第一讲 空间向量及其应用
【考试要求】
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其
坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
4.理解直线的方向向量及平面的法向量.
5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有
关线面位置关系的一些简单定理．
【知识梳理】
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为 0的向量 0
单位向量 长度(模)为 1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－a
表示空间向量的有向线段所在的直线互
共线向量 a∥b
相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得 a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，
使得 p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB叫做向量 a，b
π
的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝ ，则称 a 与 b 互相垂直，
2
记作 a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b
＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)．
②交换律：a·b＝b·a.
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a·b＝0
垂直 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(a≠0，b≠0)
模 |a| a21＋a22＋a23
夹角余
cos a b a·b
a b ＋a b ＋a b
〈 ， 〉＝ (a≠0，b≠0) cos a b 1 1 2 2 3 3〈 ， 〉＝
弦值 |a||b| a21＋a22＋a32· b21＋b22＋b23
5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线
的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量
直线 l⊥平面α，取直线 l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向
量有无数个，它们是共线向量．
(3)
位置关系 向量表示
l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线 l的方向向量为 n，平面α的法向量为 m l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm
α∥β n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分别为 n，m
α⊥β n⊥m n·m＝0
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于非零向量 b，若 a·b＝b·c，则 a＝c.( × )
(2)在空间直角坐标系中，在 Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．( √ )
(3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底．( × )
2．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量
是( )
A．{a，a＋b，a－b}
B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}
D．{a＋b，a－b，a＋2b}
答案 C
解析 对于 A，因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以 a，a＋b，a－b 共面，不能构成基底，排除 A；
对于 B，因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以 b，a＋b，a－b 共面，不能构成基底，排除 B；对于 D，
a＋2b 3＝ (a＋b) 1－ (a－b)，所以 a＋b，a－b，a＋2b 共面，不能构成基底，排除 D；对于 C，
2 2
若 c，a＋b，a－b 共面，则 c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，则 a，b，c 共面，与{a，b，c}
为空间向量的一组基底相矛盾，故 c，a＋b，a－b 可以构成空间向量的一组基底．
3. →如图，在四面体 OABC中，OA a O→＝ ， B＝b，O→C＝c，点 M在 OA上，且 OM＝2MA，N为
BC →的中点，则MN＝________.
2a 1b 1答案 － ＋ ＋ c
3 2 2
→ → → 1 → → 2→ 1 2 2 1 1
解析 如图，连接 ON，MN＝ON－OM＝ (OB＋OC)－ OA＝ (b＋c)－ a＝－ a＋ b＋ c.
2 3 2 3 3 2 2
4．设直线 l1，l2的方向向量分别为 a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若 l1⊥l2，则 m＝________.
答案 10
解析 ∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，
∴m＝10.
5．向量 m 是直线 l的方向向量，向量 n 是平面α的法向量，“m⊥n”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由 l∥α，得 m⊥n，所以 m⊥n 是 l∥α的必要条件；而由 m⊥n 不一定有 l∥α，也可能
l α，故 m⊥n 不是 l∥α的充分条件．
6．已知 A，B，C → 1→ 4→三点不共线，点 O为平面 ABC外任意一点，若点 M满足OM＝ OA＋ OB
5 5
2→
＋ BC，则点 M________(填“属于”或“不属于”)平面 ABC.
5
答案 属于
O→M 1O→A 4O→B 2B→C 1O→ 4解析 ∵ ＝ ＋ ＋ ＝ A＋ O→B 2(O→C O→B) 1O→A 2＋ － ＝ ＋ O→B 2→＋ OC，
5 5 5 5 5 5 5 5 5
1 2 2
∵ ＋ ＋ ＝1，
5 5 5
∴M，A，B，C四点共面．
即点 M∈平面 ABC.
【典型例题】
题型一 空间向量的线性运算
1．在三棱锥 O－ABC中，M，N分别是 OA，BC的中点，G是△ABC →的重心，用基向量OA，
O→B O→C O→， 表示 G，则下列表示正确的是( )
A.1O→A 1O→＋ B 1→＋ OC
4 2 3
B.1O→A 1＋ O→B 1→＋ OC
2 2 2
C 1→ 1→ 1→．－ OA＋ OB＋ OC
6 3 3
D.1O→A 1O→＋ B 1→＋ OC
3 3 3
答案 D
→
解析 MG＝M→A A→G 1→＋ ＝ OA 2A→N 1O→A 2(O→ →＋ ＝ ＋ N－OA)
2 3 2 3
1 →
1→ 2 OB＋O
→C －O→A
OA 2 1→＝ ＋ ＝－ OA 1O→B 1O→＋ ＋ C.
