第十三讲 等差数列及其前 n 项和
【知识梳理】
1.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的差都等于 ,那么
这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,通常用字母 d表示,定义表达
式为 (常数)(n≥2,n∈N*)或 an+1-an=d(常数)(n∈N*).
(2)等差中项
若三个数,a,A,b成等差数列,则 A叫做 a与 b的 ,且有 A= .
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:an= .
(2)前 n项和公式:Sn= 或 Sn= .
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+ (n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 .
(3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 的等差数列.
(4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
S
(6)等差数列{an}的前 n项和为 S ,{ nn }为等差数列.
n
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的单调性是由公差 d决定的.( )
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1=an+an+2.( )
(4)已知数列{an}的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q 为常数),则数列{an}一定是等差数
列.( )
2.已知在等差数列{an}中,a2=-3,a3=-5,则 a9=________.
1
3.已知在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则 d=________.
4.已知{an}是等差数列,其前 n项和为 Sn,若 a3=2,且 S6=30,则 S9=________.
5.(多选)设{an}是等差数列,Sn是其前 n项的和,且 S5S8,则下列结论正确的是
( )
A.d<0 B.a7=0
C.S9>S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值
6.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使数列{an}的前 n项和 Sn取最大值的正整数 n
的值是________.
【典型例题】
题型一 等差数列基本量的运算
1.(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和.已知 S4=0,a5=5,则下列选
项正确的是( )
A.a2+a3=0 B.an=2n-5 C.Sn=n(n-4) D.d=-2
2.(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和.若 a1=-2,a2+a6=2,则 S10=________.
3.已知{an}
a1+a2+…+a9
是公差不为零的等差数列,且 a1+a10=a9,则 =________.
a10
2
4.(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}
的前 n项和为________.
题型二 等差数列的判定与证明
5.已知在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2,n∈N*).
(1)记 bn=log2(an+1),判断{bn}是否为等差数列,并说明理由;
(2)求数列{an}的通项公式.
练习 1
6.记首项为 1的数列{an}的前 n项和为 Sn,且当 n≥2时,an·(2Sn-1)=2S2n.
1
(1)证明:数列{ }是等差数列;
Sn
(2)求数列{an}的通项公式.
题型三 等差数列性质的应用
7.设 Sn为等差数列{an}的前 n项和,且 4+a5=a6+a4,则 S9等于( )
A.72 B.36 C.18 D.9
3
8 1.在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7- a8的值为( )
2
A.4 B.6 C.8 D.10
9 S S.已知 Sn是等差数列{an}的前 n项和,若 a =-2 020, 2 020- 2 0141 =6,则 S2 023等于( )
2 020 2 014
A.2 023 B.-2 023 C.4 046 D.-4 046
10.(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一
块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加 9
块.下一层的第一环比上一层的最后一环多 9块,向外每环依次也增加 9块,已知每层环数
相同,且下层比中层多 729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块
练习 2
11.等差数列{an},{bn}的前 n项和分别为 S T
S 2n-1 a11
n, n,若对任意正整数 n都有 n= ,则
Tn 3n-2 b6+b10
a5
+ 的值为________.
b7+b9
12.设 Sn为等差数列{an}的前 n项和,若 S6=1,S12=4,则 S18=________.
4
【课后作业】
1.已知{an}是等差数列,且 a2+a5+a8+a11=48,则 a6+a7等于( )
A.12 B.16 C.20 D.24
2.数列{an}的前 n项和 Sn=n(2n-1),若 k-l=4(k,l∈N*),则 ak-al等于( )
A.4 B.8 C.16 D.32
3.已知数列{an}满足 a1=1,an *+1=ran+r(n∈N ,r∈R,r≠0),则“r=1”是“数列{an}为
等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金
以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到
者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的一等人所得黄金比等级较低
的九等人所得黄金( )
A 8 8 1 1.多 斤 B.少 斤 C.多 斤 D.少 斤
21 21 3 3
5.(多选)等差数列{an}的公差为 d,前 n项和为 Sn,当首项 a1和 d变化时,a3+a8+a13是一
个定值,则下列各数也为定值的有( )
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
6.(多选)已知{an}为等差数列,其前 n项和为 Sn,且 2a1+3a3=S6,则以下结论正确的是( )
A.a10=0 B.S10最小 C.S7=S12 D.S19=0
7.若 Sn是等差数列{an}的前 n项和,且 S8-S3=20,则 S11=________.
