1＋a2
A．4 B．8 C．16 D．64
2．设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S3＝S1＋2S2，且 a2＝3，则 a5等于( )
A．3 B．12 C．24 D．48
3 a an．已知数列 a ，21 ，…， ，…是首项为 1，公比为 2的等比数列，则 log2an等于( )
a1 an－1
A．n(n＋1) B.n n－1 C.n n＋1 D.n n－1
4 2 2
4 {a } a 1 a 3 an．在数列 中， ＝ ， ＝ ，且 ＋2n 1 2 ＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前 n项和，则
an
S100等于( )
50 50 50 100
A.3 －1 50 B.3 1－3 50 C.3 3 －1 ＋ ＋ ＋50 D.3 3 －1 ＋50
2 2 2 2
5．(多选)已知等比数列{an}的公比为 q，前 4项的和为 a1＋14，且 a2，a3＋1，a4成等差数列，
则 q的值可能为( )
A.1 B．1 C．2 D．3
2
6．(多选)数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有( )
1,n 1,
A S 3n－ －． n＝ 1 B．{Sn}为等比数列 C．an＝2·3n 1 D． an 2 3n 2 ,n 2
7．记 Sn为等比数列{an}的前 n项和，a1＝1，且 S4＝a5－1，则公比 q＝________.
8 a．已知在递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a 137＝2，则 ＝________.
a10
9．已知公比不为 1的等比数列{an}，且 a32＝a7，a6＋2a4＝3a5，则数列的通项公式 an＝________.
a2
10．已知数列 {a nn}与 { } 均为等差数列 (n∈N*)，且 a1 ＝ 2，则 an＝ ________，
n
a (a 21 )
2 (a 3 )3 a ( n )n ________.
2 3 n
5
11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 b
a
n＝
n.
n
(1)求 b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
12．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
1
(1)求证：数列{an }为等比数列；2
(2)求数列{an－1}的前 n项和 Tn.
6