2 3 6 3 3
O→G O→M M→G 1→ 1→ 1→ 1→ 1→ 1→ 1→＝ ＋ ＝ OA－ OA＋ OB＋ OC＝ OA＋ OB＋ OC.
2 6 3 3 3 3 3
2 → → → →．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 P是 C1D1的中点，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，则实数 x
＋y的值为( )
A 3 1 1 3．－ B．－ C. D.
2 2 2 2
答案 D
→ →
解析 AP＝AD D→D D→P A→D A→A 1→＋ 1＋ 1 ＝ ＋ 1＋ AB＝A→D xA→＋ B＋yA→A 11，故 x＝ ，y＝1，所以 x＋y
2 2
3
＝ .
2
3．在正方体 ABCD →－A1B1C1D1中，点 M，N分别是面对角线 A1B与 B1D1的中点，若DA＝a，
D→C＝b →，DD1＝c M→，则 N等于( )
A.1(c＋b－a) B.1(a＋b－c) C.1(a－c) D.1(c－a)
2 2 2 2
答案 D
→
解析 MN M→A → 1 → 1—→ 1＝ 1＋A1N＝ BA1＋ A1C1＝ (B→A → 1 —→＋AA1)＋ (A1B1＋B—→ 11C1)＝ (－b＋c) 1＋ (b－a)＝
2 2 2 2 2 2
1(c－a)．
2
4．在平行六面体 ABCD－A′B′C D —→′ ′中，若AC′＝xA→B＋yB→C＋2zC—C→′，则 x＋y＋z等
于( )
A.5 B．2
2
C.3 D.11
2 6
答案 A
— →
解析 由空间向量的线性运算，得AC→ A→C —→′＝ ＋CC′＝(AB＋B→C)＋C—C→′，
A—C→ →由题意知， ′＝xAB＋yB→C＋2zC—C→′，
则 x＝1，y＝1,2z 1 z 1＝ ， ＝ ，
2
1 5
所以 x＋y＋z＝1＋1＋ ＝ .
2 2
思维升华 用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
题型二 共线向量定理、共面向量定理的应用
5 → 1 → → →．已知 A，B，C三点不共线，对平面 ABC外的任一点 O，若点 M满足OM＝ (OA＋OB＋OC)．
3
(1) M→A →判断 ，MB，M→C三个向量是否共面；
(2)判断点 M是否在平面 ABC内．
解 (1) →由题知OA＋O→B＋O→C＝3O→M，
→ → → → → →
所以OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，
M→A B→M C→ →即 ＝ ＋ M＝－MB－M→C，
→
所以MA，M→B M→， C共面．
(2)由(1)知，M→A，M→B →，MC共面且基线过同一点 M，
所以 M，A，B，C四点共面，从而点 M在平面 ABC内．
思维升华 证明空间四点 P，M，A，B共面的方法
(1)M→P＝xM→A＋yM→B；
(2) → →对空间任一点 O，OP＝OM xM→A yM→＋ ＋ B；
(3) → → → →对空间任一点 O，OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)；
(4)P→M∥A→B( →或PA∥M→B或P→B →∥AM)．
练习 1
6．如图所示，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1，点 M，N分别在 AC → →1和 BC上，且满足AM＝kAC1，
B→N＝kB→C(0≤k →≤1)．判断向量MN → →是否与向量AB，AA1共面．
→
解 因为AM＝kA→C1，B→N →＝kBC，
→
所以MN＝M→A＋A→B →＋BN＝kC→1A＋A→B →＋kBC
＝k(C→ →1A＋BC) A
→B k(C→A B—→C ) A→B kB→A A→＋ ＝ 1 ＋ 1 1 ＋ ＝ 1 ＋ B
＝A→B－kA→B → → →1＝AB－k(AA1＋AB)
(1 k)A→ →＝ － B－kAA1，
→ → →
所以由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面．
题型三 空间向量数量积及其应用
7．如图所示，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G分别是 AB，
AD，CD的中点，计算：
(1)E→F·B→A；
(2)E→G·B→D.