8.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a1=1,S3=a5,am=2 021,则 m=________.
9.已知数列{an}的前 n项和 Sn满足 Sn= Sn *-1+1(n≥2,n∈N ),且 a1=1,则 an=________.
2
10 {a } a 11 na (n 1)a 1 a ________ an+143.已知在数列 n 中, 6= ,且 n- - n+1= ,则 n= ; 的最小值
n
为________.
11.在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Tn.
5
12.已知 Sn是等差数列{an}的前 n项和,S2=2,S3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式及前 n项和 Sn;
(2)是否存在正整数 n,使 Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出 n;若不存在,请说
明理由.
6第十三讲 等差数列及其前 n 项和
【考试要求】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
【知识梳理】
1.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个
数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d表示,定义表达式为 an
-an-1=d(常数)(n≥2,n∈N*)或 an+1-an=d(常数)(n∈N*).
(2)等差中项
a+b
若三个数,a,A,b成等差数列,则 A叫做 a与 b的等差中项,且有 A= .
2
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.
(2) n S na n n-1 d S n a1+an 前 项和公式: n= 1+ 或 n= .
2 2
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md的等差数列.
(4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
Sn
(6)等差数列{an}的前 n项和为 Sn, n 为等差数列.
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的单调性是由公差 d决定的.( √ )
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1=an+an+2.( √ )
(4)已知数列{an}的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q 为常数),则数列{an}一定是等差数
列.( √ )
2.已知在等差数列{an}中,a2=-3,a3=-5,则 a9=________.
答案 -17
解析 d=a3-a2=-2,∴a9=a3+6d=-5+6×(-2)=-17.
3.已知在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则 d=________.
答案 2
解析 ∵a4+a8=20,∴a1+3d+a1+7d=20,
即 a1+5d=10,①
a7=a1+6d=12,②
②-①得 d=2.
4.已知{an}是等差数列,其前 n项和为 Sn,若 a3=2,且 S6=30,则 S9=________.
答案 126
a1+2d=2, a1=-10,
解析 由已知可得 解得
2a1+5d=10, d=6.
∴S 9×89=9a1+ d=-90+36×6=126.
2
5.(多选)设{an}是等差数列,Sn是其前 n项的和,且 S5S8,则下列结论正确的是
( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与 S7均为 Sn的最大值
答案 ABD
解析 S6=S5+a6>S5,则 a6>0,S7=S6+a7=S6,则 a7=0,则 d=a7-a6<0,S8=S7+a8a8<0,则 a9<0,又 a6+a8=a5+a9=2a7=0,∴S5>S9,
由 a7=0,a6>0知 S6,S7是 Sn中的最大值.
从而 ABD均正确.
6.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使数列{an}的前 n项和 Sn取最大值的正整数 n
的值是________.
答案 5或 6
解析 ∵|a3|=|a9|,∴|a1+2d|=|a1+8d|,
可得 a1=-5d,∴a6=a1+5d=0,
且 a1>0,∴a5>0,故 Sn取最大值时 n的值为 5或 6.
【典型例题】
题型一 等差数列基本量的运算
1.(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和.已知 S4=0,a5=5,则下列选
项正确的是( )
A.a2+a3=0 B.an=2n-5
C.Sn=n(n-4) D.d=-2
答案 ABC
解析 S 4× a1+a4 4= =0,∴a1+a4=a2+a3=0,A正确;
2
a5=a1+4d=5,①
a1+a4=a1+a1+3d=0,②
d=2,
联立①②得 ∴an=-3+(n-1)×2=2n-5,B正确,D错误;
a1=-3,
S 3n n n-1 n=- + ×2=n2-4n,C正确,故选 ABC.
2
2.(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和.若 a1=-2,a2+a6=2,则 S10=________.
答案 25
解析 设等差数列{an}的公差为 d,
则 a2+a6=2a1+6d=2.
因为 a1=-2,所以 d=1.
所以 S10=10×( 2)
10×9
- + ×1=25.
2
3.(2020· ) {a } a a a a1+a2+…+a9上海 已知 n 是公差不为零的等差数列,且 1+ 10= 9,则 =
a10
________.
27
答案
8
解析 ∵a1+a10=a9,∴a1+a1+9d=a1+8d,
即 a1=-d,
a a a S 9a 9×8∴ 1+ 2+…+ 9= 9= 1+ d=27d,
2
a a a1+a2+…+a9 2710= 1+9d=8d,∴ = .
a10 8
4.(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}
的前 n项和为________.
答案 3n2-2n
解析 方法一 (观察归纳法)
数列{2n-1}的各项为 1,3,5,7,9,11,13,…;
数列{3n-2}的各项为 1,4,7,10,13,….
观察归纳可知,两个数列的公共项为 1,7,13,…,是首项为 1,公差为 6的等差数列,
则 an=1+6(n-1)=6n-5.
n S n a1+an n 1+6n-5 故前 项和为 n= = =3n2-2n.
2 2
方法二 (引入参变量法)
令 bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,
则 2n-1=3m-2,即 3m=2n+1,m必为奇数.
令 m=2t-1,则 n=3t-2(t=1,2,3,…).
at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即 an=6n-5.
以下同方法一.
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前 n项和公式共涉及五个量 a1,n,d,an,Sn,知道其中
三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项 a1和公差 d.
题型二 等差数列的判定与证明
5.已知在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2,n∈N*).
(1)记 bn=log2(an+1),判断{bn}是否为等差数列,并说明理由;
(2)求数列{an}的通项公式.
解 (1){bn}是等差数列,理由如下:b1=log2(a1+1)=log22=1,
当 n≥2时,bn-bn-1=log2(an+1)-log2(an-1+1)=log
an+1 2an-1+2
2 =log2 =1,
an-1+1 an-1+1
∴{bn}是以 1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)知,bn=1+(n-1)×1=n,
∴a bn+1= 2 n =2n,∴an=2n-1.
若本例中已知条件改为“a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2).”试判断
an
n+1 是否为等差数列,并说明理由.
an
解 数列 n+1 为等差数列,理由如下:
an an 1
由已知得,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n+2)(n+1),即 = + -2,n+1 n+2
an+1 an 2 a1∴ - = ,首项为 =1,
n+2 n+1 1+1
an
∴ n+1 是以 1为首项,公差 d=2的等差数列.
思维升华 判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法:对任意 n∈N*,an+1-an是同一常数.
(2)等差中项法:对任意 n≥2,n∈N*,满足 2an=an+1+an-1.
(3)通项公式法:对任意 n∈N*,都满足 an=pn+q(p,q为常数).
(4)前 n项和公式法:对任意 n∈N*,都满足 Sn=An2+Bn(A,B为常数).
6.记首项为 1的数列{an}的前 n项和为 Sn,且当 n≥2时,an·(2Sn-1)=2S2n.
1
(1)证明:数列 Sn 是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当 n≥2时,an·(2Sn-1)=2S2n,
即(Sn-Sn-1)·(2Sn-1)=2Sn2,即 2Sn2-Sn-2Sn·Sn-1+Sn-1=2S2n,
故-Sn+Sn-1=2Sn·S
1 1
n-1,故 - =2,Sn Sn-1
1
1 1
易知 = =1,故 S 是首项为 1,公差为 2的等差数列.
S1 a
n
1
(2)解 由(1) 1 1可知, =2n-1,故 Sn= ,
Sn 2n-1
1 1 -2
所以 an=Sn-Sn-1= - = (n≥2),2n-1 2n-3 2n-1 2n-3
当 n=1时,上式不成立,
1,n=1,
所以 an= -2 ,n≥2.
2n-1 2n-3
题型三 等差数列性质的应用
命题点 1 等差数列项的性质
7.设 Sn为等差数列{an}的前 n项和,且 4+a5=a6+a4,则 S9等于( )
A.72 B.36 C.18 D.9
答案 B
解析 ∵a6+a4=2a5,
∴a5=4,
S 9 a1+a9 ∴ 9= =9a5=36.