→
解 设AB＝a →，AC＝b，A→D＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)E→F 1B→ 1 1 →＝ D＝ c－ a，BA＝－a，
2 2 2
1
→ → c
1
－ a
EF·BA 2 2 ·( a) 1a2 1＝ － ＝ － a·c 1＝ .
2 2 4
(2)E→G·B→D → →＝(EA＋AD D→G)·(A→D A→＋ － B)
1A→B A→D A→G A→－ ＋ ＋ － D
＝ 2 ·(A→D →－AB)
1
－ A→B 1A→C 1→＋ ＋ AD
＝ 2 2 2 ·(A→D A→－ B)
1a 1b 1－ ＋ ＋ c
＝ 2 2 2 ·(c－a)
1
＝ .
2
已知 MN是正方体内切球的一条直径，点 P在正方体表面上运动，正方体的棱
长是 2，则P→M·P→N的取值范围为( )
A.[0，4] B.[0，2] C.[1，4] D.[1，2]
答案 B
解析 设正方体内切球的球心为 O，则 OM＝ON＝1，
P→M·P→N＝(P→O O→＋ M) →·(PO＋O→N)＝P→O2＋P→O·(O→M＋O→N) →＋OM·O→N，
∵MN为球 O的直径，
∴O→M →＋ON＝0，O→M·O→N＝－1，
→
∴PM·P→N＝P→O2－1，
又 P在正方体表面上移动，
→ →
∴当 P为正方体顶点时，|PO|最大，最大值为 3；当 P为内切球与正方体的切点时，|PO|最
小，最小值为 1，
∴P→O2－1∈[0，2]，
即P→M·P→N的取值范围为[0，2].
思维升华 由向量数量积的定义知，要求 a 与 b 的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a 与 b
的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使 a·b 计算准确．
练习 2
8．如图，正四面体 ABCD(所有棱长均相等)的棱长为 1，E，F，G，H分别是正四面体 ABCD
→
中各棱的中点，设AB＝a，A→C＝b，A→D＝c，试采用向量法解决下列问题：
(1) →求EF的模长；
(2)求E→F G→， H的夹角．
解 (1)因为正四面体 ABCD的棱长为 1，E，F，G，H分别是正四面体 ABCD中各棱的中点，
A→B＝a → →，AC＝b，AD＝c，
B→E 1B→C 1(A→所以 ＝ ＝ C A→－ B) 1＝ (b－a) → 1→，AF＝ AD 1＝ c.
2 2 2 2 2
→
所以EF＝E→B B→A → 1 1 1＋ ＋AF＝－ (b－a)－a＋ c＝ (c－a－b)，
2 2 2
|E→所以 F|2 1 1＝ (c－a－b)2＝ (c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c)
4 4
1
＝ (1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°) 1＝ ，
4 2
→
故|EF| 2＝ .
2
(2)在正四面体 ABCD中，E→F 1＝ (c－a－b) |E→F| 2， ＝ .
2 2
→ 1 → 2
同理，GH＝ (b＋c－a)，|GH|＝ .
2 2
→ 1EF·G→H c－a－b ·
1 b＋c－a
所以 cos → → 2 2〈EF，GH〉＝ ＝
|E→F||G→H| 2 2×
2 2
1
＝ [(c－a)2 b2] 1－ ＝ (c2＋a2－2c·a－b2)
2 2
1
＝ (1＋1－2×1×1×cos 60°－1)＝0，
2
→ →
所以EF与GH的夹角为 90°.
题型四 向量法证明平行、垂直
9．如图，已知 AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2 5，AA1＝ 7，点 E和 F分
别为 BC和 A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面 A1B1BA；
(2)求证：平面 AEA1⊥平面 BCB1.
证明 因为 AB＝AC，E为 BC的中点，
所以 AE⊥BC.
因为 AA1⊥平面 ABC，AA1∥BB1，
所以过 E作平行于 BB1的垂线为 z轴，EC，EA所在直线分别为 x轴，y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为 AB＝3，BE＝ 5，
所以 AE＝2，
所以 E(0,0,0)，C( 5，0,0)，A(0，2,0)，B(－ 5，0,0)．
5
，1 7，
A1(0,2， 7)，则 F 2 2 .
5 7
→ ，1，(1)EF 2 2 →＝ ，AB＝(－ 5，－2,0)，
A→A1＝(0，0， 7)．
设平面 AA1B1B的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
n·A→B＝0，
则
n·A→A1＝0，
x＝－2，
－ 5x－2y＝0，
所以 取 y＝ ，
7z 5＝0，
z＝0，
所以 n＝(－2，5，0)．
→
因为EF·n 5＝ ×(－2)＋1× 5 7＋ ×0＝0，
2 2
E→所以 F⊥n.