2
8 {a } a a a a a 80 a 1.在等差数列 n 中,若 2+ 4+ 6+ 8+ 10= ,则 7- a8的值为( )
2
A.4 B.6 C.8 D.10
答案 C
解析 ∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,
∴a6=16,又 a6+a8=2a7,
∴a 1a 17= 6+ a8,
2 2
a 1即 7- a 18= a6=8,选 C.
2 2
命题点 2 等差数列和的性质
9 S.已知 S 是等差数列{a }的前 n项和,若 a =-2 020, 2 020 S- 2 014n n 1 =6,则 S2 023等于( )
2 020 2 014
A.2 023 B.-2 023
C.4 046 D.-4 046
答案 C
Sn
解析 ∵ n 为等差数列,设公差为 d′,
S
则 2 020
S
- 2 014=6d′=6,∴d′=1,
2 020 2 014
S
首项为 1=-2 020,
1
S2 023
∴ =-2 020+(2 023-1)×1=2,
2 023
∴S2 023=2 023×2=4 046,故选 C.
10.(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一
块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加 9
块.下一层的第一环比上一层的最后一环多 9块,向外每环依次也增加 9块,已知每层环数
相同,且下层比中层多 729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
答案 C
解析 设每一层有 n环,由题意可知,从内到外每环之间构成公差为 d=9,首项为 a1=9的
等差数列.由等差数列的性质知 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=
n2d,则 9n2=729,解得 n=9,
S S 27 9 27×26则三层共有扇面形石板 3n= 27= × + ×9=3 402(块).
2
思维升华 一般地,运用等差数列的性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,等差
数列的性质是解题的重要工具.
跟踪训练 2
11.等差数列{an},{b } n S
2n-1 a11
n 的前 项和分别为 Sn,Tn,若对任意正整数 n都有 n= ,则
Tn 3n-2 b6+b10
a5
+ 的值为________.
b7+b9
29
答案
43
a11 a5 a11+a5 2a a
解析 + = = 8= 8,
b6+b10 b7+b9 2b8 2b8 b8
a8 S2×8-1 S15 2×15-1 29∴ = = = = .
b8 T2×8-1 T15 3×15-2 43
12.设 Sn为等差数列{an}的前 n项和,若 S6=1,S12=4,则 S18=________.
答案 9
解析 在等差数列中,S6,S12-S6,S18-S12成等差数列,∵S6=1,S12=4,∴1,3,S18-4成
公差为 2的等差数列,即 S18-4=5,∴S18=9.
【课后作业】
1.已知{an}是等差数列,且 a2+a5+a8+a11=48,则 a6+a7等于( )
A.12 B.16 C.20 D.24
答案 D
解析 由等差数列的性质可得 a2+a5+a8+a11=2(a6+a7)=48,则 a6+a7=24,故选 D.
2.数列{an}的前 n项和 Sn=n(2n-1),若 k-l=4(k,l∈N*),则 ak-al等于( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 C
解析 ∵Sn=n(2n-1),
∴数列{an}是公差为 4的等差数列,
∵k-l=4,
∴ak-al=4×4=16.
故选 C.
3.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=ran+r(n∈N*,r∈R,r≠0),则“r=1”是“数列{an}为
等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当 r=1时,an+1=ran+r an+1=an+1,
∴数列{an}为公差为 1的等差数列,即充分性成立;
∵an+1=ran+r,a1=1,∴a2=2r,a3=2r2+r,
∴若数列{an}为等差数列,
则 4r=1+2r2+r,∴r 1=1或 r= ,
2
即必要性不成立,
综上,“r=1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件,故选 A.
4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金
以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到
者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的一等人所得黄金比等级较低
的九等人所得黄金( )
A 8.多 斤 B 8.少 斤
21 21
C 1 D 1.多 斤 .少 斤
3 3
答案 A
解析 设十等人得金从高到低依次为 a1,a2,…,a10,
则{an}为等差数列,
a1+a2+a3=4,
设公差为 d,则由题意可知
a8+a9+a10=3,
4
∴a2= ,a9=1,
3
d a9-a2 1∴ = =- ,
7 21
8
∴a1-a9=-8d= .
21
8
即等级较高一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多 斤.