又 EF 平面 A1B1BA，
所以 EF∥平面 A1B1BA.
(2)因为 EC⊥平面 AEA1，
→
所以EC＝( 5，0,0)为平面 AEA1的一个法向量．
又 EA⊥平面 BCB1，
→
所以EA＝(0,2,0)为平面 BCB1的一个法向量．
因为E→C·E→A＝0，
→
所以EC⊥E→A，
故平面 AEA1⊥平面 BCB1.
思维升华 (1)利用向量法证明平行问题
①线线平行：方向向量平行．
②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．
③面面平行：两平面的法向量平行．
(2)利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问题 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定
线面垂直问题
理转化为证明线线垂直
两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明
面面垂直问题
线面垂直
练习 3
10．如图正方形 ABCD的边长为 2 2，四边形 BDEF是平行四边形，BD与 AC交于点 G，O
为 GC的中点，FO＝ 3，且 FO⊥平面 ABCD.
(1)求证：AE∥平面 BCF；
(2)求证：CF⊥平面 AEF.
证明 如图，
取 BC的中点 H，连接 OH，则 OH∥BD，又四边形 ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，
故以 O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(0,0， 3)，B(1,2,0)．
B→C ( 2 2,0) C→＝ － ，－ ， F＝(1,0， 3) →，BF＝(－1，－2， 3)，A→D →＝(－2，－2,0)，AF＝(－3,0，
3)．
(1)设平面 BCF的一个法向量为 n＝(x，y，z)．
n·B→C＝0， －2x－2y＝0，
则 即
n·C→F＝0， x＋ 3z＝0，
取 z＝1，得 n＝(－ 3，3，1)．
又四边形 BDEF为平行四边形，
∴D→E →＝BF＝(－1，－2， 3)，
∴A→E＝A→D＋D→E＝B→C →＋BF
＝(－2，－2,0)＋(－1，－2， 3)
＝(－3，－4， 3)，
→
∴AE·n＝3 3 →－4 3＋ 3＝0，∴AE⊥n，
又 AE 平面 BCF，
∴AE∥平面 BCF.
(2) A→F →∵ ＝(－3,0， 3)，CF＝(1,0， 3)，
由(1) →知AE＝(－3，－4， 3)，
∴C→F·A→F＝－3＋3＝0，
C→F·A→E＝－3＋3＝0，
C→ →∴ F⊥AF，C→F A→⊥ E，
即 CF⊥AF，CF⊥AE，
又 AE∩AF＝A，AE，AF 平面 AEF，
∴CF⊥平面 AEF.
【课后作业】
1．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k的值是( )
A.7 B 2 C.5． D．1
5 3
答案 A
解析 因为 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
所以 a·b＝－1，|a|＝ 2，|b|＝ 5，
又 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，
所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即 2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
即 4k＋k－2－5＝0，所以 k 7＝ .
5
2.如图，在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，AC与 BD的交点为 O，点 M在 BC′上，
且 BM＝2MC →′，则下列向量中与OM相等的向量是( )
A 1A→B 7A→ 2．－ ＋ D＋ A—A→′
2 6 3
B 1．－ A→B 5＋ A→D 1＋ A—A→′
2 6 3
C.1A→B 1→＋ AD 2—＋ AA→′
2 6 3
D.1A→B 1－ A→D 1＋ A—A→′
2 6 3
答案 C
→ 2—
解析 因为 BM＝2MC′，所以BM＝ BC→′，
3
在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，
O→M O→B B→M O→B 2B—C→ 1D→B 2(A→D A—A→ ) 1(A→B A→D) 2(A→ —＝ ＋ ＝ ＋ ′＝ ＋ ＋ ′ ＝ － ＋ D＋AA→′)
3 2 3 2 3
1
＝ A→B 1＋ A→D 2A—＋ A→′.
2 6 3
3．在空间四边形 ABCD中，A→B·C→D →＋AC·D→B＋A→D·B→C等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．不确定
答案 B
解析 如图，
A→B a A→C b A→令 ＝ ， ＝ ， D＝c，
A→B·C→D A→C·D→ →则 ＋ B＋AD·B→C＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
4.如图，在大小为 45°的二面角 A－EF－D中，四边形 ABFE，CDEF都是边长为 1的正方形，
则 B，D两点间的距离是( )
A. 3 B. 2 C．1 D. 3－ 2
答案 D
→
解析 ∵BD＝B→F →＋FE＋E→D，
∴|B→D|2＝|B→F|2＋|F→E|2＋|E→D|2＋2B→F·F→E＋2F→E·E→D → →＋2BF·ED＝1＋1＋1－ 2＝3－ 2，
故|B→D|＝ 3－ 2.
5．(多选)若 a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a 与 b 的夹角为 120°，则λ的值为( )
A．17 B．－17
C．－1 D．1
答案 AC
解析 由已知 a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，
|a|＝ 1＋λ2＋4＝ 5＋λ2，
|b|＝ 4＋1＋1＝ 6，
－λ－4
∴cos 120° a·b 1＝ ＝ ＝－ ，
|a||b| 5＋λ2· 6 2
解得λ＝17或λ＝－1，故选 AC.
6．(多选)已知空间中三点 A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，则( )
A.A→B A→与 C是共线向量
B.A→B的单位向量是(1,1,0)
C.A→B → 55与BC夹角的余弦值是－
11
D．平面 ABC的一个法向量是(1，－2,5)
答案 CD
→ → → → → →
解析 由题意，对于 A，AB＝(2,1,0)，AC＝(－1,2,1)，所以AB≠λAC，则AB与AC不是共线向
量，所以不正确；
2 5 5 2 5 5
B A→B (2,1,0) A→
， ，0 － ，－ ，0
对于 ，因为 ＝ ，所以 B的单位向量为 5 5 或 5 5 ，所以不
正确；
→
对于 C，向量AB＝(2，1，0) B→， C＝(－3，1，1)，
A→→ → B·B
→C
所以 cos〈AB BC 55， 〉＝ ＝－ ，所以 C正确；
|A→B||B→C| 11
→ →
对于 D，设平面 ABC的一个法向量是 n＝(x，y，z)，因为AB＝(2,1,0)，AC＝(－1,2,1)，所以
n·A→B＝0， 2x＋y＝0，
令 x＝1，
n·A→C＝0 －x＋2y＋z＝0，
所以平面 ABC的一个法向量为 n＝(1，－2,5)，所以正确，故选 CD.
7.(2021·西安模拟)如图所示，在四面体 OABC中，O→A →＝a，OB＝b，O→C＝c，D为 BC的中点，
E →为 AD的中点，则OE＝________________(用 a，b，c 表示)．
1
答案 a 1b 1＋ ＋ c
2 4 4
→
解析 OE＝O→A →＋AE＝O→A 1A→＋ D
2
＝O→A 1＋ (O→D－O→A) 1O→＝ A 1→＋ OD
2 2 2
1
＝ O→A 1 1(O→B O→C) 1 1＋ × ＋ ＝ a＋ b 1＋ c.
2 2 2 2 4 4
8．若 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则与 a＋b 同方向的单位向量是____________．
0 5 2 5， ，
答案 5 5
0 5 2 51 ， ，
解析 与 a＋b 同方向的单位向量是 (0,1,2)＝ 5 5 .
5
9．已知 A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(x，y,15)三点共线，则 xy＝________.
答案 2
解析 由三点共线得向量A→B A→与 C共线，
→ →
即AB＝kAC，
(3,4 8) k(x 1 y 2,4) x－1 y＋2 4，－ ＝ － ， ＋ ， ＝ ＝ ，
3 4 －8
解得 x 1＝－ ，y＝－4，∴xy＝2.
2
10．在一直角坐标系中，已知 A(－1,6)，B(3，－8)，现沿 x轴将坐标平面折成 60°的二面角，
则折叠后 A，B两点间的距离为________．
答案 2 17
解析 在直角坐标系中，已知 A(－1,6)，B(3，－8)，现沿 x轴将坐标平面折成 60°的二面角
后，
A(－1,6)在平面 Oxy上的射影为 C，
作 BD⊥x轴，交 x轴于点 D，
A→B A→C C→所以 ＝ ＋ D＋D→B，
所以 A→B2 A→＝ C2 →＋CD2 D→＋ B2＋2A→C·C→D＋2C→D·D→B → →＋2AC·DB
62 42 82 2 6 8 1＝ ＋ ＋ － × × × ＝68，
2
所以 AB＝2 17.
11.如图，已知在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为 AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面 CA1D.