21
5.(多选)等差数列{an}的公差为 d,前 n项和为 Sn,当首项 a1和 d变化时,a3+a8+a13是一
个定值,则下列各数也为定值的有( )
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
答案 BC
(a +a )
解析 由等差中项的性质可得 a3+a8+a 15
1 15
13=3a8为定值,则 a8为定值,S15= =15a8
2
S 16
(a1+a16)
为定值,但 16= =8 (a8+a9)不是定值.
2
故选 BC.
6.(多选)已知{an}为等差数列,其前 n项和为 Sn,且 2a1+3a3=S6,则以下结论正确的是( )
A.a10=0 B.S10最小
C.S7=S12 D.S19=0
答案 ACD
解析 2a1+3a3=S6,∴2a1+3a1+6d=6a1+15d,
∴a1+9d=0,即 a10=0,A正确;
当 d<0时,Sn没有最小值,B错误;
S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,∴S12=S7,C正确;
S a1+a19 ×1919= =19a10=0,D正确.
2
故选 ACD.
7.若 Sn是等差数列{an}的前 n项和,且 S8-S3=20,则 S11=________.
答案 44
解析 S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=20,
a 4 S 11 a1+a11 ∴ 6= ,∴ 11= =11a6=44.
2
8.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a1=1,S3=a5,am=2 021,则 m=________.
答案 1 011
解析 ∵S3=3a1+3d,∴3a1+3d=a1+4d,
即 d=2,am=a1+(m-1)×2=2m-1=2 021,
∴m=1 011.
9.已知数列{an}的前 n项和 Sn满足 Sn= Sn-1+1(n≥2,n∈N*),且 a1=1,则 an=________.
答案 2n-1
解析 ∵ Sn- Sn-1=1,∴{ Sn}为等差数列,
又 S1= a1=1,∴ Sn=n,即 Sn=n2,
当 n≥2时,an=Sn-Sn 1=n2-(n-1)2- =2n-1,
又 a1=1满足上式,∴an=2n-1.
10.(2020·河北衡水中学模拟)已知在数列{an}中,a6=11,且 nan-(n-1)an+1=1,则 an=
2
________ an+143; 的最小值为________.
n
答案 2n-1 44
解析 nan-(n-1)an+1=1,
所以(n+1)an+1-nan+2=1,
两式相减得 nan-2nan+1+nan+2=0,
所以 an+an+2=2an+1,
所以数列{an}为等差数列.
当 n=1时,由 nan-(n-1)an+1=1得 a1=1,
由 a6=11,得公差 d=2,
所以 an=1+2(n-1)=2n-1,
a2n+143 2n-1 2+143 144 144
所以 = =4n+ -4≥2 4n· -4=44,
n n n n
144
当且仅当 4n= ,即 n=6时等号成立.
n
11.在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Tn.
解 (1)∵an+2-2an+1+an=0,
∴an+2-an+1=an+1-an,
∴数列{an}是等差数列,设其公差为 d,
∵a1=8,a4=2,
a4-a1
∴d= =-2,
4-1
∴an=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N*.
(2)设数列{an}的前 n项和为 Sn,
则由(1)可得,
S 8n n n-1 n= + ×(-2)=9n-n2,n∈N*.
2
由(1)知 an=10-2n,令 an=0,得 n=5,
∴当 n>5时,an<0,
则 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)
=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn
=2×(9×5-25)-(9n-n2)=n2-9n+40;
当 n≤5时,an≥0,
则 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+an=9n-n2,
9n-n2,n≤5,n∈N*,
∴Tn=
n2-9n+40,n≥6,n∈N*.
12.(2020·沈阳模拟)已知 Sn是等差数列{an}的前 n项和,S2=2,S3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式及前 n项和 Sn;
(2)是否存在正整数 n,使 Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出 n;若不存在,请说
明理由.
解 (1)∵S2=2,S3=-6,
2a1+d=2,
a1=4,
∴ 3a 3×2d 6 解得1+ =- ,
2 d=-6,
∴an=4+(n-1)×(-6)=-6n+10,
S 4n n n-1 ∴ n= + ×(-6)=-3n2+7n.
2
(2)假设存在 n,使 Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,
则 2(Sn+2+2n)=Sn+Sn+3,
∴2[-3(n+2)2+7(n+2)+2n]=-3n2+7n+7(n+3)-3(n+3)2,
解得 n=5.