证明 如图，以 C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角
坐标系．
设 AC＝BC＝BB1＝2，
则 A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)连接 AB1，
→
∵BC1＝(0，－2，－2)，
A→B1＝(－2,2，－2)，
∴B→C1·A
→B1＝0－4＋4＝0，
B→∴ C1⊥A
→B1，即 BC1⊥AB1.
(2)取 A1C的中点 E，连接 DE，
∵E(1,0,1) →，∴ED＝(0,1,1)，
B→C (0 2 2) E→D 1B→又 1＝ ，－ ，－ ，∴ ＝－ C1，
2
且 ED和 BC1不重合，则 ED∥BC1.
又 ED 平面 CA1D，BC1 平面 CA1D，
故 BC1∥平面 CA1D.
12. 1在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E，F分别在棱 B1B，D1D上，且 BE＝ BB1，DF
3
2
＝ DD1.
3
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若E→F＝xA→B＋yA→D＋zA→A1，求 x＋y＋z的值．
(1)证明 连接 AC1(图略)，
A→∵ C1＝A→B → →＋AD＋AA1
A→B A→D 1 →＝ ＋ ＋ AA 21＋ A→A1
3 3
A→B 1A→＋ A1 A→D 2＋ A→A1
＝ 3 ＋ 3
→ →
＝(AB＋BE)＋(A→D →＋DF)＝A→E＋A→F.
∴A，E，C1，F四点共面．
(2) E→F A→F A→解 ∵ ＝ － E
＝A→D → → →＋DF－(AB＋BE)
A→D 2 →＝ ＋ DD → 1 →1－AB－ BB1
3 3
A→B A→D 1 →＝－ ＋ ＋ AA1，
3
E→F xA→B yA→又 ＝ ＋ D →＋zAA1，
∴x＝－1，y＝1，z 1＝ .
3
∴x＋y＋z 1 1 1 1＝－ ＋ ＋ ＝ .
3 3第一讲 空间向量及其应用
【知识梳理】
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为 的向量 0
单位向量 长度(模)为 的向量
相等向量 方向 且模 的向量 a＝b
相反向量 方向 且模 的向量 a 的相反向量为
表示空间向量的有向线段所在的直线互
共线向量 a∥b
相 的向量
共面向量 平行于同一个 的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得 .
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式： ，其中 x，y∈R，a，b 为 向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，
使得 p＝ ，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
a b O O→A a O→已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ＝ ， B＝b，则∠AOB叫做向量 a，b
π
的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 ，若〈a，b〉＝ ，则称 a 与 b ，记作 a⊥b.
2
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量 a，b，则 叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b
＝ ．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)．
②交换律：a·b＝b·a.
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
1
4．空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)
a·b＝0
垂直
(a≠0，b≠0)
模 |a|
夹角余
cos〈a a·b，b〉＝ (a≠0，b≠0)
弦值 |a||b|
5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线
的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量
直线 l⊥平面α，取直线 l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向
量有无数个，它们是共线向量．
(3)
位置关系 向量表示
l1∥l2
直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2
l1⊥l2
l∥α
直线 l的方向向量为 n，平面α的法向量为 m
l⊥α
α∥β
平面α，β的法向量分别为 n，m
α⊥β
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于非零向量 b，若 a·b＝b·c，则 a＝c.( )
(2)在空间直角坐标系中，在 Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．( )
(3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底．( )
2
2．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量
是( )
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
3.如图，在四面体 OABC → → →中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点 M在 OA上，且 OM＝2MA，N为
BC →的中点，则MN＝________.
4．设直线 l1，l2的方向向量分别为 a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若 l1⊥l2，则 m＝________.
5．向量 m 是直线 l的方向向量，向量 n 是平面α的法向量，“m⊥n”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6 → 1→．已知 A，B，C三点不共线，点 O为平面 ABC外任意一点，若点 M满足OM＝ OA 4O→＋ B
5 5
2→
＋ BC，则点 M________(填“属于”或“不属于”)平面 ABC.
5
【典型例题】
题型一 空间向量的线性运算
1 →．在三棱锥 O－ABC中，M，N分别是 OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA，
O→B，O→C表示O→G，则下列表示正确的是( )
A.1O→A 1→ 1→ 1→ 1→ 1→＋ OB＋ OC B. OA＋ OB＋ OC
4 2 3 2 2 2
C. 1O→A 1→ 1→ 1→ 1→ 1→－ ＋ OB＋ OC D. OA＋ OB＋ OC
6 3 3 3 3 3
3
2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 P是 C1D1的中点，且A
→P A→＝ D＋xA→B →＋yAA1，则实数 x
＋y的值为( )
A 3．－ B 1 C.1 D.3．－
2 2 2 2
3．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 M，N
→
分别是面对角线 A1B与 B1D1的中点，若DA＝a，
D→C＝b，D→D1＝c，则M→N等于( )
A.1(c b 1 1 1＋ －a) B. (a＋b－c) C. (a－c) D. (c－a)
2 2 2 2
4．在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′ A—C→ →中，若 ′＝xAB＋yB→C＋2zC—C→′，则 x＋y＋z等于( )
A.5 B．2 C.3 D.11
2 2 6
题型二 共线向量定理、共面向量定理的应用
5 A B C ABC O M O→M 1(O→A O→ →．已知 ，， 三点不共线，对平面 外的任一点 ，若点 满足 ＝ ＋ B＋OC)．
3
(1) → → →判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
(2)判断点 M是否在平面 ABC内．
4
练习 1
6．如图所示，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1，点 M，N
→ →
分别在 AC1和 BC上，且满足AM＝kAC1，
B→N →＝kBC(0 → → →≤k≤1)．判断向量MN是否与向量AB，AA1共面．
题型三 空间向量数量积及其应用
7．如图所示，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G分别是 AB，
AD，CD的中点，计算：
(1)E→F·B→A；
(2)E→G·B→D.
练习 2
8．如图，正四面体 ABCD(所有棱长均相等)的棱长为 1，E，F，G，H分别是正四面体 ABCD
→ → →
中各棱的中点，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，试采用向量法解决下列问题：
(1) →求EF的模长；
(2) →求EF G→， H的夹角．
5
题型四 向量法证明平行、垂直
9．如图，已知 AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2 5，AA1＝ 7，点 E和 F分
别为 BC和 A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面 A1B1BA；
(2)求证：平面 AEA1⊥平面 BCB1.
练习 3
10．如图正方形 ABCD的边长为 2 2，四边形 BDEF是平行四边形，BD与 AC交于点 G，O
为 GC的中点，FO＝ 3，且 FO⊥平面 ABCD.
(1)求证：AE∥平面 BCF；
(2)求证：CF⊥平面 AEF.
6
【课后作业】
1．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k的值是( )
A.7 B．2 C.5 D．1
5 3
2.如图，在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，AC与 BD的交点为 O，点 M在 BC′上，且 BM＝
2MC′ →，则下列向量中与OM相等的向量是( )
A 1A→B 7A→D 2—→ 1．－ ＋ ＋ AA′ B．－ A→B 5A→D 1—→＋ ＋ AA′
2 6 3 2 6 3
C.1A→B 1A→D 2—→ 1→＋ ＋ AA′ D. AB 1－ A→D 1A—A→＋ ′
2 6 3 2 6 3
3 → → → → → →．在空间四边形 ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．不确定
4.如图，在大小为 45°的二面角 A－EF－D中，四边形 ABFE，CDEF都是边长为 1的正方形，
则 B，D两点间的距离是( )
A. 3 B. 2 C．1 D. 3－ 2
5．(多选)若 a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a 与 b 的夹角为 120°，则λ的值为( )
A．17 B．－17 C．－1 D．1
6．(多选)已知空间中三点 A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，则( )
A.A→B → →与AC是共线向量 B.AB的单位向量是(1,1,0)
C.A→B与B→C 55夹角的余弦值是－ D．平面 ABC的一个法向量是(1，－2,5)
11
7. → → →如图所示，在四面体 OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为 BC的中点，E为 AD的中
O→点，则 E＝________________(用 a，b，c 表示)．
7
8．若 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则与 a＋b 同方向的单位向量是____________．
9．已知 A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(x，y,15)三点共线，则 xy＝________.
10．在一直角坐标系中，已知 A(－1,6)，B(3，－8)，现沿 x轴将坐标平面折成 60°的二面角，
则折叠后 A，B两点间的距离为________．
11.如图，已知在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为 AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面 CA1D.
12.在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E，F分别在棱 B1B，D1D上，且 BE
1
＝ BB1，DF
3
2
＝ DD1.
3
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若E→F →＝xAB yA→D zA→＋ ＋ A1，求 x＋y＋z的值．
8
